专题06 幂的运算重难点题型专训-七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题06 幂的运算重难点题型专训 【题型目录】题型一 同底数幂的乘法题型二 幂的乘方题型三 积的乘方题型四 同底数幂的除法题型五 幂的混合运算题型六 幂的运算含参问题题型七 幂的运算新定义问题题型八 幂的运算综合问题【经典例题一 同底数幂的乘法】【要点梳理】法则：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.特别说明：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即（都是正整数）.【例1】（2022春·江苏·七年级专题练习）已知，，，现给出3个实数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据同底数幂的乘法公式即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可．【详解】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12．∴2a×22＝3×4＝12，2b×2＝6×2＝12，2c＝12，∴a+2＝b+1＝c，即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2，于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2，所以a+c＝2b，因此①正确；②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1，所以a+b＝2c﹣3，因此②正确；③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确；④b＝a+1，因此④不正确；综上所述，正确的结论有：①②③三个，故选：C．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，得出a、b、c的关系．【变式训练】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）若（且），则，已知，，，那么，，三者之间的关系正确的有（    ）①；②；③；④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】根据同底数幂的乘除法公式即可求出m、n、p的关系．【详解】解：∵4n=12=4×3=4×4m=41+m，∴n=1+m，即n-m=1，故②错误；∵4p=48=12×4=4n×4=41+n，∴p=1+n，即p=n-m+n=2n-m，∴m+p=2n，故①正确；∵4p=48=3×16=4m×42 =42+m，∴p=2+m，∴m+n=p-2+p-1=2p-3，故③错误；，故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式，本题属于中等题型．【变式2】（2023春·七年级课时练习）观察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是_______．【答案】m2﹣m##-m+m2【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含m的代数式表示出来即可．【详解】解：由题意得：2100+2101+2102+…+2199，＝（2+22+23+…+2199）﹣（2+22+23+…+299），＝（2200﹣2）﹣（2100﹣2），＝（2100）2﹣2100，＝m2﹣m，故答案为：m2﹣m．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用含m的代数式表示出结果是解题的关键．【变式3】（2022秋·上海浦东新·七年级统考期中）阅读下列材料：一般地，个相同因数相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．(1)计算以下各对数的值：________，________，________．(2)写出（1）、、之间满足的关系式________．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：________（且，，）(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．【答案】(1)(2)(3)(4)见解析【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：，；（3）由特殊到一般，得出结论：；（3）根据同底数幂的乘法可得，根据对数的定义即证明．【详解】（1）解：∵∴，故答案为：；（2）∵，，，，∴，故答案为：；（3）由（2）的结果可得，故答案为：．（4）证明：设，，则∴∴即．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法应用，借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确地应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．【经典例题二 幂的乘方】要点、幂的乘方法则(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.特别说明：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【例2】（2022秋·河北邯郸·八年级校考阶段练习）若，则的值为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法可求得，即可求得【详解】∵∴，解得：，故选：B【点睛】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练幂的运算【变式训练】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）已知，，，则的大小关系是（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化成底数为3的幂，比较指数的大小即可判定．【详解】解：因为，，，因为所以，故选A．【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．【变式2】（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如∶因为，所以．(1)根据上述规定，填空∶______；______；______；(2)小明在研究这种运算时发现一个特征；，并作出了如下的证明∶∵设，则，∴，即，∴∴试参照小明的证明过程，解决下列问题∶①计算；②请你尝试运用这种方法，写出之间的等量关系．并给予证明．【答案】(1)(2)①0；②【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；（2）①由推理过程可得，再相减结果得0即可；②设，，则，从而得到【详解】（1）故答案为：（2）①；②．证明：设，，则，所以，，，所以【点睛】本题主要考查幂的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点．【经典例题三 积的乘方】要点、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.特别说明：（1）公式的推广：(为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：要点、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.【例3】（2022秋·广东佛山·七年级统考期中）已知当时，，那么当时，（    ）A．14 B．