辽宁省葫芦岛市兴城市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

这是一份辽宁省葫芦岛市兴城市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省葫芦岛市兴城市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，则小球停留在黑色区域的概率是（    ）

A． B． C． D．
4．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（    ）
A．随机事件 B．必然事件
C．不可能事件 D．确定事件
5．将的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（    ）
A． B．
C． D．
6．在一个不透明的口袋里放置4个红球，个绿球和2个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，数学小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且绘制了绿球出现的频率图，则的值可能是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．9
7．我国古代数学专著《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题，其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外，圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出方程正确的是（    ）

A． B．
C． D．
8．如图，内接于，，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形是（    ）

A．正五边形 B．正六边形 C．正十五边形 D．正十二边形
9．如图，中，，，，点在线段上，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，交的延长线于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作，垂足为点，则线段的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，二次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，以下结论：①；②当时，的值随值的增大而增大；③；④抛物线一定经过点；⑤关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题
11．抛物线的顶点坐标为_______．
12．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，则b＝_____．
13．圆锥的底面直径是，母线长，则此圆锥的侧面积是________；
14．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是______．
15．如图，含角的直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点和点在量角器的半圆上，若点在量角器上对应的读数是，则的度数是________；
  
16．如图，中，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点恰好在线段上，，则的度数为________；

17．如图，中，，，，点在线段上运动，过点作，垂足为点，若与相似，则线段的长为________；

18．如图，在中，，，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为________．


三、解答题
19．解方程：
(1)
(2)
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，，将绕点逆时针旋转得到．

(1)画出，写出点，的坐标；
(2)请直接写出线段与轴交点的坐标．
21．为庆祝党的二十大的胜利召开，某校开展了“永远跟党走，奋进新征程”为主题的教育活动，活动方式有书法展示、手抄报设计、唱响经典红歌、爱国主义主题演讲（分别用字母，，，依次表示这四种活动方式），为了解全体学生最喜欢哪种活动方式（要求必须选择一种且只能选择一种），抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了以下两幅不完整的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
(1)这次被调查的学生有多少人？
(2)请补全条形统计图；
(3)全校共有2400人，请估计该校最喜欢“书法展示”的学生有多少人？
(4)某班准备从最喜欢爱国主义主题演讲的甲、乙两名女生和丙、丁两名男生中任选两人参加学校组织的爱国主义演讲比赛，请用列表法或画树状图法求所选两人恰好为1名女生和1名男生的概率．
22．如图，为的直径，内接于，，交于点．

(1)求的度数；
(2)若点为中点，，求的长．
23．2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系．

(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？
(3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．如图，中，，点在线段上，连接，，过点作交的延长线于点，以为圆心，为半径作．

(1)求证：为的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
25．如图，中，，，点为中点，点在射线上运动，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．

(1)当点与点重合时，请直接写出与的数量关系；
(2)当点在线段上时，请写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)若，，请直接写出的面积．
26．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，点在直线上运动．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上，点关于直线的对称点恰好落在轴上时，求点坐标；
(3)点在抛物线上，点在坐标平面内，在点移动的过程中，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．

参考答案：
1．C
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程分别进行分析即可．
【详解】解：A、即，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知相关定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：观察四个选项可知，只有B选项中的图形绕某一点旋转后能与自身重合，
因此B选项中的图形是中心对称图形，
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
3．C
【分析】先求出黑色区域在整个方格地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，阴影区域共6块，共有16块方格地板，
∴黑色区域在整个区域中所占的比值，
∴小球停留在黑色区域概率是；
故选：C．
【点睛】本题考查的是几何概率，解题的关键是掌握：几何概率=相应的面积与总面积之比．
4．A
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：射击运动员射击一次，命中靶心，这个事件是随机事件，
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能够确定一个事件是何种事件是解题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数的平移规律左加右减，上加下减进行求解即可．
【详解】解：根据二次函数图象的平移规律，的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为，
故选：C
【点睛】此题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．
6．D
【分析】先根据图得到绿球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式表示出，求解即可．
【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，绿球出现的频率稳定在0.6附近，

