中考经典几何模型与最值问题 专题08 相似三角形中的基本模型

专题08 相似三角形中的基本模型

【专题说明】

相似三角形本章节内容在初中数学中是一个重点，也是历年中考必考的一个知识点。复习时我们首先要掌握本章节内容的重难点。

【模型】一、“8”字型及其变形

模型展示：

(1)如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔＝＝.

(2)如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔＝＝.

图1    　    　　                      图2[

1、如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，BD和CE相交于点F.如果DF＝2，那么线段BF的长度为____.

2、已知：如图，AD·AB＝AF·AC，求证：△DEB∽△FEC.

【模型】二、“A”字型及其变形

模型展示：

(1)如图1，DE∥BC⇔△ADE∽△ABC⇔＝＝.

(2)如图2，∠AED＝∠B⇔△ADE∽△ACB⇔＝＝.

(3)共边共角模型，如图3，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔＝＝.[

图1　                 　图2             　　图3

1、在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2，AB＝3，则BD＝____.

2、如图，已知BE，CD是△ABC的两条高，连接DE，求证：△ADE∽△ACB.

3、如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.

【模型】三、“手拉手”旋转型

模型展示：

如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com]

1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：

(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.

【模型】四、“子母(双垂直)”型

模型展示：

如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为(　　)

A.         B.         C.         D．3

2、如图，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，EF⊥AB.证明：△AEF∽△ABE.

【模型】五、“三垂直”模型与“一线三等角”模型

模型展示：

(1)“三垂直”模型

如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.

(2)“一线三等角”模型

如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.

特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.

1、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE.

(1)求证：△ABE∽△ECD；

(2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长．

2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．

(1)求证：△BDE∽△CEF；

(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.

[

【基础训练】

1.（2019 浙江杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（　　    ）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

2.如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（　　    ）

A． B． C． D．

3.如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4.已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（　　）

A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9

5.如图，在▱ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M，EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

6.已知△ABC∽△A'B'C'，AB＝8，A'B'＝6，则＝（　　）

A．2 B． C．3 D．

7.如图，已知△AOB和△A1OB1是以点O为位似中心的位似图形，且△AOB和△A1OB1的周长之比为1：2，点B的坐标为（﹣1，2），则点B1的坐标为（　　）

A．（2，﹣4） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（﹣4，2）

（二）填空题

1.在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是　　．

2.如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压　　cm．

3.已知正方形ABCD的面积是2，E为正方形一边BC在从B到C方向的延长线上的一点，若CE＝，连接AE，与正方形另外一边CD交于点F，连接BF并延长，与线段DE交于点G，则BG的长为　        　．

4.教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．

例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝

证明：连结ED．

请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程

结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．

（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为　    　．

（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为　   　．

5.如图，A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一点，点B、D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，△ABD的面积为1，则k的值为　     　．

6.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心．位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（1，0），则点E的坐标是　         　．

7.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D、E与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CD的长是　        　．

8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝　              ．

【巩固提升】

1.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．

（1）观察猜想

如图1，当α＝60°时，的值是　1　，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是　60°　．

（2）类比探究

如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．

2.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE＝CB，∠BCD＝∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）求证：CE＝CF；

（3）若BD＝1，CD＝，求弦AC的长．

3.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．

小明的作法

1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．

2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．

3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．

（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．

（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．

4.阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：

小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”

……

老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”

（1）求证：∠BAE＝∠DAC；

（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并证明；

（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．

5.已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．

（1）求证：BD＝CD；

（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．

6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，点M，Q分别是边AB，BC上的动点（点M不与A，B重合），且MQ⊥BC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x．

（1）试说明不论x为何值时，总有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；

（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值．

7.已知在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（﹣3，0），C（﹣3，8），以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交⊙E于点D，连接OD．

（1）求证：直线OD是⊙E的切线；

（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交⊙E于点G，连接BG；

①当tan∠ACF＝时，求所有F点的坐标　            　（直接写出）；

②求的最大值．

8.在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC＝120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向上作菱形AEFG，且∠EAG＝120°．

（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF＝　    　°；

（2）如图2，连接AF．

①填空：∠FAD　＝　∠EAB（填“＞”，“＜“，“＝”）；

②求证：点F在∠ABC的平分线上；

（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求的值．