专题7.9 角度计算的综合大题专项训练（30道）-七年级数学下册举一反三系列（苏科版）

专题7.9 角度计算的综合大题专项训练（30道）
【苏科版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！
一．解答题（共30小题）
1．（2022•金水区校级期末）“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．















2．（2022春•渠县期末）∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　 　°；
（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．
①若∠BAO＝60°，则∠D＝　 　°；
②随着点A，B的运动，∠D的大小是否会变化？如果不变，求∠D的度数；如果变化，请说明理由．


















3．（2022•永春县期末）在直角三角板ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，将三角板的顶点A放置在直线DE上．
（1）如图，在AB边上任取一点P（不同于点A，B），过点P作直线l∥DE，当∠1＝8∠2时，求∠2的度数；
（2）将三角板绕顶点A转动，并保持点B在直线DE的上方．过点B作FH∥DE（F在H的左侧），求∠DAC与∠FBC之间的数量关系．




















4．（2022春•亭湖区校级期中）平移是一种常见的图形变换，如图1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，连接BA1，AC1，若BA1平分∠ABC，C1A平分∠A1C1B1，则称这样的平移为“平分平移”．
（1）如图1，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，请问AC和A1C1有怎样的位置关系：　 　．
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，求∠AOB的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，求∠BDC1的度数．
（4）如图4，△ABC经过“平分平移”后得到△A1B1C1，BD平分∠ABA1，C1D平分∠AC1A1，若∠BAC＝α，则∠BDC1＝　 　．（用含α的式子表示）









5．（2022春•如皋市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC交△ABC的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使EF∥BC，作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G．

（1）如图1，∠ABC＝40°，点E与点A重合，求∠G的度数；
（2）若∠ABC＝α，
①如图2，点E在DC的延长线上，求∠G的度数（用含有α的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在∠G时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含α的式子表示∠G的度数．
















6．（2022春•信阳期末）已知：如图1，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A＝∠DCB．
（1）试说明∠ACB＝90°；
（2）如图2，如果AE是角平分线，AE、CD相交于点F．那么∠CFE与∠CEF的大小相等吗？请说明理由．






















7．（2022春•鼓楼区期末）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC＝　 　°；
（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，且BP⊥CP，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）如图④，直线AC、BD交于点O，∠ADB的三分线所在的直线与∠ACB的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝66°，∠B＝45°，∠ADB＝m°，直接写出∠DPC的度数．













8．（2022•涡阳县期末）如图（a）所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．

（1）若∠DCE＝25°，则∠ACB＝　 　°；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝　 　°．
（2）如图（b）所示，若两个同样的三角板，将60°锐角的顶点A叠放在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）如图（c）所示，已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角）．若把它们的顶点O叠放在一起，则∠AOD与∠BOC有何数量关系，直接写出结论．


















9．（2022春•丰泽区期末）已知在△ABC中，∠A，∠ABC，∠ACB的度数之比为2：1：6，CD平分∠ACB，在直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°．如图1，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D逆时针方向旋转，记旋转角为α（0°＜α＜180°），完成下列问题．
（1）在△ABC中，∠ACB＝　 　°，∠BDC＝　 　°；
（2）在旋转过程中，如图2，当α＝　 　°时，DE∥AC；当α＝　 　°时，DE⊥AC；
（3）如图3，当点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于N，M两点．
①此时，α的取值范围是 　 　；
②∠CMD与∠CND之间有一种始终保持不变的数量关系，请写出该数量关系，并说明理由．















10．（2022春•大丰区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
（1）如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝　 　度；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）①如图3，若∠ABC和∠DCB的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数；
②在①的条件下，若延长BA、CD交于点F（如图4）．将原来条件“∠A＝140°，∠D＝80°”改为“∠F＝40°”．其他条件不变．则∠BEC的度数为 　 　．



