15 C．16 D．无法确定【答案】B【分析】先将带入得到，再将带入得到，再根据积的乘法的运算法则将换算成即可得到答案．【详解】解：当时，，当时，=15，故选：B．【点睛】本题考查积的乘方，解题的关键是灵活运用积的乘方将整式进行换算．【变式训练】【变式1】（2022秋·四川广元·八年级校联考期中）下列计算：（1）；（2）；（3）；（4）若，，则中正确的有（   ）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】直接利用积的乘方、幂的乘方，同底数幂的运算，即可计算得出选项．【详解】解：（1），原计算错误，不符合题意；（2），原计算错误，不符合题意；（3），原计算正确，符合题意；（4）若，，则，原计算正确，符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方，同底数幂的运算，解题的关键是能熟记法则的内容．【变式2】（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）已知，则的值为______．【答案】1025【分析】先化简，再逆用幂的乘方，进行求值即可．【详解】解：∵，∴．故答案为：1025．【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，以及代数式求值．熟练掌握积的乘方，幂的乘方运算，是解题的关键．【变式3】（2022秋·山东临沂·七年级统考期中）（1）计算：①与；②与；③与；④与（2）根据以上计算结果猜想：分别等于什么？（直接写出结果）（3）猜想与验证：当p为正整数时，等于什么？（4）利用上述结论，求的值．【答案】（1）①196  196  ②   ③36  36  ④216  216（2）  （3）；（4）-4【分析】（1）第一个式子先计算乘法，再计算乘方，第二个式子先计算乘方，再计算乘法即可得到答案；（2）根据（1）的运算结果可知 ，；（3）由结合（2）可得答案；（4）将原式变形为进行求解即可．【详解】解：（1）①，；②，；③，；④与；（2）由（1）可知 ，；（3）（4）．【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，正确理解题意是解题的关键．【经典例题四 同底数幂的除法】要点、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）特别说明：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）特别说明：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【例4】（2022秋·全国·八年级专题练习）已知，，则代数式值是（    ）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据可以得到然后再根据即可得到结果．【详解】解：两式相减，可得故选：B．【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．【变式训练】【变式1】（2022春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）已知，，则的值为（    ）A．-1 B． C．1 D．72【答案】B【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案．【详解】解：∵，，∴故选：B【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）如果，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b，c三者之间的数量关系是 _____；（2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t的值为 _____．【答案】     a+b=c     80【分析】（1）根据积的乘方法则，结合定义计算；（2）根据定义解答即可．【详解】解：（1）∵（4，12）=a，（4，5）=b，（4，60）=c∴，∵12×5=60，∴，∴，∴a+b=c；故答案为：a+b=c.（2）设（m，16）=p，（m，5）=q，（m，t）=r∴∵（m，16）+（m，5）=（m，t），∴p+q=r∴，∴，即16×5=t∴t=80．故答案为：80．【点睛】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．【变式3】（2023春·七年级单元测试）数学活动在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：与（，、都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作．运算法则如下： ．解决问题根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题：(1)填空：___________，___________；(2)如果，求出的值；(3)如果，请直接写出的值．【答案】(1)；(2)(3)或【分析】（1）根据定义的运算法则计算即可；（2）逆用运算法则列一元一次方程求解；（3）分两种情况讨论：，求解可知； ，求解可得，即可获得最终答案；【详解】（1）解：（2）解：原等式可化为： 所以： 解得：（3）解：当时，解得： 当时，解得： 所以：或【点睛】本题主要考查有理数的乘方运算，掌握乘方运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键．【经典例题五 幂的混合运算】【例5】（2020·七年级统考课时练习）计算的结果是 (    )A． B． C． D．【答案】D【详解】===×（1-）== .故选D.【变式训练】【变式1】（2022秋·天津南开·八年级校考期末）若，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用乘方运算、负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别进行化简运算，然后比较大小即可得出答案．【详解】解：∵，，，，∴．故选：D．【点睛】此题主要考查了乘方运算、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质以及有理数大小比较等知识，正确化简各数是解题关键．【变式2】（2022秋·八年级课时练习）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简， ______． 【答案】【分析】先具体计算出S1，S2，S3，S4的值，得出面积规律，表示S2021，再设①，两边都乘以，得到②，利用①−②，求解S，从而可得答案．【详解】解：∵设①②①-②得，故答案为：．【点睛】本题考查的是图形的面积规律的探究，有理数的乘方运算的灵活应用，同底数幂的乘法与除法的应用，方程思想的应用，正方形的性质，掌握以上知识是解题的关键．【变式3】（2022春·江苏淮安·七年级校考阶段练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；【答案】(1)(2)(3)(4)1(5)(6)【分析】（1）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可；（2）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项即可；（3）先计算负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方，再进行有理数的混合运算即可；（4）根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法法则计算即可；（5）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（6）先计算积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘、除法，再合并同类项即可．