专题07 三角形边角关系的四种压轴题型全攻略-七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题07 三角形边角关系的四种压轴题型全攻略

【知识点梳理】

三角形内角和定理：

（1）定理：三角形三个内角和等于180度

（2）直角三角形的两个锐角互余

三角形三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

只需满足：<第三边<两边之和（两边为相同两条边）

类型一、利用三边关系求值或化简

例、若a，b，c是△ABC的三边的长，则化简|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|的结果是(　　)

A．a＋b＋c    B．－a＋3b－c    C．a＋b－c    D．2b－2c

【答案】B

【解析】∵a，b，c是△ABC的三边的长，∴a－b－c<0，b－c－a<0，a＋b－c>0，

∴|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|=-（a-b-c）-[-(b-c-a)]+(a+b-c)=-a+b+c+b-c-a+a+b-c=-a+3b-c.故选B.

【变式训练1】已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是       ．

【答案】10．

【解析】因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为10．

【变式训练2】小明手中有2根木棒长度分别为和，请你帮他选择第三根木棒，使其能围成一个三角形，则选择的木棒可以是（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【解析】解：设第三边长为xcm，由三角形三边关系定理可知，9-4＜x＜9+4，
即，5＜x＜13，∴x=6cm符合题意．故选：C．

【变式训练3】已知是的三边长．

（1）若满足，，试判断的形状；

（2）化简：

【答案】（1）是等边三角形；（2）

【详解】（1）∵，∴且，∴ ，∴是等边三角形．

（2）∵是的三边长

∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0

原式===

类型二、证明不等关系

例、已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC＜AD﹣AB．

【解答】证明：∵△BCD中，BD﹣BC＜CD，

∴BD﹣BC＜AD﹣AC，且AB＝AC，∴BD﹣BC＜AD﹣AB，

【变式训练1】如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．

【解答】证明：如图，延长BO交AC于点D，

∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，即：AB+AC＞OB+OC．

【变式训练2】如图，点P是△ABC内任意一点，求证：PA+PB+PCABBCAC．

【解答】证明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC．

∴把它们相加，再除以2，得PA+PB+PCABBCAC．

【变式训练3】观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC　 　AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

【解答】解：（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，

（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长，

（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由：如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．

类型三、面积问题

例、如图，在中，点将线段分成的两个部分，点将线段分成的两个部分，若的面积是，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】 设S△ABC=m,∵AD:BD=2:1∴S△ADC=, S△DBC=,

∵BE:CE=1:3∴S△AEC=, S△ABE=,∴S△ADE=S△ABE=×=,∴S△AEC：S△ADE=9：2,

∴, ∴S△ACF：S△ADF=9：2,而S△ADF=4∴S△ACF=×4=18，故选：B．

【变式训练1】如图，中，两点分别在，上，若，则的面积:的面积___．

【答案】

【解析】解：∵BD:AB=BE:BC=1:3，∴BD:AD=BE:EC=1:2，∴S△BDC:S△ADC=1:2，S△BDE:S△DCE=1:2，
设S△BDC=x，则S△ADC=2x，S△BED=x，∴△DBE的面积:△ADC的面积=x:2x=1:6．故答案为：1:6．

【变式训练2】如图，对面积为的逐次进行操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得、、，顺次连接、，得到，记其面积为，，按此规律继续下去，可得到，则其面积________．

【答案】361

【解析】

连接， , ,根据，的面积为的2倍，所以的面积为2；同理的面积为的2倍，所以的面积为4；

以此类推：的面积为2，的面积为4，的面积为2，的面积为4

∴，即面积为面积的19倍，以此类推的面积为面积的倍，所以．故答案为：361

【变式训练3】如图，D、E分别是边AB，BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设的面积为 的面积为，若，则的值为____________.

【答案】1；

【解析】解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝6，∴S△ABE＝S△ABC＝×6＝3．

∵AD＝2BD，S△ABC＝6，∴S△BCD＝S△ABC＝×6＝2，

∵S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝3-2=1，故答案为1

类型四、折叠问题

例、如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则______°．

【答案】20

【解析】，将沿着翻折得到，

，，

，故答案为20

【变式训练1】如图，在四边形ABCD中，∠B＝120°，∠B与∠ADC互为补角，点E在BC上，将△DCE沿DE翻折，得到△DC′E，若AB∥C′E，DC′平分∠ADE，则∠A的度数为______°．

【答案】

【解析】解：∵∠B=120°，∠B与∠ADC互为补角，∴∠ADC=60°，
由折叠的性质得：∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED，
∵DC'平分∠ADE，∴∠ADC'=∠C'DE，∴∠CDE=∠ADC'=∠C'DE=20°，
∵AB∥C'E，∴∠CEC'=∠B=120°，∴∠CED=60°，
∴∠C=180°-60°-20°=100°，∴∠A=360°-∠B-∠C-∠ADC=80°；故答案为：80．

【变式训练2】图1是一张三角形纸片．将对折使得点与点重合，如图2，折痕与的交点记为．

（1）请在图2中画出的边上的中线．

（2）若，，求与的周长差．

【答案】（1）见解析；（2）

【详解】解：（1）如图，线段即为所求．

（2），

的周长的周长

．

【变式训练3】问题1

现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．

研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　   　

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　    　

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．

问题2

研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　     　．

【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：由折叠得：∠A＝∠DA′A，

∵∠1＝∠A+∠DA′A，∴∠1＝2∠A；故答案为：∠1＝2∠A；

（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，

∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；故答案为：∠1+∠2＝2∠A；

（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：

∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，

∵∠A＝∠A′，∴∠2＝2∠A+∠1，∴∠2﹣∠1＝2∠A；

（4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，

∵∠DNA+∠BMC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，

∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，

∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，

故答案为：∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．