【全套】中考数学复习专题（知识梳理+含答案）预测02 三角形综合

预测02  三角形综合

三角形综合题是全国中考常考题型。三角形是初中几何最基础的，也是中考考题必拿分题。

1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合都属于高频考点，三角形综合题以考查三角形全等为主。

2．从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右！

                                   三角形全等的判定    

1．（2019年山西省中考）已知：如图，点B，D在线段AE上，AD=BE，AC∥EF，∠C=∠H.求证：BC=DH.

．

2．（2019年江苏省苏州市中考）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点

(1)求证：；

(2)若，，求的度数.

3．（2019年湖南省益阳市中考）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．

4．（2019年河北省中考）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．

（1）求证：∠BAD=∠CAE；

（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；

（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．

5．（2019年湖北省黄石市中考）如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.

（1）求证：

（2）求证：

1．（2019年重庆市5月份中考数学模拟试题）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点 E．若AB＝10，BC＝16，求线段EF的长度．

2．（广东省佛山市禅城区2019届九年级下学期中考科研测试二模数学试题）如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BF⊥AD于F．

（1）求证：△ABE≌△CAD；

（2）求证：BF=PF．

3．（2020年湖南省长沙市长郡滨江中学中考数学3月模拟试题）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．

⑴求证:四边形BEDF为菱形;

⑵如果∠A＝100°,∠C＝30°,求∠BDE的度数.

4.（2020年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题）如图，直线MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，∠EPM＝∠FQM，且∠AEP＝∠CFQ，求证：AB∥CD．

5．（广东省珠海市香洲区2019年5月份中考数学模拟试卷）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．

（1）求∠CFA度数；

（2）求证：AD∥BC．

6．（安徽省首年地区2019-2020学中考第一次模拟预测数学试题）如图，点，，，在同一条直线上，，，，求证：．

7．（河北省邯郸市复兴区2019-2020学年九年级下学期第一次联考数学试题）如图，在△ABC中，∠B=90°，，是上的一点，连结，若∠BDC=60°，BD=．试求AC的长．

8.（广东省中山市第一中学2019届九年级5月质量调研检测数学试题）如图所示，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，将△PAB绕A逆时针旋转90°得△DAC．

（1）试判断△PAD的形状并说明理由；

（2）连接PC，若∠APB=135°，PA=1，PB=3，求PC的长．

[来源:学。科。网]

9.（河南省许昌市襄城县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．

(1)求证：；

(2)若，，求FG的长．

【参考答案与解析】

【真题回顾】

1.【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

利用AAS证明△ABC≌△EDH，再根据全等三角形性质即可得.

【详解】∵AD=BE，

∴AD-BD=BE-BD，

即AB=DE.

∵AC∥EH，

∴∠A=∠E，

在△ABC和△EDH中

，

∴△ABC≌△EDH(AAS)，

∴BC=DH.

2.【答案】(1)证明见解析；(2)78°.

【解析】

分析】

（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；

（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC

【详解】(1)

(2)

3.【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，再由AB∥DE，证得∠CAB＝∠E，再结合已知条件AB＝AE，可利用AAS证得△ABC≌△EAD．

【详解】由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，

又∵∠D＝110°，

∴∠ACB＝∠D，

∵AB∥DE，

∴∠CAB＝∠E，

∴在△ABC和△EAD中，

，

∴△ABC≌△EAD(AAS)．

4.【答案】（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．

【解析】

【分析】

（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．

（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．

（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．

【详解】（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．

（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．

当AD⊥BC时，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．

（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．

∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．

∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°

∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．

【点睛】本题是一道几何综合题，考查了垂线段最短，含30°的角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题的关键是将PD最大值转化为PA的最小值．

5．【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC=EF．

【详解】（1）如图

∵，

∴是等腰三角形

又∵为的中点，

∴（等腰三角形三线合一）

在和中，

∵为公共角，，

∴.

另解：∵为的中点，

∵，又，，

∴△ADB≌△ADE，

∴，又，

∴

∴，

在和中，[来源:Zxxk.Com]

∵为公共角，，

∴.

