2023年四川省泸州市泸县第五中学中考数学一模试卷(含答案)

这是一份2023年四川省泸州市泸县第五中学中考数学一模试卷(含答案)，共30页。

2023年四川省泸州市泸县五中中考数学一模试卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（3分）2020年2月11日，世卫组织在日内瓦召开发布会，宣布将新型冠状病毒肺炎正式命名为“COVID﹣19”；“COVID”中将每一个字母看成一个图形，那么是中心对称图形的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（3分）点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（2，5） C．（﹣2，5） D．（﹣5，2）
5．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣11＝0配方后是（　　）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝20 C．（x+3）2＝2 D．（x+3）2＝20
6．（3分）下列所给的事件中，是必然事件的是（　　）
A．某校的300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天
B．正方形的对角线互相垂直
C．某抽奖活动的中奖概率是，那么连续抽10次，必然会中奖
D．2023年的元旦顺德会下雪
7．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　）
A．1+x＝225 B．1+x2＝225 C．1+x+x2＝225 D．（1+x）2＝225
8．（3分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是（　　）

A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2
9．（3分）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为（　　）

A．130° B．100° C．120° D．110°
10．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3
11．（3分）如图，半圆O的直径AB＝20，弦AC＝12，弦AD平分∠BAC，AD的长为（　　）

A． B． C． D．
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，①b2﹣4ac＞0②4a+c＜0③当﹣3≤x≤1时，y≥0④若，为函数图象上的两点，则y1＞y2，以上结论中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（3分每题，共12分）
13．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 　 　．
14．（3分）若a，b是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，则a2+ab﹣2b＝　 　．
15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 　 　cm．

16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2022的值为 　 　．

三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：2（x+3）2＝x（x+3）．
18．（6分）已知二次函数的图象顶点为P（﹣2，2）．且过点为A（0，﹣2），求该抛物线的解析式．
19．（6分）如图，∠CAB＝∠CBD，AB＝4，AC＝6，BD＝7.5，BC＝5．求CD的长．

四、解答题（每小题7分，共14分）
20．（7分）如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A'B'C'，并写出点B的对应点B'的坐标．
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90度后的图形△A''B''C''．

21．（7分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？

五、解答题（每小题8分，共16分）
22．（8分）为了解市区A校落实双减政策的情况，有关部门抽查了A校901班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．

（1）该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是 　 　；
（2）请把图2（条形统计图）补充完整；
（3）该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为 　 　；
（4）该班参加舞蹈类活动的4位同学中，恰有2位男生（分别用E，F表示）和2位女生（分别用G，H表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．

23．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜4时，y的取值范围是 　 　；
（3）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，点P的坐标；若不存在，请说明理由．

六、解答题（24小题12分，25小题12分，共24分）
24．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．

25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．



2023年四川省泸州市泸县五中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）一元二次方程4x2﹣2x+＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：Δ＝（﹣2）2﹣4×4×＝0，
所以方程有两个相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
2．（3分）2020年2月11日，世卫组织在日内瓦召开发布会，宣布将新型冠状病毒肺炎正式命名为“COVID﹣19”；“COVID”中将每一个字母看成一个图形，那么是中心对称图形的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：“C”、“V”、“D”不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
“O”、“I”能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
所以是中心对称图形的个数为2个．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．（3分）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+mx＝0的一个根，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把x＝1代入方程x2+mx＝0，得出一个关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+mx＝0得：1+m＝0，
解得：m＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m的方程．
4．（3分）点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣5） B．（2，5） C．（﹣2，5） D．（﹣5，2）
【分析】根据关于原点的对称点的坐标特点：两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反得答案．
【解答】解：因为点P（2，﹣5）关于原点的对称点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，
所以对称点的坐标是（﹣2，5），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于原点的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣11＝0配方后是（　　）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝20 C．（x+3）2＝2 D．（x+3）2＝20
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣6x＝11，
x2﹣6x+9＝20，
（x﹣3）2＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
6．（3分）下列所给的事件中，是必然事件的是（　　）
A．某校的300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天
B．正方形的对角线互相垂直
C．某抽奖活动的中奖概率是，那么连续抽10次，必然会中奖
D．2023年的元旦顺德会下雪
【分析】根据对必然事件的概念，即可求解．
【解答】解：A．某校的300名学生中，至少有2名学生的生日是同一天，是随机事件，故本选项不符合题意；
B．正方形的对角线互相垂直，是必然事件，故本选项符合题意；
C．某抽奖活动的中奖概率是，那么连续抽10次，必然会中奖，是随机事件，故本选项不符合题意；
D．2023年的元旦顺德会下雪，是随机事件，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是对必然事件的概念的理解，熟练掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
7．（3分）肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染x人，依题意可列方程（　　）
A．1+x＝225 B．1+x2＝225 C．1+x+x2＝225 D．（1+x）2＝225
【分析】本题可设1人平均感染x人，则第一轮共感染（x+1）人，第二轮共感染x（x+1）+x+1＝（x+1）（x+1）人，根据题意列方程即可．
【解答】解：设1人平均感染x人，
依题意可列方程：1+x+（1+x）x＝225，（x+1）2＝225．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
8．（3分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是（　　）

