中考经典几何模型与最值问题 专题18 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题

专题6 瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题

【专题说明】

【知识精讲】

动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

（1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值

（2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定

①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

【分析】当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．

可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．

【引例】如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

【分析】当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．

【模型总结】

必要条件：

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．

结论：

P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）

P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

【例题】

1、如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　．

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：

考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置（不一定在CD边），即为G点运动轨迹．

CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．

根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．

过点E作EF⊥CH于点F，则HF==1，CF=，

所以CH=，因此CG的最小值为．

2、如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（　　）

A． B． C．1 D．2

【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图

∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，

∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，

∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，

在Rt△AOP和△COQ中，，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，

易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，

∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，

∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，

∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，

而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，

∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，故选C．

3、如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，则的最小值为_____．

【解析】为矩形，，又

点到的距离与到的距离相等，即点线段垂直平分线上，

连接，交与点，此时的值最小，

且

4、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为______．

【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt△ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，∴EE′=AC′==，

故答案为：．

5、如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．

（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；

（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．

【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，
由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．

（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．
∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=∠A=60°，∴点E的运动轨迹是直线BE，
根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，
∵∠ACB=∠CBE=60°，∴AC∥EF，
∵AF⊥BE，∴AF⊥AC，

在Rt△ACF中，∴CF===，∴CD=CF=.