解得 ，
经检验，是原方程的根且符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．
7．B
【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积进而得出答案．
【详解】解：设正方形的边长是x步，
则列出的方程是：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．
8．A
【分析】构造弧所对的圆心角后即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，

∵，
∴，
∴，
∴该正多边形是正五边形，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是构造同弧所对的圆心角，难度不大．
9．B
【分析】连接，，证明，得到，得到，列出比例式计算即可．
【详解】连接，，
∵，
∴，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握两个性质是解题的关键．
10．D
【分析】①由二次函数的图像开口方向，与轴交于点及对称轴可判断；②由二次函数图像的增减性可判断；③根据二次函数图像的开口方向、经过及对称轴可得出，，，将化为即可判断；④由，可将化为，再代入二次函数解析式中验证即可；⑤利用一元二次方程根的判别式进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，与轴交于点，
∴，，
又∵二次函数的图像与轴交于点，其对称轴为，
∴，，
∴，，
①∵，，
∴，
∴，
故结论①正确；
②二次函数图像的对称轴为，且图像开口下，
∴当时，的值随值的增大而增大；
当时，的值随值的增大而减小，
故结论②错误；
③∵，，，
∴，
故结论③正确；
④∵，
∴，
∴，
当时，，
∴抛物线一定经过点，即抛物线一定经过点，
故结论④正确；
⑤∵，，
∴可化为：，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
即关于的方程有两个不相等的实数根，
故结论⑤正确．
综上所述，正确结论的个数是4个．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图像的性质，二次函数图像上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式．通过数形结合理解二次函数图像的性质是解题的关键．
11．
【分析】根据二次函数顶点式的性质，即可得出答案．
【详解】解：的顶点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式的顶点坐标为是解题的关键．
12．2
【分析】将A、B两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程，解方程即可．
【详解】解：将A（0，3），B（2，3）代入解析式，
得：，
解得，
故答案是：2．
【点睛】考查待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．
13．
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．a≤1
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥0．据此可得△=b2-4ac=4-4a≥0，求解即可．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2-4ac=4-4a≥0，
解之得a≤1．
故答案为a≤1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
15．##35度
【分析】连接，由题意可知，，由圆周角定理得到，得到，即可得到答案．
【详解】解：连接，

由题意可知，，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握定理内容是解题的关键．
16．##70度
【分析】根据平行的性质得到，进而得到，再利用旋转的性质得到，，推出，，即可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
由旋转的性质可知，，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
17．或
【分析】当时，，得到，，由勾股定理得到的长；当，，设，利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例式求出，根据列方程求出，即可得到的长．
【详解】解：当时，，
即，，
∵，
∴，垂直平分，
∴，，
∴；
当，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
解得，
∴，
故答案为：或
【点睛】此题考查了相似的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
18．1
【分析】将绕着点顺时针旋转得线段，连接，然后证明，由全等三角形的性质可知，接着利用三角形三边关系可以得到当三点共线时，最小，由此即可求解．
【详解】解：如下图，将绕着点顺时针旋转得线段，连接，

由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴当三点共线时，最小，的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题的关键．
19．(1)，
(2)，

【分析】(1)选用配方法求解即可．
(2)先用配方法，后用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）




∴，．
（2）解：，
或，
，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择求解方法是解题的关键．
20．(1)图见解析，，
(2)

【分析】（1）根据旋转的性质确定点，的位置，再连接即可；
（2）先求出的解析式，再令，求出的值即可
【详解】（1）如图，即为所求．

，
（2）由图象知，,
设的解析式为，则有，
，
解得，，
∴的解析式为，
令，则
∴
∴线段与轴交点的坐标为
【点睛】本题主要考查了旋转作图以及一次函数的图象与x轴的交点坐标，解题的关键是熟练掌握基本知识
21．(1)100人
(2)见解析
(3)480人
(4)