A．2：3 B．3：2 C．2：5 D．5：2
【分析】先根据位似的性质得到△ABC与△DEF的位似比为OA：AD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴，
且△ABC∽△DEF，
∵OA：AD＝2：3，
∴，
又△ABC∽△DEF，
∴C△ABC：C△DEF＝AC：DF＝2：5
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换，解题关键是掌握位似变换的相关性质，运用比例解题．
9．（3分）如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数为（　　）

A．130° B．100° C．120° D．110°
【分析】根据等腰三角形性质求出∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝65°，
∴∠ACB＝∠ABC＝65°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，
∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠A的度数和根据定理得出∠BOC＝2∠A是解此题的关键．
10．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3
【分析】把一般式转化为顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，求得抛物线与y轴的交点，进而求得其对称点，然后根据二次函数的性质即可得到y＞﹣3时x的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点是（0，﹣3），
∴点（0，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），
∴当y＞﹣3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
11．（3分）如图，半圆O的直径AB＝20，弦AC＝12，弦AD平分∠BAC，AD的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接BC，OD，相交于点E，连接BD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝∠ADB＝90°，从而在Rt△ACB中，利用勾股定理求出BC的长，再利用角平分线的定义和圆周角定理可得∠DOB＝∠CAB，从而可得AC∥DO，然后利用平行线的性质可得∠OEB＝∠ACB＝90°，从而利用垂径定理可得CE＝BE＝BC＝8，进而可得OE是△ACB的中位线，再利用三角形的中位线定理可得OE＝AC＝6，从而求出DE的长，最后在Rt△DEB中，利用勾股定理求出BD的长，再在Rt△ADB中，利用勾股定理求出AD的长，进行计算即可解答．
【解答】解：连接BC，OD，相交于点E，连接BD，

∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝20，AC＝12，
∴BC＝＝＝16，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAB＝2∠DAB，
∵∠DOB＝2∠DAB，
∴∠DOB＝∠CAB，
∴AC∥DO，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
∴CE＝BE＝BC＝8，
∴OE是△ACB的中位线，
∴OE＝AC＝6，
∵OD＝AB＝10，
∴DE＝OD﹣OE＝10﹣6＝4，
在Rt△DEB中，DB＝＝＝4，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，①b2﹣4ac＞0②4a+c＜0③当﹣3≤x≤1时，y≥0④若，为函数图象上的两点，则y1＞y2，以上结论中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数的图象与性质解答．
【解答】解：由题意可知二次函数图象与x轴有两个交点，即方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
由函数图象对称性可得函数图象经过（﹣3，0）和（1，0）两点，
∴9a﹣3b+c＝0①，a+b+c＝0②，
①+②×3并化简得：3a+c＝0，
∴4a+c＝a+3a+c＝a＜0，故②正确；
∵由函数图象对称性可得函数图象经过（﹣3，0）和（1，0）两点，
∴由函数整个图象可得当﹣3≤x≤1时，y≥0，故③正确；
设时，函数值为y3，则由函数图象的对称性可得：y2＝y3，
∵，
∴由函数的增减性可得：y1＜y3，
∴y1＜y2，故④错误；
故正确的有①②③，共3个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．
二、填空题（3分每题，共12分）
13．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 　1　．
【分析】根据Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点得到△＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．（3分）若a，b是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，则a2+ab﹣2b＝　4　．
【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝﹣2，ab＝﹣，再变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a，b是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣，
∴a2+ab﹣2b＝a（a+b）﹣2b
＝﹣2a﹣2b
＝﹣2（a+b）
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键．
15．（3分）如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 　5　cm．

【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．
【解答】解：如图，连接OA，

∵C是的中点，
∴D是弦AB的中点，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝4，
∵OA＝OC，CD＝2，
∴OD＝OC﹣CD＝OA﹣CD，
在Rt△OAD中，
OA2＝AD2+OD2，即OA2＝16+（OA﹣2）2，
解得OA＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和三角形的相关知识来进行解答．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA＝1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥OA3交y轴于点A4；将OA4绕点O顺时针旋转45°到OA5，扫过的面积记为S3，A5A6⊥OA5交x轴于点A6；…；按此规律，则S2022的值为 　22018π　．

