2022杭州“六县九校”联盟高一下学期期中联考试题数学含解析

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选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合的交集运算，可求得答案.
【详解】集合,
故，
故选：D
2. 已知i是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义，即可得到结果.
【详解】由复数的几何意义可知复数在复平面上对应的点的坐标为.
故选：C.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量平行的条件列方程即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，解得：.
故选：A
4. 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角形内角和求得角，再根据正弦定理求得答案.
【详解】由题意可得 ，
故由正弦定理得： ,则，
故选：C
5. 如图所示，已知正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A. 8B. C. 4D.
【答案】A
【解析】
【分析】将直观图复原为原图，根据斜二测画法的规则求得原图中线段的长，可得答案。
【详解】将直观图复原为原图，如图：
则 ,故，
所以原图形的周长为 ，
故选：A
6. 在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.
【详解】函数，与，
答案A没有幂函数图像，
答案B.中，中，不符合，
答案C中，中，不符合，
答案D中，中，符合，故选D.
【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.
7. 若非零平面向量，，满足，，则向量与的夹角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，两边分别乘以向量得到三个式子，化简可得，根据向量的夹角公式可求得答案.
【详解】由题意可得：
，；；；
三式联立消去和可得：，
结合得：，
故 ，
故选：B
8. 已知函数，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数解析式，判断函数为奇函数，判断其单调性以及函数值的正负情况，令，可得，即，排除B,C;令，可根据函数值情况，排除A，即可得答案.
【详解】由题意，，
由于，故 为奇函数，
当时， 递增，故递增，
故当时， 递增，
而 ，故函数在上单调递增，
且时，，时，，
故对于，当 时，即为，
即，矛盾，即0不是不等式的解，故选项B,C错误；
当时，不等式即，
由于，故不成立,
说明不是不等式的解，故A错误,
故选：D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 下列命题中，真命题为（ ）
A. 复数为纯虚数的充要条件是
B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为
D. 复数，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A,根据纯虚数的定义，可知，故A错.
根据共轭复数，虚部的定义，可判断B,C.运用复数的四则运算，可判断D.
【详解】复数为纯虚数的充要条件是,故A错.
复数的共轭复数为,复数的虚部为,故B,C对.
复数，则,，故D对.
故选:BCD
10. 下列有关平面向量的命题中，不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 已知，，则
C. 若非零向量，，，满足，则
D. 若，则且
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，当且方向相同，才有，故A错误，D正确；B选项可以举出反例，C选项利用向量数量积推导出，故C错误.
【详解】A选项，，但向量方向可能不同，故A错误；
若，则满足，，但可能不平行，故B错误；
若，即，因为，，均为非零向量，所以，故不一定成立，C错误；
若，则且，D正确.
故选：ABC
11. 已知圆锥底面半径为，母线长为2，则（ ）
A. 圆锥侧面积
B. 圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为
C. 圆锥的体积为
D. 过顶点的截面三角形的面积最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】由题意可知圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为，利用扇形面积公式即可判断A是否正确；根据，即可求出圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角的大小，即可判断B是否正确；根据题意易知圆锥的高，再根据圆锥的体积公式，即可判断C是否正确；根据题意可知圆锥的轴截面的顶角为，设过过顶点的截面三角形，其中，根据三角形面积公式可得，根据三角函数的性质，可知当时面积最大，由此即可D是否正确.
【详解】由题意可知，该圆锥的侧面展开图是半径为，弧长为，所以圆锥侧面积为，故A正确；
设圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为，
又因为扇形的面积为，所以，故B正确；
如图所示，圆锥的高为，
圆锥的体积为，故C错误；
如图，在中，，所以，
所以轴截面三角形中，，
设过过顶点的截面三角形，其中，如下图所示：
过顶点的截面三角形的面积为，当时，过顶点的截面三角形的面积最大值为，故D错误.
故选：AB.
12. 如图，分别是空间四边形各边上的点（不与各边的端点重合），且，．则下列结论一定正确的是（ ）
A. 共面
B.
C. 面
D. 若直线与有交点，则交点在直线上
【答案】AD
【解析】
【分析】由可证得四点共面，知A正确；由A可知若，则B不成立；结合线面平行性质，根据未必成立可知C错误；根据平面的性质可判断D正确.
【详解】对于A，，；同理可得：，
，四点共面，A正确；
对于B，由A知：四点共面，若，则与为相交直线，B错误；
对于C，若面，平面，平面平面，
，，此条件未必成立，C错误；
对于D，平面，平面，与有交点，与的交点必在平面与平面的交线上，
平面平面，与的交点在直线上，D正确.
故选：AD.
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设复数z满足（其中i是虚数单位），则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简，根据复数的模的计算公式求得答案.
