中考经典几何模型与最值问题 专题06 对角互补模型在三角形中应用

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专题06 对角互补模型在三角形中应用
【专题说明】
对角互补模型证明全等三角形，其辅助线的添加非常灵活，尤其是很多全等证明的题目经常和旋转综合考察，作为初二数学中的压轴题型。我们集中讲解旋转综合中常见的模型、题型，希望各位同学能从中收益。
【知识总结】
一、双等边类型

△BCD≌△ACE △ABD≌△ACE △BOE∽△COF
二、双等腰直角类型

△BCD≌△ACE △BCE≌△DCF △ABD∽△ACE

【类型】一、全等型—60º和120º
如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.
则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.

由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG中，∠FCG＝60º，
∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60º，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG（ASA），
∴CD＝CE，结论①成立；
在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60º，∴OF＝OG＝OC，
又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，结论②成立；
，结论③成立.

【类型】二、全等型—90º
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.
则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.

证明：如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N.

∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360º－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90º，∴∠MCD＋∠DCN＝90º，
又∵∠DCE＝90º，∴∠ECN＋∠MCD＝90º，∴∠MCD＝∠ECN
∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立；
∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC，
又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立；
∴，∴结论③成立.

如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB
则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.

证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.

由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG为正方形，
∵∠1＋∠2＝90º，∠3＋∠2＝90º，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG，
∴CD＝CE，结论①成立；
在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC，
∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，②成立；


【类型】三、全等型—和
如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.
则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.

证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.
[
证△CDF≌△CEG可得CD＝CE，结论①成立，
在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝，∴OF＝OG＝OC·，
又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝2OC·cos，结论②成立，
，结论③成立.

【类型】四、相似型—90º
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.
结论：CE＝CD·.

证明【方法一】：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.
先证△CEG∽△CDF，即，又∵四边形CFOG是矩形，∴CF＝DG，
在Rt△COG中，，∴CE＝CD·；

证明【方法二】：如图2，过点C作CF⊥OC交OB于点F.
通过证明△CFE∽△COD可得.

【基础训练】
【类型】一、一般情况
基本条件:△ABC∽△EDC，连接AE、BD后,有△AEC∽△BDC，相似比为AC边与BC边之比。
可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。

1、(直接用双子)如图，直角坐标系中，点A的坐标为(1,0),以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB,点C为x正半轴上一动点(OC＞1),连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD,直线DA交y轴于点E．
(1)△OBC与△ABD全等吗？判断并证明你的结论；
(2)着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，说明理由．
[
解析：①全等．理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形，
∴OB＝AB，∠OBA＝∠OAB＝60°，BC＝BD，∠CBD＝60°，
∴∠OBA＋∠ABC＝∠CBD＋∠ABC，即∠OBC＝∠ABD，
在△OBC和△ABD中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）．
②不变．理由：∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，
又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°，
∴Rt△OEA中，AE＝2OA＝2，∴OE＝，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0，）．

2、如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC＝∠DAE＝90°,AB＝AC＝2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（　　）
A． B． C．1 D．

解析：设Q是AB的中点，连接DQ，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC＝2，O为AC中点，∴AQ＝AO，
在△AQD和△AOE中，，∴△AQD≌△AOE（SAS），
∴QD＝OE，
∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，
∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°
∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形
∴QD＝QB，
∵QB＝AB＝1，
∴QD＝，
∴线段OE的最小值是为．
故选：B．

3、如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°,cosC＝,点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为θ．当0°≤θ＜360°时的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

（图1） （图2）
解析：当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝＝，∴△ECA∽△DCB，∴＝＝；

【类型】二、旋转构造双子型
此类图的特点在于图形的不完整。一且补全图形,答案即可解出,而方法不仅仅是构造,亦可用旋转,构造与旋转本就可互相代替,但我们常常选用旋转来解决!不过本专题打算用构造的思路去解决!面转的方法读者可自行尝试,图是一样的！
1．如图所示，在四边形ABCD中，AD＝3,CD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°,则BD的长为_________．

解析：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD＝CD′，∠DAD′＝90°，
由勾股定理得DD′＝＝3，∠D′DA＋∠ADC＝90°，
由勾股定理得CD′＝＝，∴BD＝CD′＝．
2、如图，在△ABC中,∠ABC＝60°,AB＝＝8，以AC为腰，点A为顶点作等腰△ACD,且∠DAC＝120°,则BD的长为________.

解析：以A为旋转中心，把△BAC逆时针旋转120°，得到△EAD，连接BE，作AP⊥BE于P，

则∠BAE＝120°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，
∴BP＝AB•cos∠ABP＝3，∠AEB＝90°，∴BE＝2BP＝6，
在Rt△BED中，BD＝＝10，

【巩固提升】
1、如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD＝39°,那么∠ACE＝_______．

解析：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，BE＝BD，
∴∠CBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE＝120°
在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE，（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝21°，∴∠AEC＝21°，∴∠ACE＝99°
2、如图,△ABC为等边三角形,AB＝2,点D为BC边上的动点,连接AD,以AD为一边向右作等边△ADE,连接CE
(1)在点D从点B运动到点C的过程中,点E运动的路径长为_________;
2)在点D的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD的长,若不存在,请说明理由.
(3)取AC中点P,连接PE,在点D的运动过程中,求PE的最小值.