【分析】（1）用B种方式的人数除以所占百分比即可得到总人数；
（2）用总人数减去A、B、D三种方式的人数即可得到C方式的人数，补全统计图即可；
（3）用全校总人数乘以书法展示即A种方式的百分比即可估计该校最喜欢“书法展示”的学生数；
（4）按照题意画出树状图，找到所选两人恰好为1名女生和1名男生的情况数，根据概率公式进行求解即可．
【详解】（1）解：（人）
答：这次被调查的学生有100人；
（2）唱响经典红歌人数为（人），
补全统计图如图所示

（3）（人）
答：估计该校最喜欢“书法展示”的学生有480人；
（4）画树状图如下：

共有12种结果，每种结果出现的可能性相等，所选两人恰好为1名女生和1名男生的结果有8种，
∴所选两人恰好为1名女生和1名男生的概率．
【点睛】此题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联、用树状图或列表法求概率等知识，从统计图获取有用信息和准确求概率是解题的关键．
22．(1)；
(2)．

【分析】（1）连接，由圆周角定理结合已知求得，依据，得到即可求解；
（2）结合题意，设，则，由，将假设和已知代入解方程即可解出x，最后依据求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴；

（2）∵点为中点，
∴，
设，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的基本性质，等边对等角以及勾股定理解直角三角形；熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解决此题的关键．
23．(1)，
(2)70元
(3)当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元

【分析】(1)设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，即可求得x的取值范围；
(2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解；
(3)设每天获得的利润为元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设，
把点，分别代入解析式，得
，
解得：
∴，
销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，
自变量的取值范围是：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴不合题意，舍去，
答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；
（3）解：设每天获得的利润为元，根据题意得：

∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，
，
答：当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元．
【点睛】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）过点作，垂足为点，由可得，再根据等边对等角可得，从而得出，接着利用平行线的性质得到，，然后证明，得出，再根据切线的判定即可得证；
（2）先求出，再利用勾股定理求出，然后分别求出四边形和扇形的面积，相减即可．
【详解】（1）证明：过点作，垂足为点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的半径，
∵，
∴为的切线．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．

【点睛】本题考查切线的判定，扇形的面积，等边对等角，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，内角和定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．掌握切线的判定和扇形的面积公式是解题的关键．
25．(1)
(2)，理由见解析
(3)6或3

【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质及旋转的性质，可证得四边形是正方形，据此即可解答；
(2)过点作，交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质及旋转的性质，可证得，据此即可解答；
(3)分两种情况，根据，即可分别求解．
【详解】（1）解：在中，，，点为中点，
，
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，，
四边形是平行四边形，
又，，
四边形是正方形，
；
（2）解：，
理由如下：
如图：过点作，交的延长线于点，

∵，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当点E在线段上，时，如(2)图，
，
，
，
，
；
当点E在射线上，时，如图，

，
，
，
同理可证得：，
；
综上，的面积为6或3．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．
26．(1)
(2)
(3)，，，，，，，

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）连接，，根据点和点关于直线的对称，可得，，可得，从而得到，进而得到，设点，在中，根据勾股定理求出m的值，即可求解；
（3）分四种情况：当，为一组邻边时；当，为一组邻边时；当，为一组邻边时；当为对角线时，结合正方形的性质，列出方程组，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和
∴
解得：
∴
（2）解：连接，，
∵点和点关于直线的对称，
∴，，
∵，轴，
∴当时，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设点，
∴，，
在中，，
∴，
∴，

（3）解：设点，点，，
当，为一组邻边时，
，
整理得：，
即，
解得：，
此时，；
当，为一组邻边时，
，
同理解得：或，
此时，；
当，为一组邻边时，
，
同理解得：或，
此时，；
当为对角线时，
，
同理解得：或，
此时，；
综上所述，，，，，，，，．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，正方形的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．