【详解】,
故，
故答案为：
14. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据角的范围求得，利用两角和的正弦公式求得答案.
【详解】由已知，可得，
故，
故，
故答案为：
15. 已知三棱锥中，，，，侧棱PA，PB，PC两两垂直，则三棱锥的外接球表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】以、、为棱构造一个长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，表示棱长，求得外接球半径，由此能求得该球的表面积．
【详解】三棱锥的侧棱，，两两垂直，且长度分别为，，，
且，，，都在同一个球面上（如图所示），
以、、为棱构造一个长方体，这个球就是长方体的外接球，
设正方体的相邻三条棱长分别为x,y,z,
则 ，
故，
设三棱锥外接球半径为R，则，
该球的表面积为．
故答案为：
16. 如图在直角梯形中，，，，．点E，F为线段BC上两点，满足，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据梯形的几何性质，建立平面直角坐标系，表示出向量的坐标，根据数量积的坐标运算，求得其表达式，结合二次函数的性质，求得答案.
【详解】由题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，
梯形ABCD中，，，，，
作 于G,则 ,
设 ，则 ，即 ，
则 ，
故，
所以，
由，此时为增函数，
故，即，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知．
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据即可求；
（2）设向量与大角为,.
【小问1详解】
，
，，；
小问2详解】
,
，
,
，
设向量与大角为,
.
18. 已知，，，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）最大值为；最小值为
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积坐标运算，结合二倍角和辅助角公式可化简得到，由此可得最小正周期；
（2）利用的范围可求得的范围，根据正弦型函数值域的求法可求得值域，进而得到最值.
【小问1详解】
，
的最小正周期.
【小问2详解】
当时，，，；
的最大值为；最小值为.
19. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚秒. A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
（1）求A、C两地的距离；
（2）求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
【答案】(1)420m;(2)140.
【解析】
【详解】分析：（1）设，由题意已知两边及一角用余弦定理，列出关于的方程式求解．
（2）在直角三角形中，，由（1）解出，可得的值．
详解：（1）由题意，设AC＝x，
则BC＝x－340＝x－40.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝BA2＋AC2－2BAACcs∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
∴A、C两地间的距离为420m.
（2）在Rt△ACH中，AC＝420，∠CAH＝30°，
所以CH＝ACtan∠CAH＝140.
答: 该仪器的垂直弹射高度CH为140米．
点睛：正弦定理，余弦定理，直角三角形的正切值，我们要灵活应用，千万不要只纠结于正余弦定理，直角三角形中的几何性质也可以应用进来．
20. 如图在四棱锥中，，M，N分别是AB，CD的中点，．
（1）求证：平面AED；
（2）若点F在棱AD上且满足，平面CEF，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取BE的中点为Q，证明面MNQ面ADE，即可得到平面AED；
（2）根据已知，将线面平行转化得到线线平行，再用三角形相似即可得到的值.
【小问1详解】
取BE的中点为Q，连接NQ，MQ
∵，N，Q分别为CD、BE的中点；
∴，又∵面AED，面AED，∴面AED
又∵M为BA的中点
∴，∵面AED，面AED，∴面AED
∵，∴面面AED，∴面AED
【小问2详解】
设BD交CE于点G，连接FG．
∵面CEF，面面ABD＝FG，面ABD
∴，∴．
在直角梯形BCDE中，，∴，
∴，∴，∴
21. 请从这三个条件中选择一个，补充在下面试题的横线上，并完成试题解答．
①；
②；
③；
设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知的面积为，且______．
（1）求角B；
（2）求b的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)选，利用正弦定理通过边角互化，再由余弦定理求 B，选利用正弦定理通过化边为角，再求B，选利用正弦定理通过化边为角，再求B，(2)由三角形面积公式求,再由余弦定理和基本不等式求b的最小值．
【小问1详解】
若选择①
∵；
∴
∴ ∴ 又 ∴
若选择②
∵∴
∵
∴
即 又 ∴
若选择③
∵；∴
∴
∴ 又 ∴
【小问2详解】
∵∴
由余弦定理知
∴，当且仅当时取等号，
∴当时，取最小值，.
22. 已知，函数.
（1）当时，函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的，都有恒成立，求的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【详解】分析：（1）把函数转化为分段函数形式，利用二次函数对称性明确分段的单调性即可;（2）对任意的，都有恒成立等价于 ，转求最值即可.
详解：（1）当时， .
由函数在上单调递增，得，化简得.
∴实数的取值范围.
（2）当且时，，
，
由得，，
化简得： ，
∴，解得.
∴实数的最大值是.
点睛：研究分段函数单调性注意两点：（1）分析各段的单调性；（2）注意端点处取值的大小；恒成立问题处理手段首选变量分离，然后转最值即可.