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出扇形的半径，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律Sn＝2n﹣4π，依此规律即可得出结论．
【解答】解：由题意△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、…、都是等腰直角三角形，
∴OA2＝，OA4＝2，OA6＝2，…，
∴S1＝＝π，S2＝＝π，S3＝＝π，S4＝，
…；
∴Sn＝2n﹣4π，
∴S2022＝22018π，
故答案为：22018π，
【点评】本题考查了坐标与图形性质﹣旋转，等腰直角三角形的性质以及扇形的面积，解此题的关键是找出规律Sn＝2n﹣4π．
三、解答题（每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：2（x+3）2＝x（x+3）．
【分析】首先移项后提取公因式（x+3），即可得到（x+3）（2x+6﹣x）＝0，然后解两个一元一次方程即可．
【解答】解：∵2（x+3）2＝x（x+3），
∴2（x+3）2﹣x（x+3）＝0，
∴（x+3）（2x+6﹣x）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣6．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是把解一元二次方程转化为解一元一次方程，此题难度不大．
18．（6分）已知二次函数的图象顶点为P（﹣2，2）．且过点为A（0，﹣2），求该抛物线的解析式．
【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x+2）2+2，然后把（0，﹣2）代入求出a即可．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+2，
把A（0，﹣2）代入得4a+2＝﹣2，解得a＝﹣1，
所以抛物线的解析式为y＝﹣（x+2）2+2．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．（6分）如图，∠CAB＝∠CBD，AB＝4，AC＝6，BD＝7.5，BC＝5．求CD的长．

【分析】由∠CAB＝∠CBD，AB＝4，AC＝6，BD＝7.5，BC＝5，即可证得△ABC∽△BCD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CD的长．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝6，BD＝7.5，BC＝5，
∴，
∵∠CAB＝∠CBD，
∴△ABC∽△BCD，
∴，
∴CD＝BC＝×5＝．
故CD的长为．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
四、解答题（每小题7分，共14分）
20．（7分）如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A'B'C'，并写出点B的对应点B'的坐标．
（2）画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90度后的图形△A''B''C''．

【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A″，B″，C″即可．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'即为所求，点B'的坐标（﹣3，﹣4）；
（2）如图，△A''B''C''即为所求．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
21．（7分）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？

【分析】（1）直接根据待定系数法求解析式即可；
（2）根据题意列函数关系式即可；
（3）将600代入w计算即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知：，
解得，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）根据题意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400，
∴x1＝30，x2＝50（舍），
∵20≤x≤38，
∴x＝30．
答：每件商品的售价应定为30元．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确列出解析式是解题的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
22．（8分）为了解市区A校落实双减政策的情况，有关部门抽查了A校901班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．

（1）该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是 　30%　；
（2）请把图2（条形统计图）补充完整；
（3）该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为 　126　；
（4）该班参加舞蹈类活动的4位同学中，恰有2位男生（分别用E，F表示）和2位女生（分别用G，H表示），现准备从中选取两名同学组成舞伴，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．

【分析】（1）先根据绘画类人数及其百分比求得总人数，继而可得答案；
（2）根据（1）中所求数据即可补全条形图；
（3）总人数乘以棋类活动的百分比可得；
（4）利用树状图法列举出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．
【解答】解：（1）本次调查的总人数为10÷25%＝40（人），
∴参加音乐类活动的学生人数为40×17.5%＝7人，参加球类活动的人数的百分比为×100%＝30%，
故答案为：30%；

（2）补全条形图如下：


（3）720÷40×7＝126人；
（4）如表：
第一人
第二人
E
F
G
H
E

F，E
G，E
H，E
F
E，F

G，F
H，F
G
E，G
F，G

H，G
H
E，H
F，H
G，H

或如图：

∴P（一男一女）＝，
答：恰好选中一男一女的概率是．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜x＜4时，y的取值范围是 　﹣4≤y＜5　；
（3）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）当x＝0，求出y值，当x＝4求出y值，再结合二次函数最小值，即可得出当0＜x＜4时，y的取值范围；
（3）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点 B（2，﹣3），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
又∵1＞0，
∴抛物线开口向上，当x＝1时，y有最小值﹣4，
当x＝0时，y＝﹣3，
当x＝4时，y＝5，
∴当0＜x＜4时，﹣4≤y＜5，
故答案为：﹣4≤y＜5；
（3）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴，
设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴，
当|m2﹣2m|＝4×1时，
解得，
当时，m2﹣2m﹣3＝1，
当时，m2﹣2m﹣3＝1，
综上，P点坐标为或．
【点评】本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．
六、解答题（24小题12分，25小题12分，共24分）
24．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，CD，根据已知可得∠ACD+∠DCB＝90°，利用等腰三角形的性质可得∠OCD＝∠ODC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CDB＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线可得DE＝CE，进而可得∠DCE＝∠CDE，然后可得∠ODC+∠CDE＝90°，即可解答；
（2）利用（1）的结论可证△ACB∽△ADC，从而利用相似三角形的性质可求出AC的长，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD＝4，BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，
∴AC＝2，
∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．


【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；
（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝DG，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；
（3）根据S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；

（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．

设直线AC的解析式为y＝kx+t，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+2．
设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，
∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2
∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，
∵DE⊥AC，DH⊥AB，
∴∠EDG+∠DGE＝∠AGH+∠CAO＝90°，
∵∠DGE＝∠AGH，
∴∠EDG＝∠CAO，
∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，
∴，
∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，
∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．
此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，
即点D的坐标为（﹣2，2）；

（3）如图，设直线CP交x轴于点E，

直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，
则BE：AE＝1：5或5：1
则AE＝5或1，
即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，
解得：n＝﹣2或，
故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，
联立方程组或，
解得：x＝6或﹣，
故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．
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