2023届山西省太原市高三上学期期末数学试题含解析

2023届山西省太原市高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二次不等式的求解以及对数函数定义域的求解，结合集合运算，可得答案.

【详解】由不等式，分解因式可得，解得，则；

由函数，可得，解得，则；

综上可得.

故选：B.

2．设复数满足为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可；

【详解】解：因为，所以，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限；

故选：D

3．已知，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由数量积的性质求得，再代夹角公式即可求解

【详解】

所以

所以向量与的夹角为

故选：C

4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的2倍，，则该曲池的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据扇形弧长公式可知弧所在圆和弧所在圆的半径之间关系为，结合可求得，再根据柱体的体积计算公式，采用切割的方式可求得结果.

【详解】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，

因为弧的长度是弧长度的2倍，所以，即，

又，则，

所以该曲池的体积，

故选：.

5．某学校音乐社团为庆祝学校百年华诞将举办歌曲展演，要从4首独唱歌曲和2首合唱歌曲中选出4首歌曲安排演出，若最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法种数为（    ）

A．96 B．120 C．240 D．360

【答案】B

【分析】有特殊要求得位置优先考虑，先排最后一首歌曲，再排前三首歌曲

【详解】第一步，先从两首合唱歌曲中选一首按排在最后的方法有种

第二步，从其余的歌曲中选三首歌曲安排在前三位的方法有种

则不同的安排方法种数为：

故选：B

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据，结合二倍角公式求解即可.

【详解】解：因为，

所以.

故选：C

7．如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据数阵中数的规律逐项进行检验即可求解.

【详解】对于，表示第3行第18个数字，由数阵可知：第3行是以4为首项，以3为公差的等差数列，则第18个数字为，故选项错误；

对于，表示第6行第8个数字，由数阵可知：第6行是以7为首项，以6为公差的等差数列，则第8个数字为，故选项错误；

对于，表示第7行第7个数字，由数阵可知：第7行是以8为首项，以7为公差的等差数列，则第7个数字为，故选项错误；

对于，表示第12行第4个数字，由数阵可知：第12行是以13为首项，以12为公差的等差数列，则第4个数字为，故选项正确，

故选：.

8．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，当时，，且，则（    ）

A．20 B．30 C．35 D．40

【答案】B

【分析】由题知函数图象关于对称，，进而得也为周期函数，周期为，再根据周期性求解即可.

【详解】解：因为均为偶函数，

所以

所以，函数图象关于对称，函数图象关于对称，

因为，

所以，为常数，即，

因为，

所以，令得，即

因为当时，且，

所以，即，解得，

所以，当时，，，

因为函数图象关于对称，所以，

因为，即，

所以，

令，则，

所以，即函数为周期函数，周期为，

所以也为周期函数，周期为.

因为函数图象关于对称，所以，

所以，

所以，.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于根据奇偶函数的定义式推导得到函数的对称性，进而根据对称性与周期性的关系求得函数的周期性，将问题转化为函数一个周期内的函数值的求解问题.

二、多选题

9．已知正数x，y满足，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值是1 B．的最小值是4

C．的最大值是 D．的最小值是1

【答案】AC

【分析】对于A、B、D：利用基本不等式求出最值，即可判断；对于C：利用二次函数求最值.

【详解】正数x，y满足.

对于A：，所以.（当且仅当时“=”成立）.

所以的最大值是1.故A正确；

对于B：因为，所以，所以，所以（当且仅当时“=”成立）.故B错误；

对于C：因为正数x，y满足，所以，其中，

所以，

所以当时，的最大值是.故C正确；

对于D：因为正数x，y满足，所以，

所以（当且仅当，即时“=”成立）.故D错误.

故选：AC

10．已知函数的部分图像如图所示，下列结论正确的是（    ）

A．的图像关于直线对称

B．的图像关于点对称

C．将函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像

D．方程在上有7个不相等的实数根

【答案】AB

【分析】根据题意得，再结合三角函数的性质依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：由题知，，即，故，解得，

所以，

再将代入解析式得，解得，

因为，所以，即，

对于A选项，当时，，由于是函数的一条对称轴，故的图像关于直线对称，正确；

对于B选项，当时，，由于是函数的一个对称中心，故的图像关于点对称，正确；

对于C选项，函数的图像向左平移个单位长度，故错误；

对于D选项，，即，故或，即或，

所以，当时，的实数根为，，共个不相等的实数根，故错误.