11．（2022春•丰泽区期末）如图，清晨小明沿着一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步．
（1）小明每从一条街道转下一条街道时，身体转过的角是哪个角，在图上标出；
（2）他每跑一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）你是怎么得到的？
（4）如果广场是六边形、八边形的形状，那么还有类似的结论吗？





















12．（2022春•井研县期末）已知在四边形ABCD中，∠A＝x，∠C＝y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC＝　 　（用含x、y的代数式表示）；
（2）如图1，若x＝y＝90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y＝140°，∠DFB＝30°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．

















13．（2022春•长春期末）如图1，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
【片断一】（1）小孙说：由四边形内角和知识很容易得到∠OBC+∠ODC的值．
如果你是小孙，得到的正确答案应是：∠OBC+∠ODC＝　 　°．
【片断二】（2）小悟说：连结BD（如图2），若BD平分∠OBC，那么BD也平分∠ODC．请你说明当BD平分∠OBC时，BD也平分∠ODC的理由．
【片断三】（3）小空说：若DE平分∠ODC、BF平分∠MBC，我发现DE与BF具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断DE与BF有怎样的位置关系并说明理由．














14．（2022春•无锡期中）阅读并解决下列问题：
（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝　 　．
（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．





















15．（2022春•冠县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）若∠A＝40°，请直接写出∠BOC＝　 　；
【变式思考】
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，点E在CB的延长线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．













16．（2022春•淅川县期末）[规律探索]探索三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：
在三角形中，由三角形的内角平分线外角平分线所形成的角存在一定的规律．
规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；
规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．
[问题呈现]如图①，点P是△ABC的内角平分线BP与CP的交点，点M是△ABC的外角平分线BM与CM的交点，则∠P＝90°+12∠A，∠M＝90°−12∠A．
说明∠P＝90°+12∠A如下：
∵BP、CP是△ABC的角平分线，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ABC．
∴∠A+2（∠1+∠2）＝180°．…………①
∴∠1+∠2＝90°−12∠A．
∴∠P＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°+12∠A．
请你仔细阅读理解上面的说理过程，完成下列问题：
（1）上述说理过程中步骤①的依据是 　 　．
（2）结合图①，写出说明∠M＝90°−12∠A的说理过程．
[拓展延伸]如图②，点Q是△ABC的内角平分线BQ与△ABC的外角（∠ACD）平分线CQ的交点．若∠A＝50°，则∠Q的大小为 　 　度．




17．（2022•驿城区校级期末）在图1中，已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝40°，求∠DAE的度数．
（2）在图2中，∠B＝x，∠C＝y，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x、y表示∠DFE＝　 　；
（3）在图3中，当点F是AE延长线上一点，其余条件不变，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请说明为什么；若不成立，请写出成立的结论，并说明为什么．
（4）在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x、y表示∠P＝　 　．














18．（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．
【理解】
（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为 　 　°；
（2）若△ABC为开心三角形，∠A＝70°，则这个三角形中最小的内角为 　 　°；
（3）已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；
【应用】
如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P＝30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE＝∠α，求∠α的度数．












19．（2022春•兴化市期中）如图，∠AOB＝n°，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，∠ACE=13∠ACD，∠FDO=13∠CDO，射线CE的反向延长线与射线DF相交于点F．
（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度数；
（2）若n＝75，则∠F＝　 　．
（3）随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠F的数量关系，并说明理由．



















20．（2022•内江期末）已知，如图1，直线AB∥CD，E、F分别交AB、CD于E、F两点，∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M．
（1）求∠M的度数；
（2）如图2，∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，请写出∠M1与∠M之间的等量关系，并说明理由；
（3）在图2中作∠AEM1，∠CFM1的平分线相交于点M2，作∠AEM2，∠CFM2的平分线交于点M3，作∠AEM2020，∠CFM2020的平分线交于点M2021，请直接写出∠M2021的度数．



