解析：

(1)△ABD≌△ACE可得BD=CE,E的运动路径的长即D的运动路径长，BC=2.
(2)∠DEC＝60°相当于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此时点D与点B重合.因此不存在.
(3)∠ACE=60°,当PE⊥CE时取最小值.PE=PC×cos60°=.

3、在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到．
（1）如图1，当点在线段CA的延长线上时，求的度数；
（2）如图2，连接．若的面积为4，求的面积；

图1 图2
解析：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，
∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，
∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，
∴，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1，
∴∠ABA1＝∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．
∴，
∵S△ABA1＝4，
∴S△CBC1＝；

4、【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．

图1 图2 图3
（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．
（2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN．
（3）∠ABC＝∠ACN；
理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，
∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴＝，
又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN．
5、如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．
（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；
（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，求DH的最大值；

备用图
解析：（1）是，理由如下：
如图，由旋转知，∠ABE＝CBG，
在正方形ABCD，BGFE中，
AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴△ABE≌△CBG，
∴∠BAE＝∠BCG，
记AH与BC的交点为点P，

∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°
∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，
∴∠AHC＝∠ABC＝90°，
（2）DH≤DE+EG=BD=

6、如图1，已知点A(0,－3)和x轴上的动点C(m,0),△AOB和△BCD都是等边三角形．
（1）在C点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC的长度，请将它找出来，并说明理由．
（2）如图2，将△BCD沿CD翻折得△ECD,当点C在x轴上运动时，设点E(x,y),请你用m来表示点E的坐标并求出点E运动时所在图象的解析式．
（3）在C点运动的过程中，当时，直接写出△ABD是等腰三角形时E点的坐标．

图1 图2
解析：（1）连接AD，如图1所示．

A、D两点间的距离始终等于OC的长度．理由如下：
∵△AOB和△BCD都是等边三角形，
∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，
∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，
∴∠ABD＝∠OBC．
在△ABD和△OBC中，有，
∴△ABD≌△OBC（SAS），
∴AD＝OC．
（2）过D作DF⊥y轴于F，连接BE，如图2所示．

由（1）可知△ABD≌△OBC，
∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°
∴DF＝AD•sin∠DAF＝m，AF＝AD•cos∠DAF＝m，
∵A（0，﹣3），∴D（m，m﹣3）．
∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，
∴四边形BCED是菱形，∴BE、CD互相平分．
∵△AOB是等边三角形，且点O（0，0），点A（0，﹣3），
∴点B（，﹣），∴E（m﹣，m﹣）．
∵m﹣＝（m﹣），∴点E在图形y＝x上运动．
（3）∵点A（0，﹣3），点B（，﹣），点D（m，m﹣3），
∴AB＝3，AD＝m，BD＝＝，
△ABD为等腰三角形分三种情况：
①当AB＝AD时，有3＝m，此时点E的坐标为（﹣，﹣）；
②当AB＝BD时，有3＝，解得：m＝0（舍去），或m＝3，此时点E的坐标为（3，3）；
③当AD＝BD时，有m＝，解得：m＝（舍去）．
综上：在C点运动过程中，当m＞时，△ABD是等腰三角形时E点的坐标为（﹣，﹣）或（3，3）．

7、【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．

图1 图2 图3
解析：（1）BD＝CE．
理由是：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；

（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．
∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴AC＝AD，∠CAD＝90°，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．
∵AE＝AB＝7，
∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，
∴EC＝＝＝，
∴BD＝CE＝．

（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠E＝∠ABC＝45°，
∴AE＝AB＝7，BE＝＝7，
又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠BAE＝∠DAC＝90°，
∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，
∵BC＝3，
∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．


2、(1)如图1，已知△ABC,以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；
（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD的长；
（3）如图3，四边形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝＝5,AD＝12，求BD的长．


图1 图2 图3
解析：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；

证明：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；

（2）如图2，过A作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，连接DE、CE，
由勾股定理得：DE＝＝3，∴∠EDA＝45°，
∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°，
∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
∵AE＝AD，AC＝AB，
∴△DAB≌△EAC（SAS），∴EC＝BD，
在Rt△DCE中，EC＝＝＝，
∴BD＝EC＝

（3）如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，
∠DEA＝∠ACB，连接EC，
容易得到△DAE∽△BAC，∴，即，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，
∴△EAC∽△DAB，∴，
在△DCE中，∠ADC＝∠ACB，∠EDA＝∠ABC，∴∠EDC＝90°，
∵，AD＝12，
∴AE＝9，∠DAE＝90°，
∴DE＝＝15，CE＝＝5，
由△EAC∽△DAB，∴，BD＝．