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    人教版数学八年级上册全等三角形的概念和性质(提高)知识讲解
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    初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形随堂练习题

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    这是一份初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形随堂练习题,共5页。


    【学习目标】
    1.理解全等三角形及其对应边、对应角的概念;能准确辨认全等三角形的对应元素.
    2.掌握全等三角形的性质;会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算,解决某些实际问题.
    【要点梳理】
    要点一、全等形
    形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
    要点诠释:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等,面积相等.
    要点二、全等三角形
    能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
    要点三、对应顶点,对应边,对应角
    1. 对应顶点,对应边,对应角定义
    两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.
    要点诠释:
    在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图,△ABC与△DEF全等,记作△ABC≌△DEF,其中点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点;AB和DE,BC和EF,AC和DF是对应边;∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F是对应角.
    2. 找对应边、对应角的方法
    (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;
    (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角;
    (3)有公共边的,公共边是对应边;
    (4)有公共角的,公共角是对应角;
    (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角;
    (6)两个全等三角形中一对最长的边(或最大的角)是对应边(或角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角),等等.
    要点四、全等三角形的性质
    全等三角形的对应边相等;
    全等三角形的对应角相等;
    要点诠释:全等三角形对应边上的高相等,对应边上的中线相等,周长相等,面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
    【典型例题】
    类型一、全等形和全等三角形的概念
    1、请观察下图中的6组图案,其中是全等形的是__________.
    【答案】(1)(4)(5)(6);
    【解析】(1)(5)是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的,(4)是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的,(6)是将其中一个图形旋转180°再平移得到的,(2)(3)形状相同,但大小不等.
    【总结升华】是不是全等形,既要看形状是否相同,还要看大小是否相等.
    举一反三:
    【变式1】全等三角形又叫做合同三角形,平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形,假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形,点A与点A1对应,点B与点B1对应,点C与点C1对应,当沿周界A→B→C→A,及A1→B1→C1→A1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形(如图1),若运动方向相反,则称它们是镜面合同三角形(如图2),两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合,两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中一个翻转180°,下列各组合同三角形中,是镜面合同三角形的是( )
    【答案】B;
    提示:抓住关键语句,两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中一个翻转180°,B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合,故选B;其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.
    类型二、全等三角形的对应边,对应角
    2、如图,△ABD≌△CDB,若AB∥CD,则AB的对应边是( )
    A.DB B. BC C. CD D. AD
    【答案】C
    【解析】因为AB∥CD,所以∠CDB=∠ABD,这两个角为对应角,对应角所对的边为对应边,所以,BC和DA为对应边,所以AB的对应边为CD.
    【总结升华】公共边是对应边,对应角所对的边是对应边.
    类型三、全等三角形性质
    3、(2020秋•盐城期中)如图,△ABD≌△EBC,AB=3cm,BC=6cm,
    (1)求DE的长.
    (2)若A、B、C在一条直线上,则DB与AC垂直吗?为什么?

    【思路点拨】(1)根据全等三角形对应边相等可得BD=BC=6cm,BE=AB=3cm,然后根据DE=BD﹣BE代入数据进行计算即可得解;(2)DB⊥AC.根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC,又A、B、C在一条直线上,根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC=180°,所以∠ABD=∠EBC=90°,由垂直的定义即可得到DB⊥AC.
    【答案与解析】
    解:(1)∵△ABD≌△EBC,
    ∴BD=BC=6cm,BE=AB=3cm,
    ∴DE=BD﹣BE=3cm;
    (2)DB⊥AC.理由如下:
    ∵△ABD≌△EBC,
    ∴∠ABD=∠EBC,
    又∵∠ABD+∠EBC=180°,
    ∴∠ABD=∠EBC=90°,
    ∴DB⊥AC.
    【总结升华】本题主要考查了全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.也考查了平角的定义与垂直的定义,熟记性质与定义是解题的关键.
    举一反三:
    【变式】(2020春•吉州区期末)下列命题中:(1)形状相同的两个三角形是全等形;(2)在两个全等三角形中,相等的角是对应角,相等的边是对应边;(3)全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等,其中真命题的个数有( )
    A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
    【答案】C;
    提示:(1)形状相同、大小相等的两个三角形是全等形,而原说法没有指出大小相等这一点,故(1)错误;(2)在两个全等三角形中,对应角相等,对应边相等,而非相等的角是对应角,相等的边是对应边,故(2)错误;(3)全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等,故(3)正确.综上可得只有(3)正确.故选C.
    4、 如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC翻折180°形成的,若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,∠α的度数是_________.
    【思路点拨】(1)由∠1,∠2,∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1,∠2,∠3的度数;(2)由全等三角形的性质求∠EBC,∠BCD的度数;(3)运用外角求∠α的度数.
    【答案】∠α=80°
    【解析】∵∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3,设∠1=28,∠2=5,∠3=3,
    ∴28+5+3=36=180°,=5°
    即∠1=140°,∠2=25°,∠3=15°
    ∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC翻折180°形成的,
    ∴△ABE≌△ADC≌△ABC
    ∴∠2=∠ABE,∠3=∠ACD
    ∴∠α=∠EBC+∠BCD=2∠2+2∠3=50°+30°=80°
    【总结升华】此题涉及到了三角形内角和,外角和定理,并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数是比较常用的解题思路.
    举一反三:
    【变式】如图,在△ABC中,∠A:∠ABC:∠BCA =3:5:10,又△MNC≌△ABC,则∠BCM:∠BCN等于( )
    A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.1:4
    【答案】D;
    提示:设∠A=3,∠ABC=5,∠BCA=10,则3+5+10=18
    =180°,=10°. 又因为△MNC≌△ABC,所以∠N=∠ABC=50°,CN=CB,所以∠N=∠CBN=50°,∠ACB=∠MCN=100°,∠BCN=180°-50°-50°=80°,所以∠BCM:∠BCN=20°:80°=1:4.
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