专题09 利用对称解决几何图形常考的三种题型全攻略-七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题09 利用对称解决几何图形常考的三种题型

题型一、几何图形最值问题

例、如图，等腰中，，，是等边三角形，点是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为（    ）

A．8 B．10 C．12 D．16

【答案】B

【详解】解：如图，连接BP，

∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB=AC，∴AP垂直平分BC，

∴CP=BP，∴PD+PC=PD+PB，∴当B，P，D在在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，

又∵△ABD是等边三角形，AB=BD=10，∴PD+PC的最小值为10，故选：B．

【变式训练1】如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE=EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回点E点，则蚂蚁所走的最小路程是（       ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】C

【详解】解：延长DC到D'，使CD=CD'，G关于C对称点为G'，则FG=FG'，

同样作D'A'⊥CD'，D'A'=DA，H对应的位置为H'，则G'H'=GH，

再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，

则H'E'=HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，

最小路程为EE'==2．

故选C．

【变式训练2】如图，∠AOB＝30°，OC为∠AOB内部一条射线，点P为射线OC上一点，OP＝6，点M、N分别为OA、OB边上动点，则△MNP周长的最小值为（　　）

A．3 B．6 C．3 D．6

【答案】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2

与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，

△PMN的最小周长为PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，即为线段P1P2的长，

连结OP1、OP2，则OP1＝OP2＝OP＝6，

又∵∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，∴△OP1P2是等边三角形，

∴P1P2＝OP1＝6，即△PMN的周长的最小值是6．故选：B．

【变式训练3】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M作MN′⊥BC于N′，

∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N

∴M′N′＝M′E，∴CE＝CM′+M′E

∴当点M与M′重合，点N与N′重合时，CM+MN的最小值．

∵三角形ABC的面积为8，AB＝4，∴×4•CE＝8，∴CE＝4．即CM+MN的最小值为4．故选：B．

【变式训练4】如图，∠AOB＝30°，角内有一点P，PO＝10cm，两边上各有一点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值是多少？

【答案】10cm

【详解】作出点P关于OA的对称点E，作出点P关于OB的对称点F，连接EF，交OA于Q，交OB于R．连接PQ，PR，PE，PF，OE，OF，则PQ=EQ，PR=RF，则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF，

∵∠AOP=∠AOE，∠POB=∠FOB，∠AOB=∠AOP+∠POB=30°，∴∠EOF=90°，

又∵OE=OP，OF=OP，∴OE=OF=10，即△EOF是等边三角形，∴EF=OP=10，

所以△PQR的周长的最小值为10．

题型二、几何图形的翻折问题

例、如图所示，把长方形沿折叠，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：根据折叠性质得出，

∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠2=70°，故选：B．

【变式训练1】如图，长方形纸片，将沿对角线折叠得，和相交于点E，将沿折叠得，若，则度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：设∠CBD＝β，则∠C'BD＝β，∵，∴∠A'BE＝β−α，

由折叠可得，∠ABE＝∠A'BE＝β−α，∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBD＋∠CBD＝90°，

∴β−α＋β＋β＝90°∴β＝，故选C．

【变式训练2】如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（　　）

A．54° B．55° C．56° D．57°

【答案】C

【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，

∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，

由折叠可知：EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，

∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，

∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，

∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，

∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．故选：C．

【变式训练3】如图，将长方形的一角沿着翻折，使得点落在点的位置，再将长方形沿着折叠，使得经过点，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由折叠的性质可得，，由可求解∠GEF．

【详解】解：由题意及折叠的性质可得：，，

∵，∴，故选B．

【变式训练4】如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．

（1）折叠后，DC的对应线段是　　，CF的对应线段是　　；

（2）若∠1=50°，求∠2、∠3的度数；

（3）若AB=8，DE=10，求CF的长度．

【答案】（1）BC′，C′F；（2）50°，80°；（3）6

【详解】（1）由折叠的性质可得：折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是C′F；故答案为：BC′，C′F．

（2）由折叠的性质可得：∠2=∠BEF，

∵AD∥BC，∴∠1=∠2=50°．∴∠2=∠BEF=50°，∴∠3=180°﹣50°﹣50°=80°；

故答案为：50°，80°

（3）∵AB=8，DE=10，∴BE=10，∴AE==6，∴AD=BC=6+10=16，

∵∠1=∠BEF=50°，∴BF=BE=10，∴CF=BC﹣BF=16﹣10=6．故答案为：6

题型三、等腰三角形综合

例、如图，已知，，点为的外心，若，则____．

【答案】140

【详解】∵，∴∠AED==70°

如图，延长BF，交AE于H点 ∵点为的外心∴F点在AE的垂直平分线上

又∴BH是AE的垂直平分线，∴BH⊥AE，∴∠FBE=90°-∠AED=20°，

同理可得∠FCD=90°-70=20°∴180°-∠FBE-∠FCD=140°故答案为：140．

【变式训练1】如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则__________．

【答案】45°

【详解】解：∵垂直平分，，∴，是等腰直角三角形；

∵，，∴（等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线），

∵在直角和直角中，和都和互余，∴，

∵（三线合一），∴点F是BC中点，EF是直角的中线，

∴，∴，∴（等边对等角），

∴．故答案为：．

【变式训练2】如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC＝∠ADE＝∠ADF＝60°．（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；（2）若AB＝6，BE＝m，求：AF（用含m的式子表示）．

【答案】解：（1）结论：∠BDE＝∠DAC．

理由：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，

∵∠ADB＝∠3+∠ADE＝∠1+∠C，∠ADE＝∠C＝60°，∴∠3＝∠1．

（2）如图，在DE上截取DG＝DF，连接AG，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，

∵∠ADE＝∠ADF＝60°，AD＝AD，∴△ADG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠1＝∠2，

∵∠3＝∠1，∴∠3＝∠2∵∠AEG＝60°+∠3，∠AGE＝60°+∠2，

∴∠AEG＝∠AGE，∴AE＝AG，∴AE＝AF＝6﹣m．

【变式训练3】在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．

（1）如图1，将AD、EB延长，延长线相交于点O：①求证：BE＝AD；②用含α的式子表示∠AOB的度数（直接写出结果）；（2）如图2，当α＝45°时，连接BD、AE，作CM⊥AE于M点，延长MC与BD交于点N，求证：N是BD的中点．

【答案】解：（1）①∵CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α，

∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，∴∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD；

②∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE＝α+∠BAO，

∵∠ABE＝∠BOA+∠BAO，∴∠CBE+α＝∠BOA+∠BAO，∴∠BAO+α+α＝∠BOA+∠BAO，∴∠BOA＝2α；

（2）如图2，作BP⊥MN交MN的延长线于P，作DQ⊥MN于Q，

∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，∵∠BCA＝∠AMC，∴∠BCP＝∠CAM，

在△CBP与△ACM中，，∴△CBP≌△ACM（AAS），

∴MC＝BP，同理，CM＝DQ，∴DQ＝BP，

在△BPN与△DQN中，，∴△BPN≌△DQN（AAS），∴BN＝ND，∴N是BD的中点．