人教版八年级上册12.1 全等三角形综合训练题

这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形综合训练题，共6页。

【学习目标】
1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“边边边”，和判定方法4——“角角边”；
2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．
【要点梳理】
要点一、全等三角形判定3——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△．

要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论．
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形．
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定3——“边边边”
1、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE．
【答案与解析】
证明：在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SSS）
∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）．
【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA和△CAE，然后证这两个三角形全等．
举一反三：
【变式】（2020•静海县模拟）已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是 ．
【答案】AC=DF.
解： 理由是：∵在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
故答案为：AC=DF．
类型二、全等三角形的判定4——“角角边”
2、已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B 分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F．
求证：CE＝BF
【答案与解析】
证明：∵ AE⊥CD、BF⊥CD，
∴∠AEC＝∠BFC＝90°
∴∠BCF＋∠B＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF＋∠ACF＝90°
∴∠ACF＝∠B
在△BCF和△CAE中

∴△BCF≌△CAE（AAS）
∴CE＝BF．
【总结升华】要证CE＝BF，只需证含有这两个线段的△BCF≌△CAE.同角的余角相等是找角等的好方法．
3、平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．
【思路点拨】过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．
【答案与解析】
解：图2，AF＋BF＝2CE仍成立，
证明：过B作BH⊥CE于点H，
∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°
∴∠CBH＝∠ACE
在△ACE与△CBH中，

∴△ACE≌△CBH．（AAS）
∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，
∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．
【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键．
举一反三：
【变式】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明．
图2
A
D
B
C
E
M
N
F
窗体底端
【答案】
解：图2成立；
证明图2：
过点作
则
在△AMD和△DNB中，
∴△AMD≌△DNB（AAS）
∴DM＝DN
∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，
∴∠ MDE＝∠NDF
在△DME与△DNF中，
∴△DME≌△DNF（ASA）
∴
∴
可知，
∴．
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、（2020秋•内丘县期中）如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，欢欢在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为点E，他调整好绳子CE的长度，使得CE=AD，此时他测得DE=2米，求DB的长度．
【思路点拨】延长CE交AB于F，根据等角的余角相等求出∠ A=∠C，再利用“角角边”证明△ABD和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DB=DE．
【答案与解析】
解：如图，延长CE交AB于F，
则∠A+∠1=90°，∠C+∠2=90°，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴∠A=∠C，
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE（AAS），
∴DB=DE，
∵DE=2米，
∴DB的长度是2米．
【总结升华】本题考查了全等三角形的应用，仔细观察图形求出∠A=∠C是解题的关键. 已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS