中考经典几何模型与最值问题 专题07 半角模型在三角形中应用

专题07 半角模型在三角形中应用
【专题说明】
半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用尤为重要。
【知识总结】
过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

解题技巧：
在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN，
∴BM+DN=MN，∠AMB=∠AMN，AB=AH
△CMN的周长等于正方形周长的一半
在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系；
总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.
1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.

简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合，

通过证明△AEF≌△AEG即可得到BE＋DF＝EF.

2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.

证明：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90º得到△ABG，使得AD与AB重合；将△ABE绕点A逆时针旋转90º得到△ADH，使得AB与AD重合.

∵旋转，∠1＝∠H，又∵△AFE≌△AFH，∴∠2＝∠H，∴∠1＝∠2；
∵旋转，∠4＝∠G，又∵△AEF≌△AEG，∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4，
即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.

简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.

4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.

简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.

5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则.

简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，则＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.

6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则

简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.

通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.

7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME △DFN △AMN △BAN △DMA △AFE.

简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.
8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.

简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，
又∵△AMN△AFE，∴.
【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到.

9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.

简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.

10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.

简证：设，在Rt△CEF中，
，化简得，.

11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.

简证：由结论8可得△△ECA△NDA，，
，
同理可得.

12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF最小，最小，最大.

证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.

∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，
，，[来
∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF、均有最小值，有最大值

【基础训练】
1、正方形ABCD中，E是CD边上一点.
将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______.
如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ.

解析：
∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF,
∵DE=BF,∠AFB=∠AED.
将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，
则∠D=∠ABE=90°
即点E,BP共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ,BE=DQ
∵∠PAQ=45°
∠PAE=45°
∴∠PAQ=∠PAE
在△APE和△APQ中
AE=AQ
∠PAE=∠PAQ
AP=AP
△APE≌△APQ(SAS)
∴PE=PQ
而PE=PB+BE=PB+DQ
∴DQ+BP=PQABD

2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△ACD'，当∠DAE=45°时，求证：DE=D'E；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.

解析：
因为△ABD绕点A旋转，得到△ACD'
∴AD=AD'，∠DAD’=∠BAC=90°
∵∠DAE=45°
∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45°
∴在△AED和△AED'中
AE=AE
∠EAD=∠AED’
AD=AD’
∴△AED≌△AED’
∴DE=D’E
由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’
在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°
∴∠B=∠ACB=45°
∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’
∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45°
∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90°

3、如图，E、F是正方形ABCD的边AD、CD上的点，连BE、EF、BF，BF平分∠EBC
求证：BE=AE+CF

解析：将△CBF逆时针旋转90°得到△ABG,

由旋转的性质可得AG=CF,∠G=∠BFC,∠ABG=∠CBF
∵BF平分∠EBC,
∴∠EBG=∠ABF=∠BFC
∴∠G=∠EBG
∴EG=EB
∴BE=AE+CF.

4、正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，求证：EF=BE+DF.

解析：如图，由题意得：△ABE≌△ADG
∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,BE=DG
∴FG=BE+DF
∴∠BAE+∠FAD=∠FAD+∠DAG
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∴∠BAE+∠FAD=90°-45°，∴∠FAG=45°，∠EAF=∠FAG
在△EAF和△GAF中，
AE=AG
∠EAF=∠GAF
AF=AF
∴△EAF≌△GAF（SAS）
∴EF=FG,而FG=BE+DF
∴EF=BE+DF[来

5、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系，
如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______
如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;QL=_______
点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明.

解析：（1）如图2，延长AC至E，使CE=BM,连接DE
可得△MBD≌△ECD(SAS)
∴DM=DE,∠BDM=∠CDE
∴∠EDM=∠BDC-∠MDN=60°
同理可得△MDN≌△EDN(SAS)
∴MN=NE=NC+BM
∵△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NV+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB
等边△ABC的周长L=3AB=9，AB=3，则Q=6
（2）如图，BM,NC,MN之间的数量关系BM+NC=MN.此时QL=23
（3）（2）中的结论仍然成立，证明参考（1）

【巩固提升】
1、已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；
（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．

（1）证明：如图1中，∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，
∴OA＝AB＝4，OD＝CD＝，∴AD＝＝＝，

∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OC＝OD，OA＝OB，
∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴BC＝AD＝，
∵点H为线段BC的中点，∴OH＝BC＝；
（2）结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，
∵点H是BC中点，∴BH＝CH，∴△BEH≌△CHO（SAS），∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，
∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，
∵OB＝OA，OC＝OD，∴△BEO≌△ODA（SAS），∴OE＝AD，∴OH＝OE＝AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO，∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，∴OH⊥AD

2、（1）问题发现
如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是　 　．
（2）类比探究
如图2，将∠COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由．
（3）拓展延伸
∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数．

解析：问题发现
（1）∵将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，
∴OC＝OD，且OA＝OB，∴AC＝BD，
（2）结论仍然成立，理由如下：
∵将∠COD绕点O在平面内旋转，∴∠COD＝∠AOB，
∴∠BOD＝∠AOC，且AO＝BO，CO＝DO，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
∴AC＝BD；
（3）∵OA＝OB，∠AOB＝50°，
∴∠OAB＝∠OBA＝65°，
当点D在点O左侧，
∵OD∥AB，∴∠BOD+∠OBA＝180°，
∴∠BOD＝115°，
当点D在点O右侧，
∵OD∥AB，
∴∠BOD＝∠OBA＝65°．
3、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．
（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；
（2）填空：①当旋转角α的度数为　 　时，则DB'∥AE；
②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为　 　．

解析：（1）DB'＝EC'，理由如下：
∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD＝AE，
由旋转可得，∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，
∴∠DAB'＝∠EAC'，且AB'＝AC'，AD＝AE
∴△ADB'≌△AEC'（SAS），∴DB′＝EC′，
（2）①当DB′∥AE时，∠B'DA＝∠DAE＝90°，
又∵AD＝AB'，∴∠AB'D＝30°，∴∠DAB'＝60°，∴旋转角α＝60°，
②如图3，当点B'，D，E在一条直线上，

∵AD＝，∴AB'＝2，
∵△ADE，△AB'C'是等腰直角三角形，∴B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，
由（1）可知：△ADB'≌△AEC'，∴∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，
∵∠ADB'＝∠DAE+∠AED，∠AEC'＝∠AED+∠DEC'，∴∠DEC'＝∠DAE＝90°，
∴B'C'2＝B'E2+C'E2，∴16＝（2+EC'）2+C'E2，∴CE＝﹣1，

4、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．
（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝　 　AD．
（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．

解析：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45°
∵AC＝CD，BC⊥AC，∴AB＝BD，∴∠BAC＝∠BDC＝45°，∴∠ABD＝90°，
∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，
∴BD＝DE，∠BDE＝90°，
∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，
∴四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，AD＝AB，∴AB+AE＝AD，
（2）结论仍然成立；
如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，

∵BC∥DF，∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，
∴∠F＝∠DAF＝45°，∴AD＝DF，∴AF＝AD，
∵∠ADF＝∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF，
∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝AD；
（3）不成立，
当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，

∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，
∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD
∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，
∵AB﹣BF＝AF，∴AB﹣AE＝AD；
当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥BC，交BA延长线于点F，

∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，
∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，
∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD
∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，
∵AB+AF＝BF，
∴AB+AD＝AE．
5、如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为　 　．
如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG与BE之间的数量关系，并说明理由．
如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积．

解析：（1）∵AC＝ BC，CG＝ EC，∴AG＝AC﹣CG＝ BC﹣EC＝ BE，∴＝，
（2）结论：＝．如图②中，所示，连接CG．

∵∠ACG＝∠BCE，＝＝，∴△ACG∽△BEC，∴＝，
（3）如图③中，连接CG，、

∵△ACG∽△BEC，∴∠GAC＝∠EBC∠AGC＝∠BEC＝90°，
∵AG＝6，∴BE＝，又∵tan∠EBC＝tan∠GAC＝，∴∠EBC＝30°，
在Rt△BEC中，tan∠EBC＝，∴EC＝，∴
6、已知，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上一点（不与点A．B重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE．
（1）如图1，求证：∠EBD＝90°
（2）如图2，连接DE与BC相交于点F，G在AC上，连接DG．若AG：CG＝7：5．BD＝2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，∴∠DCE＝90°，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠A＝45°，
∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠EBD＝90°；
（2）解：由（1）得：△ACD≌△BCE，∠EBD＝90°，∴AD＝BE，
∵BD＝2AD，∴BD＝2BE，∴tan∠BDE＝＝；

作DM⊥AC于M，如图2所示：则DM∥BC，△ADM是等腰直角三角形，
∴＝＝2，AM＝DM，∴CM＝2AM＝2DM，∴tan∠BCE＝tan∠ACD＝＝
∵AG：CG＝7：5，∴设AG＝7x，则CG＝5x，AC＝12x，DM＝AM＝AC＝4x，
∴MG＝AG﹣AM＝3x，∴DG＝＝＝5x，∴DG＝CG，
∴∠GDC＝∠ACD，∴tan∠GDC＝tan∠ACD＝；
综上所述，图2中所有正切值为的角为∠BDE、∠ACD、∠BCE、∠GDC．
7、已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点．
（1）如图1，求∠B的度数；
（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．

（1）∵AD⊥BC，D为BC中点，∴AB＝AC，∴∠C＝∠B，
∵∠BAC＝2∠B，∠B+∠BAC+∠C＝180°，
∴∠B+2∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝45°；
（2）∠F＝2∠FDC，
理由如下：在DH上取一点N使HN＝HF，

∵CH⊥DF，HN＝HF，
∴CN＝CF，
∴∠F＝∠CNF，
∵DH＝CF+HF，DH＝DN+HN，
∴CF＝DN，
∵CN＝CF，CF＝DN，
∴CN＝DN，∴∠FDC＝∠NCD，
∵∠CNF＝∠FDC+∠NCD，∴∠F＝2∠FDC；
（3）连接PC交DF于K，过点C作CM⊥EG于M，

由（2）知∠F＝2∠FDC，设∠FDC＝α，则∠F＝2α，
∵∠BPD＝∠F，∴∠BPD＝2α，
∵AD⊥BC，D为BC中点，
∴BP＝CP，∠PCD＝∠PBD，
∵∠BPD＝2α，∴∠PCD＝∠PBD＝90°﹣2α，
∴∠PKD＝∠PCD+∠FDC＝90°﹣α，
∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°﹣∠FDC＝90°﹣α，
∴∠PKD＝∠ADF，∴PK＝PD，
由EF沿着EC折叠可知∠FEC＝∠GEC，∴CM＝CH，
由（1）知∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴∠BAD＝45°，
∵∠BAC＝2∠ABC，∴∠DAC＝45°，∴∠AED＝45°+α，
∴∠FEC＝∠CEG＝∠AED＝45°+α，∴∠HEG＝90°+2α，
∵∠DEG＝90°﹣2α，∴∠EGC＝90°﹣α，
∵∠EKC＝∠PKD＝90°﹣α，∴∠EGC＝∠EKC，
又∵∠GMC＝∠KHC＝90°，∴△GMC≌△KHC（AAS），∴GC＝CK，
由BP：PD＝12：5，设BP＝12x，PD＝5x
∴GC＝CK＝CP﹣PK＝BP﹣PK＝12x﹣5x＝7x
∵GC﹣PD＝3，∵7x﹣5x＝3
∴x＝1.5
∴GC＝7x＝10.5