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

又∵，

∴△BAC≌△AEF，

∴.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．

【名校预测】

1．【答案】3

【解析】

【分析】

根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE-DF可得答案．

【详解】∵AF⊥BF，

∴∠AFB=90°，

∵AB=10，D为AB中点，

∴DF=AB=AD=BD=5，

∴∠ABF=∠BFD，

又∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF，

∴∠CBF=∠DFB，

∴DE∥BC，

∴DE为△ABC的中位线

∴DE=BC=8，[来源:学科网ZXXK]

∴EF=DE-DF=3．

【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明DE是△ABC的中位线．

2．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，

∴在△ABE和△CAD中，，

∴△ABE≌△CAD．

（2）∵△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD，

又∵∠BAE=∠BAP+∠PAE=60°，

∴∠BAP+∠ABP=60°，

又∵∠BPF=∠BAP+∠ABP，

∴∠BPF=60°，

∵BF⊥AD，

∴tan∠BPF=，

∴tan60°==，

∴BF=PF．

【名师点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，三角形的外角和三角函数等相关知识，是一道三角形方面比较全面的综合题．

3．【答案】（1）证明见解析（2）25°

【解析】

【分析】

(1)首先证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBF，根据角平分线的性质得到∠ABD＝∠DBF，等量代换得到∠ABD＝∠EDB，得到DE＝BE，即可证明四边形BEDF为菱形；

⑵根据三角形的内角和求出的度数，根据角平分线的性质得到的度数，根据平行线的性质即可求解.

【详解】（1）∵DE∥BC，DF∥AB       

∴四边形DEBF是平行四边形

∵DE∥BC                   

∴∠EDB＝∠DBF

∵BD平分∠ABC           

∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC

∴∠ABD＝∠EDB           

∴DE＝BE       

∴四边形BEDF为菱形；

(2) ∠A＝100°,∠C＝30°,

∵BD平分∠ABC           

∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC

∵DE∥BC                   

∴∠EDB＝∠DBF= 25°.

4．【答案】详见解析．

【解析】

【分析】

如图，根据已知条件和三角形内角和定理可得∠1＝∠2，再根据平行线的判定方法即得结论．[来源:学&科&网]

【详解】证明：如图，∵∠EPM＝∠FQM，∠AEP＝∠CFQ，∠EPM+∠AEP+∠1＝180°，∠FQM+∠CFQ+∠2＝180°，

∴∠1＝∠2，

∴AB∥CD．

5．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，BC=AC，

∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，

∴CF=BC，∠BCF=90°，AC=CE，

∴CF=AC，

∵∠BCF=90°，∠ACB=60°，

∴∠ACF=∠BCF-∠ACB=30°，

∴∠CFA=（180°-∠ACF）=75°．

（2）∵△ABC和△EFC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，∠E=60°，

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD=∠ECD，

∵∠ACD=∠ECD，CD=CD，CA=CE，

∴△ECD≌△ACD，

∴∠DAC=∠E=60°，

∴∠DAC=∠ACB，

∴AD∥BC．

【名师点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．

6．【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

根据，可得，再利用SAS证明，得出对应边相等即可．

【详解】证明：∵，∴∠ECA=∠BDF，

在和中

∴△ECA≌△BDF（SAS），

∴．

7．【答案】

【解析】

【分析】

根据cosA的值，可得出AB：AC的值，进而设AB=5x，AC=7x，由勾股定理可得出BC的值，在RT△DBC中求出BC即可得出x的值，代入可得出AC的长度．

【详解】在△ABC中，∠B=90°，cosA＝,

∴．

设：AB=5x，AC=7x，

由勾股定理  得BC＝2xFF0C       

在Rt△DBC中，∠BDC=60°，BD=2，

∴BC=BDtan60°=2×=6，

∴2x=6，

解得 x=，

∴AC=7x=．

【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理及锐角三角函数知识，解答本题的关键是掌握勾股定理在解直角三角形中的应用，难度一般．

8．【解析】（1）△PAD为等腰直角三角形．理由如下：

将△PAB绕A逆时针旋转90°得△DAC，

∴∠DAP=90°，PA=DA，

∴△PAD为等腰直角三角形．

（2）由旋转知△PAB≌△DAC，

∴∠CDA=∠APB=135°，∠ADP=45°，CD=PB=3，

∴∠CDP=135°-∠ADP=90°，

∴CD⊥PD，

∴PD=AP+AD=2，

在Rt△PDC中，

∴CP=．[来源:学科网]

【名师点睛】此题考查等腰直角三角形和旋转的性质，解题关键在于利用旋转的性质解答．

9．【答案】(1)证明见解析；(2)FG=2.

【解析】

【分析】

(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案；

(2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案.

【详解】(1)四边形ABCD是平行四边形，

，，

，

∴，

∵BE=AB，AE=AB+BE，

，

，

；

(2)四边形ABCD是平行四边形，

，

，

，即，

解得，．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.