2022-2023学年辽宁省丹东市高三上学期期末教学质量监测数学试题含答案

  丹东市2022~2023学年度上学期期末教学质量监测

高三数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，，则中元素个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．已知，则正实数（    ）

A．1 B． C． D．2

3．设命题命题则p是的q（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象函数式为（    ）

A． B． C． D．

5．已知等比数列的前三项和84，，则（    ）

A．3 B．6 C．12 D．24

6．从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安排在一起相邻而坐的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．设函数，则（    ）

A．是奇函数  B．是偶函数

C．的图象关于点中心对称 D．的图象关于直线轴对称

8．已知，为双曲线的两个焦点，以为直径的圆与C及C的渐近线在第一象限的交点分别为点A和点B，若A，B两点横坐标之比为4∶3，则C的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率都小于100%

B．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

C．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

10．正方体的棱长为1，P为线段上的点，则（    ）

A．平面  B．平面

C．三棱锥的体积为定值 D．BP与所成角的最小值为45°

11．抛物线的焦点为F，准线为l，经过C上的点M作C的切线m，m与y轴、l、x轴分别相交于点N、P、Q，过M作l垂线，垂足为，则（    ）

A．  B．N为中点

C．若，则 D．若∠MPF=60°，则

12．设，，若a，b，c互不相等，则（    ）

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，若，则实数x=______．

14．当时，取得最大值，则的一个值为______．（任意写出满足条件的一个值即可）

15．直三棱柱的所有棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为______．

16．若是函数的极大值点，则f（1）的取值范围为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求．

18．（12分）

设数列的前n项和是，数列的前n项乘积是，已知．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）数列中的第几项最接近2023？

19．（12分）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列：

现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年．

（1）在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和；

（2）项目甲投资x万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？

20．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，已知，BC=2AD，AD=DC，∠BCD=60°，CD⊥PD，PB⊥BD．

（1）证明：PB⊥AB；

（2）设E是PC的中点，直线AE与平面ABCD所成角等于45°，求二面角B-PC-D的余弦值．

21．（12分）已知椭圆有两个顶点在直线上，C的中心到l的距离为

（1）求C的方程；

（2）设、是经过C下顶点的两条直线，与C相交于点M，与圆相交于点N，若斜率的不等于0，斜率等于斜率的2倍，证明：直线MN经过定点．

22．（12分）

已知函数．

（1）证明：若，则；

（2）证明：若有两个零点，，则．

丹东市2022~2023学年度上学期期末教学质量监测

高三数学试题参考答案

一、选择题

1．A  2．D  3．A  4．D  5．B  6．C  7．C  8．D

二、选择题

9．AC  10．BC  11．BD  12．ABD

三、填空题

13．1  14．  15．  16．

注：14题答案不唯一，只要满足即可．

四、解答题

17．解：（1）由题设及余弦定理得．

因为0°<A<180°，所以A=45°．

（2）由题设及正弦定理得，可得

由0°<C<135°，可知，故

．

18．解：（1）由题设当时，因为，所以．

当时，，所以，可得．

所以为首项为2，公差为1的等差数列．

（2）由（1）可得，从而．

当时，，因为，所以．

因为数列单调递增，当时，，当时，，所以中的第44项最接近2023．

19．解：（1）由题意可知和的分布列分别为

所以．

．

于是．

．

（2）由题意可知

．

当，即时，取得最小值．

因此投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时有最小值．

20．解法1：（1）连结BD，在中，因为BC=2DC，∠BCD=60°，由余弦定理．

因为BC=2DC，所以CD⊥BD，又CD⊥PD，，所以CD⊥平面PDB，故CD⊥PB．

因为PB⊥BD，，所以PB⊥平面ABCD，因此PB⊥AB．

（2）以B为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，由（1）可知y轴在平面ABCD内．

则，，，，．

设，则，，．

因为平面ABCD的法向量为，所以．

由AE与平面ABCD所成角等于45°，可知，解得t=2．

设平面DPC的法向量，则即

所以可取．

因为平面BPC的法向量为，于是．

因为二面角B-PC-D是锐二面角，所以其余弦值为．

解法2：

（1）同解法1．

（2）取BC中点为F，连结EF，AF，则，且AF=DC．

由（1）可知EF⊥平面ABCD，∠EAF是AE与平面ABCD所成角，所以∠EAF=45°，所以EF=AF=DC，于是PB=2EF=2DC．

以B为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，由（1）可知y轴在平面ABCD内．

则，，，，，．

设平面DPC的法向量，则即可得

所以可取．

因为平面BPC的法向量，于是．

因为二面角B-PC-D是锐二面角，所以其余弦值为．

解法3：

（1）同解法1．

（2）取BC中点为F，连结EF，AF，则，且AF=DC．

由（1）可知EF⊥平面ABCD，∠EAF是AE与平面ABCD所成角，故∠EAF=45°，因此EF=AF=DC，于是PB=2EF=2DC=BC，可得．

连结BE，则BE⊥PC．过E在平面PDC内作EG⊥PC，交PD于点G，则∠BEG是二面角B-PC-D的平面角．

因为PB⊥BC，所以，．因为CD⊥PD，由可得．

由PC⊥平面BEG，可得PC⊥BG，而CD⊥BG，故BG⊥平面PDC，从而BG⊥GE，所以．

因此二面角的余弦值为．

21．解：（1）由题设l经过点，，可得．

由可得b=1，从而．

因此C的方程为．

（2）设、的斜率分别为k、，，由（1）可知，可得：，：．

将代入可得．

将代入可得．

所以直线MN的斜率为．

因此直线MN方程为．

化简得，于是直线MN经过定点．

22．解法1：（1）因为定义域为，所以等价于．

设，则，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，故．

因为，所以，于是．

（2）不妨设，由（1）可知，也是的两个零点，且，，于是，由于在单调递减，故等价于．

而，故等价于．①

设，则①式为．

因为．

设，当时，，故在单调递增，所以，从而，因此在单调递增．又，故．

于是．

解法2：（1）同解法1．

（2）不妨设，由（1）可知，也是的两个零点，且，，于是．由于在单调递减，故等价于．

而，故等价于．即，

整理得．①

令，①式为，又在上单调递增，故①式等价于，即．

令，则当时，，故在上单调递减．又，所以，即．

因此．

解法3：（1）同解法1．

（2）由（1）可知，也是两个零点，由，可得．

因为在上单调递增，所以．

不妨设，由（1）可知，，于是．设，当时，，在单调递减．故等价于．

而，故等价于，此式为，即．

令，则当时，，故在上单调递减．又，所以，即．

因此．

解法4：（1）同解法1．

（2）由（1）可知，也是两个零点，由，可得．

令，则，因为调递增，所以，

故．

下面证明．

等价于证明①

不妨设，由（1）可知，，于是．

设，①式等价于当时，．

令，则当时，，故在上单调递减．所以，即．

因此．