八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形复习练习题

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1、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
2、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1、边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2、角——四个角都是直角；
3、对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4、是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
3、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
一、正方形性质的认识
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线互相垂直且相等D．平行四边形的对角线相等
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．矩形的对角线互相垂直平分B．对角线相等的菱形是正方形
C．两邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【例3】下面哪个特征是矩形、菱形、正方形所共有的（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角线相等且平分
二、利用正方形的性质求角度
【例1】如图，以正方形的边为边向正方形外作等边，与交于点F，则的度数是（ ）
A．105°B．120°C．135°D．150°
【例2】如图，正方形中，在延长线上取一点，使，连接，则的度数为
A．B．C．D．
【例3】正方形中，点E是上一点，过点E作交射线于点F，连结．
（1）若，求度数；
（2）求证：
三、利用正方形的性质求线段（最值）
【例1】如图，在四边形中，，，于．若四边形的面积是18，则的长是 ．
【例2】如图，在四边形中，，，，是上一点，且，，则的长为 ．
【例3】如图，在四边形中，，，，，平分，则的长为 ．
【例4】正方形中，对角线、交于点O，E为上一点，延长到点N，使，连接、．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若，正方形的边长为6，求的长．
【例5】如图，在正方形中，点、、分别在、、上，且，垂足为．
（1）求证：；
（2）若是的中点，且，，求的长．
【例6】如图，正方形的两边在坐标轴上，，，点P为OB上一动点，的最小值是（ ）
A．8B．10C．D．
利用正方形的性质求面积
【例1】如图，直线过正方形的顶点，点至直线的距离分别为2和3，则此正方形的面积为 ．
【例2】如图为等边与正方形的重叠情形，其中、两点分别在、上，且．若，，则的面积为______．
【例3】如图是一幅赵爽弦图，利用此图可以证明勾股定理．现连接BE，发现AB＝BE，若DE＝1，则正方形ABCD的面积为________．
五、正方形的判定定理
【例1】下列说法正确的有几个
①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例2】下列说法中，正确的有 个．
①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；③有一个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且垂直的四边形是正方形；⑤每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形．
A．1B．2C．3D．4
【例3】如图，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，连接．
（1）求证：；
（2）当时，求证：菱形为正方形．
六、正方形解答题
【例1】在正方形纸片ABCD中，点M、N分别是BC、AD上的点，连接MN．
问题探究：如图1，作DD′⊥MN，交AB于点D′，求证：MN ＝DD′；
问题解决：如图2，将正方形纸片ABCD沿过点M、N的直线折叠，点D的对应点D′恰好落在AB上，点C的对应点为点C′，若B D′＝6， CM＝2，求线段MN的长.
【例2】已知：如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，，相交于点P，并且．
(1)如图1，判断和的位置关系？并说明理由；
(2)若，，求的长度；
(3)如图2，，，点F在线段上运动时(点F不与C、D重合)，四边形是否能否成为正方形？请说明理由．
【例3】如图是直角三角尺（）和等腰直角三角尺（）放置在同一平面内，斜边BC重合在一起，，，．交AB于点E；作交AC的延长线于点F．
(1)求证：四边形AEDF是正方形．
(2)当时，求正方形AEDF的边长．
【例4】问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，，求的长．
1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为_____．
2、在四边形中，，，，点在上，且，则的长为 ．
3.如图，点B，C，F在同一条直线上，AC⊥BF于点C，且AC＝BC，连接AB，取AB的中点D，连接CD，过点A作CE的垂线，垂足为E，已知点E到直线AC和CF的距离相等．求证：四边形ADCE是正方形．
4.如图，已知四边形和均是正方形，点在上，延长到点，使，连接．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是正方形；
(3)若四边形的面积为10，，求点之间的距离．
5.已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、CH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是矩形．
(2)若∠B＝45度，求证:四边形EFGH是正方形．