21．（2022春•青龙县期末）已知：△ABC中，图①中∠B、C的平分线相交于M，图②中∠B、∠C的外角平分线相交于N．
（1）若∠A＝80°，∠BMC＝　 　°，∠BNC＝　 　°．
（2）若∠A＝β，试用β表示∠BMC和∠BNC．




















22．（2022春•承德县期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．

（1）当△PMN所放位置如图①所示时，直接写出∠PFD与∠AEM的数量关系；
（2）当△PMN所放位置如图②所示时，猜想∠PFD与∠AEM的数量关系并证明；
（3）如图②，在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，直接写出∠N的度数．














23．（2022春•农安县期末）探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若∠B＝30°，则∠ACD的度数是 　 　．
拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在人MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E．若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数．
应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE．若∠MCN＝∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝　 　．



















24．（2022春•平潭县期末）已知直线a∥b，直角三角形ABC的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且∠ACB＝90°．
（1）将直角三角形ABC如图1位置摆放，如果∠AOG＝56°，则∠CEF＝　 　；
（2）将直角三角形ABC如图2位置摆放，N为AC上一点，∠NEF+∠CEF＝180°，请写出∠NEF与∠AOG之间的等量关系，并说明理由；
（3）将直角三角形ABC如图3位置摆放，若∠GOC＝135°，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，请用平行的相关知识，探究∠POQ，∠OPQ与∠PQF的数量关系，请直接写出结论．

















25．（2022春•盐都区期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD．
【问题情境】
（1）如图1，若∠A＝30°，则∠C的度数为 　 　．
（2）如图2，点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，DH平分∠FDC，交FC于点H，若∠A＝50°，∠HDC＝45°，求∠DFC的度数．

【操作思考】
（3）如图3，若点E是AB边上的一点，DE交CB的延长线于点F，分别作∠FDC、∠ABC的角平分线，两条角平分线所在的直线交于点G，直线GB交CD于点M．试猜想∠DFC与∠DGB的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）如图4，若点E是AB延长线上的一点，（3）中的其余条件不变，请直接写出∠DFC与∠DGB之间的等量关系式：　 　．













26．（2022春•兴宁区校级期末）小颖在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
【习题回顾】已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE＝∠CEF；

【变式思考】在△ABC中，若点D在AB上移动到图2位置，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE交CD于点F．则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；
【探究延伸】如图3，在【变式思考】的条件下，△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．

















27．（2022春•邗江区校级期中）已知：直线AB∥CD，三角板EFH中∠EFH＝90°，∠EHF＝60°．
（1）如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2＝3∠1，则∠1的度数＝　 　；
（2）如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；
（3）如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q﹣∠HFT＝15°，且∠EFT＝∠ETF．
①探求：∠HFT与∠AFE的数量关系，并说明理由；
②求证：PQ∥FH．















28．（2022春•阜宁县校级月考）【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，
请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）阅读下面的内容，并解决后面的问题：如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
解：∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：∠P+∠3=∠1+∠B①∠P+∠2=∠4+∠D②
①+②，得2∠P+∠2+∠3＝∠1+∠4+∠B+∠D
∴∠P=12（∠B+∠D）＝26°．
【问题探究】
如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：　 　（用α、β表示∠P），并说明理由．









29．（2022春•东台市期中）（1）数学课上老师提出如下问题：
如图，直线OM⊥ON，垂足为O，三角板的直角顶点C落在∠MON的内部，三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B．
①填空：∠OBC+∠ODC＝　 　；
②若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM（如图1），试说明DE⊥BF．
请你完成上述问题．
（2）课后小佳和小芳对问题进行了进一步研究，若把DE平分∠ODC改为DG分别平分∠ODC的外角，其他条件不变（如图2），小佳和小芳发现BF与DG的位置关系发生了变化，请你判断BF与DG的位置关系，并说明理由．













30．（2022春•万州区期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α＝50°，则∠1+∠2＝　 　°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？
（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．