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【点睛】本题考查幂的混合运算和有理数的混合运算．涉及积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘、除法，负整数指数幂，零指数幂和有理数的乘方．掌握各运算法则是解题关键．【经典例题六 幂的运算含参问题】【例6】（2022秋·浙江台州·八年级台州市书生中学校考期中）已知，，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据幂的乘方的逆运算求出，，再根据同底数幂的乘除法逆运算求出，即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，，∴，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂乘除法的逆运算，熟知，是解题的关键．【变式训练】【变式1】（2021·江苏·九年级自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案．【详解】解：由题意知，是100的倍数∵与100互质∴是100的倍数∴的末尾数字是01∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数，设：（t为正整数）则：∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01∴t的最小值为5，∴的最小值为10故答案为：B【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键．【变式2】（2022秋·天津和平·八年级天津一中校考期末）若，，则______．【答案】##0.5【分析】用同底数幂相乘和幂的乘方的逆用进行计算即可．【详解】解：∵，∴，，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方，解本题的关键是掌握幂的乘方和同底数幂相乘运算法则，并灵活运用．【变式3】（2022秋·广东江门·九年级统考阶段练习）如果，那么我们规定，例如：因为，所以 [理解]根据上述规定，填空：______， [说理]记，，，说明 [应用]若，求的值【答案】[理解]，；[说理]见解析；[应用] 【分析】[理解]根据新定义进行计算即可求解；[说理]根据新定义得出，根据同底数幂的乘法即可得证；[应用]根据同底数幂的乘法即可求解．【详解】[理解] 解：∵，∴，∵，∴；故答案为：，；[说理]证明：∵， ，，∴，∴，∴； [应用]解：设，∴，∴，∵，∴，即，∴．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，负整数指数幂，有理数的乘法运算，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．【经典例题七 幂的运算新定义问题】【例7】（2023春·七年级单元测试）若定义 表示， 表示，则运算÷的结果为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据定义列出代数式，然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可．【详解】解：由题意可得：==．故选A．【点睛】本题主要考查了整单项式除法运算，根据新定义列出整式是解答本题的关键．【变式训练】【变式1】（2021春·江苏镇江·七年级校联考期中）定义：如果（），则叫做以为底的对数，记作.如：，记作.若，，则的值为（   ）A．-0.4 B．-0.04 C．0.4 D．0.04【答案】D【分析】根据新定义的运算和幂的相关运算，求出关于m，n的式子再进行求解.【详解】∵，，∴5m=0.4,5n=4∴=(5m)2÷5n=(0.4)2÷4=0.04故选D.【点睛】此题主要考查实数新定义的运算，解题的关键是根据题意求出相关式子，再根据幂的运算法则进行求解.【变式2】（2021春·上海奉贤·六年级校联考期末）本学期我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算．定义：am与an（a≠0，m，n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an．其中“同底数幂除法”运算法则中规定当m＝n时，am÷an＝am﹣n＝a0＝1，根据“同底数幂除法”法则中的规定和你已经学过的知识，如果等式x2x+4÷xx+7＝1成立，则请写出满足等式成立的所有的x的值 ______．【答案】1或-1或3【分析】根据已知分三种情况，底数是1或-1，及（2x＋4）−（x＋7）＝0，再求出x即可．【详解】有三种情况：①当x＝1时，x2x+4÷xx+7＝16÷18＝1，②当x＝-1时，x2x+4÷xx+7＝（-1）2÷（-1）6＝12÷16＝1，③（2x+4）﹣（x+7）＝0，解得：x＝3，所以x＝1或-1或3，故答案为：1或-1或3．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂除法，解题的关键是掌握同底数幂的除法法则、分类讨论思想运用等知识点．【变式3】（2022秋·北京海淀·八年级校考期中）在学习平方根的过程中，同学们总结出：在中，已知底数a和指数x，求幂N的运算是乘方运算；已知幂N和指数x，求底数a的运算是开方运算．小明提出一个问题：“如果已知底数a和幂N，求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．小明课后借助网络查到了对数的定义：如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：(1)；；；__________；计算：__________；(2)计算后小明观黎（1）中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，例如：__________；（用对数表示结果）(3)于是他猜想：__________（且，，）．请你将小明的探究过程补充完整，并证明他的猜想．(4)根据之前的探究，直接写出__________．【答案】(1)4，5；(2)；(3)，证明见解析；(4)．【分析】（1）根据对数与乘方之间的关系求解可得答案；（2）利用对数的定义结合（1）中结果求解可得答案；（3）根据（2）中结果进行猜想，设，，可得，，求出，根据对数的定义可得结论；（4）根据（3）中的探究可得，设，，可得，，求出，根据对数的定义可进行验证．【详解】（1）解：∵＝16，∴；∵＝32，∴；故答案为：4，5；（2）解：，故答案为：；（3）解：，证明：设，，则，，∴，∴，∴，故答案为：；（4）根据之前的探究，可得，设，，则，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘方，同底数幂的乘除运算，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用．【经典例题八 幂的运算综合问题】【例8】（2020·甘肃天水·统考中考真题）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　)A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案．【详解】解：由题意得：这组数据的和为：∵，∴原式=,故选：A．【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．【变式训练】【变式1】（2020春·七年级统考课时练习）已知a=255，b=344，c=533，d=622 ，那么a,b,c,d大小顺序为（   ）A．a