2022-2023学年人教版八年级数学下册综合练习题　（范围：二次根式、勾股定理）(1)

2022-2023学年人教版八年级数学下册综合练习题（附答案）（范围：二次根式、勾股定理）

一、选择题

1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥0 B．x＜0 C．x≤2 D．x≥2

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，若∠B＝90°，则下列等式中成立的是（　　）

A．a2+b2＝c2 B．b2+c2＝a2 C．a2+c2＝b2 D．c2﹣a2＝b2

3．下列各数中，与的积为无理数的是（　　）

A． B． C． D．

4．如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　）

A． B．2﹣ C．﹣ D．﹣2

5．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

6．勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）

A． B． C． D．

7．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（　　）

A． B． C．1 D．3

8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）

A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 

C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2

9．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（　　）

A．6 B．6 C．18 D．

10．将1，，三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（10，10）表示的两个数的积是（　　）

A． B． C． D．1

二、填空题

11．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是 　   　．

12．如图，数轴上点A表示的实数是 　   　．

13．命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 　   　．逆命题是 　   　．（选填“正确的”或“错误的”）

14．若y＝++1，则x﹣y＝　   　．

15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝　   　．

三、解答题

16．计算．

（1）2÷×；

（2）（+1）（﹣1）+（﹣2）2．

17．（1）新定义问题：已知实数a，b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，求★（★）的值．

（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝+1，y＝﹣1．

18．如图，点P在数轴上对应的数为x，且点P在A，B两点之间．化简：|x﹣2|﹣+．

19．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．

（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形．

（2）如图2所示，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．

20．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．

（1）作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD，则CD＝　   　；

（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；

（3）利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．

21．如图所示，长方形ABCD，把△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．

22．仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题：

OA22＝（）2+1＝2S1＝

OA32＝（）2+1＝3S2＝

OA42＝（）2+1＝4S3＝

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；

（2）推算出OA10的值；

（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．

23．给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°．

①求证：△BCE是等边三角形；

②求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

参考答案

一、选择题

1．解：依题意得

x﹣2≥0，

∴x≥2．

故选：D．

2．解：在△ABC中，∠B＝90°，

∴△ABC为直角三角形，

则根据勾股定理得：a2+c2＝b2．

故选：C．

3．解：A、，不是无理数，故此选项不符合题意；

B、，是无理数，故此选项符合题意；

C、，不是无理数，故此选项不符合题意；

D、，不是无理数，故此选项不符合题意；

故选：B．

4．解：由勾股定理得，OP＝＝，

由题意得，OA＝OP＝，

则点A的横坐标为﹣，

故选：C．

5．解：A、，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、是最简二次根式，故D符合题意．

故选：D．

6．解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：

故选：B．

7．解：∵的整数部分为1，小数部分为﹣1，

∴x＝1，y＝﹣1，

∴＝﹣（﹣1）＝1．

故选：C．

8．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，

根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．

故选：D．

9．解：∵a＝5，b＝6，c＝7．

∴p＝＝9，

∴△ABC的面积S＝＝6；

故选：A．

10．解：由题意知每三个数一循环，即：以1，为一个循环体，

∵（8，2）在数列中是第8排第2列的数，

而（1+7）×7÷2+2＝30个，30÷3＝10，

∴（8，2）表示的数正好是第十轮的最后一个，

即（8，2）表示的数是，

∵（10，10）在数列中是第10排第10列的数，

而（1+10）×10÷2＝55个，55÷3＝18⋯1，

∴（10，10）表示的数正好是第19轮的第一个，

即（10，10）表示的数是1，

∴，

故选：B．

二、填空题

11．解：若在实数范围内有意义，

则a﹣1≥0，且2﹣a≠0，

解得：a≥1且a≠2．

故答案为：a≥1且a≠2．

12．解：由图形可得：﹣1到A的距离为＝，

则数轴上点A表示的实数是：﹣1．

故答案为：﹣1．

13．解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．逆命题是正确的．

故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0，正确的．

14．解：∵y＝++1，

∴，

∴2x﹣3＝0，

解得x＝，

∴y＝1，

∴x﹣y＝．

故答案为：．

15．解：∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，

AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，

∴AB2+CD2＝AD2+BC2，

∵AD＝2，BC＝4，

∴AB2+CD2＝22+42＝20．

故答案为：20．

三、解答题

16．解：（1）原式＝2×÷×

＝4×

＝8；

（2）原式＝2﹣1+3+4﹣4

＝8﹣4．

17．解：（1）原式＝★＝＝＝＝2；

（2）原式＝[﹣]•

＝•＝•＝，

当x＝+1，y＝﹣1时，

原式＝＝＝＝2﹣．

18．解：由数轴知x﹣2＜0，x﹣3＜0；

∵x＜2，

∴2x＜4＜5，

∴2x﹣5＜0，

∴|x﹣2|﹣+

＝|x﹣2|﹣+

＝2﹣x﹣|x﹣3|+|2x﹣5|

＝2﹣x﹣3+x﹣2x+5

＝4﹣2x．

19．解：（1）如图1所示：

（2）如图2，连AC，

则，，

∵，

即BC2+AC2＝AB2，

∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝∠CAB＝45°．

20．解：（1）∵BC＝14，BD＝x，

∴DC＝14﹣x，

故答案为：14﹣x；

（2）∵AD⊥BC，

∴AD2＝AC2﹣CD2，AD2＝AB2﹣BD2，

∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，

解得：x＝9；

（3）由（2）得：AD＝＝＝12，

∴S△ABC＝•BC•AD＝×14×12＝84．

21．解：∵四边形ABCD为矩形，

∴AB＝DC＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∠B＝90°，

∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，

∴∠DAC＝∠D′AC，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∴∠D′AC＝∠ACB，

∴AE＝EC，

设BE＝x，则EC＝4﹣x，AE＝4﹣x，

在Rt△ABE中，∵AB2+BE2＝AE2，

∴32+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，

即BE的长为．

22．解：（1）+1＝n+1

Sn＝（n是正整数）；

（2）∵OA12＝1，

OA22＝（）2+1＝2，

OA32＝（）2+1＝3，

OA42＝（）2+1＝4，

∴OA12＝，

OA2＝，

OA3＝，…

∴OA10＝；

（3）S12+S22+S32+…+S102

＝（）2+（）2+（）2+…+（）2

＝（1+2+3+…+10）

＝．

即：S12+S22+S32+…+S102＝．

23．解：（1）∵△ABC≌△DBE，

∴BC＝BE，

∵∠CBE＝60°，

∴△BCE是等边三角形；

（2）∵△ABC≌△DBE，

∴BE＝BC，AC＝ED；

∴△BCE为等边三角形，

∴BC＝CE，∠BCE＝60°，

∵∠DCB＝30°，

∴∠DCE＝90°，

在Rt△DCE中，

DC2+CE2＝DE2，

∴DC2+BC2＝AC2．

即四边形ABCD是勾股四边形．