第四章 三角形B卷压轴题考点训练-七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

第四章 三角形B卷压轴题考点训练

1．在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：设三角形的第三边为x，则

9-4＜x＜4+9

即5＜x＜13，

∴当x=7时，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形，

故选：C．

2．如图，已知∠1＝∠2，则下列条件中，不能使△ABC≌△DBC成立的是　（　　）

A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠A＝∠D D．∠ABC＝∠DCB

【答案】A

【详解】根据条件和图形可得∠1=∠2，BC=BC，

A、添加AB=CD不能判定△ABC≌△DBC，故此选项符合题意；

B、添加AC=BD可利用SAS定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；

C、添加∠A=∠D可利用AAS定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；

D、添加∠ABC=∠DCB可利用ASA定理判定△ABC≌△DBC，故此选项不合题意；

故选A．

3．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】

A．45o B．60o  C．75o D．90o

【答案】C

【解析】如图，

∵∠1=90°-60°=30°，

∴∠α=45°+30°=75°．故选C．

4．如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【详解】∵AD是△ABC的中线，

∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，

∵点E是AD的中点，

∴S△ABE=S△ADE=S△ABD，S△CDE=S△CAE=S△ACD，

∵S△ABE=S△ABC，S△CDE=S△ABC，

∴S△ABE+S△CDE=S△ABC=×8=4；

∴阴影部分的面积为4，

故选B．

5．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（    ）

A．1    B．2   C．3    D．4

【答案】D

【详解】解：作关于AC垂直平分线的轴对称图形为一个，

作三角形关于BC的轴对称图形然后，作关于BC垂直平分线的轴对称图形又两个；

又以AB为边还有一个，所以满足题意的三角形共有4个．

故选：D.

6．如图,∠1+∠2+∠3+∠4=_____.

【答案】540°

【详解】解：∵∠3=∠ECD+∠EDC，∠4=∠FBD+∠FDB，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠2+∠ECD+∠EDC +∠FBD+∠FDB，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=（∠1+∠FBD）+（∠2+∠ECD）+（∠EDC+∠FDB），

又∵∠1+∠∠FBD =180°，∠2+∠ECD=180°，∠EDC+∠FDB =180°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°

故答案为：540°．

7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，则线段AF的长度为__．

【答案】5

【详解】∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，

∴∠ADC＝∠BDF＝∠AEB＝90°，

∴∠DAC+∠C＝90°，∠C+∠DBF＝90°，∴∠DAC＝∠DBF，

在△ADC和△BDF中，

∵，∴△ADC≌△BDF（AAS），

∴CD＝FD＝3，AD＝BD＝8，

∴AF＝AD﹣FD＝8﹣3＝5，

故填：5．

8．在△ABC中，若∠A=60°，点O是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BOC=________．

【答案】120°

【详解】∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=120°，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=60°，

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=120°

故答案为120°

9．如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB=________.

【答案】128°

【详解】解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°，

∴∠BCD＝∠ACE，

在△BDC和△AEC中，

∵AC＝BC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC，

∴△BDC≌△AEC（SAS），

∴∠DBC＝∠EAC，

∵∠EBD＝∠DBC＋∠EBC＝38°，

∴∠EAC＋∠EBC＝38°，

∴∠ABE＋∠EAB＝90°－38°＝52°，

∴∠AEB＝180°－（∠ABE＋∠EAB）＝180°－52°＝128°，

故答案为128°．

10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQAE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有_____．（把你认为正确的序号都填上）

【答案】①②③⑤

【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，

∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°，∴△ACD≌△ECB，∴AD=BE，故本选项正确；

②∵△ACD≌△ECB，∴∠CBQ=∠CAP，

又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，

又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQAE，故本选项正确；

③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，

∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；

④已知△ABC、△DCE为正三角形，

故∠DCE=∠BCA=60°⇒∠DCB=60°，

又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°⇒∠DPC＞60°，

故DP不等于DE，故本选项错误；

⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，

∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．

综上所述，正确的结论是①②③⑤．

11．已知：如图，是内一点．

求证：．

【答案】见解析．

【解析】证明：延长BP交AC于点D，

在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①

在△PCD中，PC＜PD+CD②

①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，

即PB+PC＜AB+AC，

即：AB+AC＞PB+PC．

12．在中，，，点在的延长线上，是的中点，是射线上一动点，且，连接，作，交延长线于点．

（）如图，当点在上时，填空：__________（填“”、“”或“”）．

（）如图，当点在的延长线上时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论．

【答案】（）．（）

【解析】（1）连接EB，

∵在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠DAC=∠EBC，EB=AD，

∵∠ADF=90°，∴∠ADB+∠FDM=90°，

∵∠ACD=90°，∴∠DAC+∠ADC=90°，∴∠DAC=∠FDM，∴∠FDM=∠EBC，

∵M是BD中点，∴DM=BM，

∵在△EMB和△FMD中，，∴△EMB≌△FMD，∴EB=DF，∴AD=DF；

（）AD=DF．

证：连接EB，∵在△ACD和△ECB中，，

∴△ACD≌△BCE，∴∠DAC=∠EBC，EB=AD，

∵∠ADF=90°，∠ACD=90°，

∴∠ADB+∠FDM=∠DAC+∠ADC=90°，∴∠DAC=∠FDM，∴∠FDM=∠EBC，

∵M是BD中点，∴DM=BM，

∵在△EMB和△FMD中，，∴△EMB≌△FMD，∴EB=DF，∴AD=DF．

13．如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点．

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②；

（2）当直线绕点旋转到如图2所示的位置时，求证：；

（3）当直线绕点旋转到如图3所示的位置时，试问，，具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明．

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3）

【详解】解：（1）①证明：于点，于点，，

，，

．又，；

②证明：由①知，，，．

，；

（2）证明：于点，于点，

，，．，

又，，，，

；

（3）（或，）．

由（2）的方法证得△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CDCE=BEAD．

14．．如图①，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE 绕点 A 顺时针旋转一定角度，连接 BD，CE，得到图②，将 BD、CE 分别延长至 M、N，使 DM= BD，EN=CE，得到图③，请解答下列问题：

（1）在图②中，BD 与 CE 的数量关系是    ；

（2）在图③中，猜想 AM 与 AN 的数量关系，∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】（1）BD=CE；（2）AM=AN，∠MAN=∠BAC ，理由见解析.

【详解】（1）由旋转的性质可得：；

，，由知，

∴，，

又∵，，∴，

在和中，∵，∴，

∴，，即，

∴为等腰三角形，且．

15．（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．

证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN=" " °时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）

【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）

【详解】

(1)证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME.

∵正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°，AB=BC.

∴∠NMC=180°−∠AMN−∠AMB=180°−∠B−∠AMB=∠MAB=∠MAE，

BE=AB−AE=BC−MC=BM，∴∠BEM=45°,∴∠AEM=135°.

∵N是∠DCP的平分线上一点，∴∠NCP=45°,∴∠MCN=135°.

在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN(ASA)，∴AM=MN.

(2)结论AM=MN还成立

证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME.

在正△ABC中,∠B=∠BCA=60°，AB=BC.

∴∠NMC=180°−∠AMN−∠AMB=180°−∠B−∠AMB=∠MAE，

BE=AB−AE=BC−MC=BM，∴∠BEM=60°,∴∠AEM=120°.

∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120°.

在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，

∴△AEM≌△MCN(ASA)，∴AM=MN.

(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X,则当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立.