故选：AB

11．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（    ）

A．若点，则的最小值是3

B．的最小值是2

C．若，则直线的斜率为

D．过点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为，则点的横坐标为

【答案】ACD

【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，进而根据抛物线的定义判断A；根据判断B；设直线的方程为，，进而联立方程，结合韦达定理，根据解方程即可得判断C；根据直线与曲线的位置关系得过点，分别与抛物线相切的直线方程为，，进而联立方程解得可判断D.

【详解】解：由题知，，准线方程为，

对于A选项，如图，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，故，故正确；

对于B选项，设，故，故错误；

对于C选项，当直线的斜率不存在时，，不成立；

故直线的斜率存在，设方程为，与抛物线方程联立得，

所以，

因为，

所以，即，解得，故正确；

对于D选项，设过点与抛物线相切的直线方程为，

与抛物线方程联立得，

所以，整理得，

所以，故即为，整理得

同理得过点与抛物线相切的直线方程为，

所以，联立方程，解方程得，

因为，所以

所以，即点的横坐标为，故正确.

故选：ACD

12．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱，P为上底面上的动点，M为棱的中点，下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值1

B．当直线与平面所成角为时，点P的轨迹长度为

C．若直线平面，则线段长度的最小值为

D．直线被正四棱柱外接球所截得线段长度的取值范围是

【答案】ACD

【分析】A选项：P在上底面上运动，则点到底面的距离为定值，体积公式计算可求出结果；B选项：利用为定值，可求出点的轨迹为圆的一部分，从而求出轨迹长度；C选项：直线平面，则所在的平面与平面平行，可发现，计算到的距离再勾股运算，可求出的最小值；D选项：结合弦长最短和P在上底面上运动，可知在中点时，弦长最短，直线过球心时，弦长最长，从而求出范围.

【详解】解：A选项：P在上底面上运动，点到底面的距离为定值3，所以，故A正确；

B选项：

连接，直线与平面所成角为，即，则有为定值，即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分，所以点P的轨迹长度为，故B错误；

C选项：

因为平面平面，所以若直线平面，则有，到的距离为，所以，故C正确；

D选项：

正四棱柱外接球的半径为，因为P在上底面上运动，所以弦最短时在上底面的边上，当在中点时，直线被球截得的弦最短，此时弦长为，当直线过球心时，弦长最长为，所以线段长度的取值范围为，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数____________．

【答案】

【分析】由导数的几何意义求出切线方程，结合切线经过坐标原点，即可求得的值.

【详解】因为，所以，

所以，又，

所以在处的切线方程为：，

又切线方程过原点，把代入得，

解得：．

故答案为：.

14．的展开式中常数项为_________．（用数字作答）

【答案】

【分析】利用二项式定理，写出通项，根据多项式乘法，结合赋值法，可得答案.

【详解】由，根据二项式定理，其展开式的通项为，

由，其展开式的通项可表示为，整理可得，

显然当时，取得常数项，其为.

故答案为：.

15．在临床上，经常用某种试验来诊断试验者是否患有某种癌症，设“试验结果为阳性”，“试验者患有此癌症”，据临床统计显示，．已知某地人群中患有此种癌症的概率为，现从该人群中随机抽在了1人，其试验结果是阳性，则此人患有此种癌症的概率为_____________．

【答案】

【分析】根据已知得出，与，再由条件概率公式与全概率公式计算得出结果.

【详解】由题意可得：

，，，

，

，

故答案为：.

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点．若，则双曲线离心率的取值范围是__________．

【答案】

【分析】由题知，，，，进而结合双曲线的性质，余弦定理得，故且，进而得，再根据离心率公式求解即可.

【详解】解：如图，因为过作圆的切线，切点为，

所以，，

所以，在中，，，，，

因为，延长交双曲线的左支于点，

所以，即，

所以，在中，，整理得，

所以，即，所以

因为，即，整理得，即

所以，

综上，双曲线离心率的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．已知数列的前n项和为．

(1)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求的通项公式；

(2)设，记的前n项和为，若对任意正整数的n，不等式恒成立，求的最小值．

条件①，且；条件②为等比数列，且满足；（注：若条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．）

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）选择条件①，结合题意得，进而得为公比的等比数列，再根据等比数列求得，进而求解通项公式；

选择条件②，由题知，再根据等比数列通项公式求解即可；

（2）由题知，进而根据裂项求和法得，进而得.

【详解】（1）解：选择条件①，且，

由题意可得，

∴，即，

∴为公比的等比数列，

∵，∴，解得，

∴；

选择条件②为等比数列，且满足，

由题意可得，

∴，∴；

（2）由（1）得，

∴，

∴，

∵，，

∴

∴不等式恒成立时，，即的最小值为．

18．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．

(1)求证：；

(2)求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件可得，再利用正弦定理化边为角，即可证明（2）消元，将要求取值范围的代数式转化为，利用第一问得出的结论求出角的取值范围，从而得到的取值范围，最后应用对勾函数的单调性即可求解

【详解】（1）由余弦定理得，

∵，

∴

∴

∴，

由正弦定理得，

∴，

∴，

∵，∴，∴，∴

（2）由（1）得，

∴，

∵，又，∴，∴，

函数在上单调递减，在上单调递增

，

∴，

∴的取值范围为．

19．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差．

（ⅰ）利用该正态分布，求；

（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求．

附：；若，则．

【答案】(1)200；150

(2)（ⅰ）；（ⅱ）95.44

【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算平均数与方差即可；

（2）（i）由题知，进而根据正态分布求解即可；

（ii）由题知，进而根据二项分布求解即可；

【详解】（1）解：由题意得，

（2）解：由题意得，

（ⅰ）∵，

∴；

（ⅱ）由（ⅰ）得从该企业购买了1件这种产品，其质量指标值位于区间的概率为，

∴，

∴．

20．如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．

(1)证明：；

(2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）利用等腰三角形中线就是高,得到,然后利用面面垂直的性质,得到平面,从而得到

（2）取的中点,因为为正三角形,所以,过作与交于点,则,所以两两垂直,以点为坐标原点,分别以,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,利用空间向量及二面角的大小为求得,可得点坐标,求出平面的一个法向量及,即可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）∵O为的中点，，∴，

∵平面平面，且平面平面，平面

∴平面，又平面

∴

（2）由（1）得平面，以点O为原点，所在的直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由题意可得，

设是平面的一个法向量，则

∴，令，则，∴，

由题意可知是平面的一个法向量，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

21．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆C经过点，且直线，与圆相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线与椭圆C交于P，Q两点，点M在x轴上，且满足，求点M横坐标的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据椭圆过点可得，然后再利用直线与圆相切得到，进而求解方程；

(2)由已知条件可得：，进而得到，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理和中点坐标公式得到点横坐标的表达式，根据直线的方程和基本不等式即可求出点横坐标的取值范围.

【详解】（1）∵椭圆C经过点，∴，

由题意得直线的方程为，即，

∵直线与圆相切，∴，∴，

∴，∴椭圆C的方程为；

（2）设，点是的中点，

由得，∴，∴，

∵，

∴，∴，

∴直线的方程为，

∴点M的横坐标为，

∵，∴，∴．

∴“点M的横坐标的取值范围为．

22．已知函数．

(1)若在处取得极大值，求的单调区间；

(2)若恰有三个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)的单调减区间为，单调增区间为和；

(2)

【分析】（1）求导之后，分解因式求出导函数的零点，按零点的大小分类讨论即可求解（2），显然是的零点，

则问题转化为方程，即恰有两个不为2的实数根，构造函数数形结合即可求解

【详解】（1）由题意得，

令，则或，

①当时，即时，

令，则：令，则，或，

∴在上递减，在上递增，

∴在处取得极小值，此时不符合题意；

②当时，即时，则，

∴在上递增，

∴在处不取极值，比时不符合题意

③当时，即时，

令，则；令，则，或，

∴在和上递增，在上递减，

∴在处取得极大值，此时符合题意；

综上，的单调减区间为，单调增区间为和

（2）由题意得，显然是的零点，

则方程，即恰有两个不为2的实数根，

令，则，

令，则；令，则，

∴在上递增，在上递减，

当时，的值域为；当时，的值域为，

∴，且，∴，且，

综上，实数a的取值范围为．