湖北省武汉市洪山实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（含答案）

2022-2023学年湖北省武汉市洪山实验中学八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  年卡塔尔世界杯是自年以来举办的第届世界杯，历届世界杯可谓各具特色，会徽设计也蕴含了不同的文化．下列世界杯会徽的图案中，属于轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若分式的值为零，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，和中，，，再添加一个条件仍无法判断两个三角形全等的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知多项式是一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6.  下列变形中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在中，，，则下列等式成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，大正方形的边长均为，图中白色小正方形的边长为，图中白色长方形的宽为，设，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  关于的方程的解是正数，则的取值范围是(    )

A.  B. 且
C. 且 D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  “奥密克戎”病毒的直径为米，用科学记数法表示为______．

12.  已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，它的周长为______．

13.  分式方程的解是        ．

14.  如图，有正方形卡片类、类和长方形卡片类若干张，如果用、、三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要类卡片______张．
 

15.  已知，，则        ．

16.  如图，等边中，是边上中线，点为上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
因式分解：
；
．

19.  本小题分
如图，点是线段的中点，，求证：≌．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

在图中，作边上的高线；
若，则______；
在图中，上找一点，连接，使得；
在图中，点是与网格线交点，试画出一点，使得．

22.  本小题分
某单位在疫情期间用元购进、两种口罩个，购买种口罩与购买种口罩的费用相同，且种口罩的单价是种口罩单价的倍；
求，两种口罩的单价各是多少元？
若计划用不超过元的资金再次购进、两种口罩共个，已知、两种口罩的进价不变，求种口罩最多能购进多少个？

23.  本小题分
在等边中，点，分别在边，上．

如图，若，以为边作等边，交于点，连接．
求证：；
平分；
如图，若，作，交的延长线于点，求证：．

24.  本小题分
如图，点在轴上，点在轴上，点在第三象限，，，若，满足．

如图，求点，的坐标；
为轴上一点，过点作且三点按顺时针方向排列，连接，写出线段，，之间的数量关系的所有情况，并选择其中一种加以证明；
如图，将直线平移，与，轴分别交于点，，在过点且与轴垂直的直线上存在点，使得为等腰直角三角形为直角边，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方以及完全平方公式．
熟练掌握运算法则是解本题的关键．各项计算得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：、原式，不符合题意；
B、原式，符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，不符合题意，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：由，
得．
当时，，
不合题意；
当时，，
时分式的值为．
故选：．
分式的值是的条件是：分子为，分母不为，由此条件解出．
分式是的条件中特别需要注意的是分母不能是，这是经常考查的知识点．
 

4.【答案】 

【解析】解：、添加，不能利用判断两个三角形全等，符合题意；
B、添加，能利用判断两个三角形全等，不符合题意；
C、添加，能利用判断两个三角形全等，不符合题意；
D、添加，能利用判断两个三角形全等，不符合题意；
故选：．
根据全等三角形的判定定理，结合各选项的条件进行判断即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

5.【答案】 

【解析】解：多项式是一个完全平方式，
，
即或．
故选：．
根据完全平方式的定义计算即可．
本题考查完全平方式，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．注意：同乘或除以的这个整式一定不能为，这是容易忽视的地方，也是容易出错的地方．
根据分式的基本性质，分别化简各式，即可求解．
【解答】
解：、分母不能分解因式，所以原式不能约分，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
 

8.【答案】 

【解析】本题考查了含角的直角三角形，掌握此定理，应用时要注意找准角所对的直角边，点明斜边是解题的关键．
根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求出，进而求出，，．
解：，，
，．
，
，
，故B不符合题意；
，故C不符合题意；
，故A符合题意；
，，
，故D不符合题意．
故选：．
 

9.【答案】 

【解析】解：图的阴影部分的面积为：，
图的阴影部分的面积为：，



，
，
，
故选：．
分别表示出图和图中的阴影部分的面积，再进行分析即可．
本题主要考查平方差公式的几何背景，解答的关键是表示出相应的阴影部分的面积．
 

10.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
，
且，
．
故选：．
根据分式方程的解法即可求出答案．
本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：分两种情况：
当腰为时，，因为两边之和小于第三边，所以不能构成三角形；
当腰为时，，，所以能构成三角形，周长是：．
故答案为：．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
方程两边同乘以得，，
解得，
经检验是原方程的解．
故答案为：．
先去分母，方程两边同乘以，把分式方程化为整式方程，求出方程的解，再进行检验即可得到原方程的解．
本题考查了解分式方程：解分式方程的基本步骤为找出最简公分母，去分母，把分式方程转化为一元一次方程；解一元一次方程；检验；确定分式方程的解．
 

14.【答案】 

【解析】本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键．
由题意知边长为的正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和．
解：边长为的正方形的面积为，
图形面积为，图形面积为，图形面积为，
则可知需要类卡片张．
故答案为：．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
即，
，
，




．
故答案为：．
利用平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式，多项式乘多项式计算．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，，都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
，
，
点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
首先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小．
本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点在射线上运动，本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先算积的乘方和幂的乘方，再算乘法；
根据多项式除以单项式法则计算即可．
本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
 

18.【答案】解：

；


． 

【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用平方差公式继续分解；
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

19.【答案】证明：点是的中点，
，
，
，
在和中，

≌． 

【解析】由已知条件得到，，根据三角形全等的判定定理可证得≌．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、直角三角形．
 

20.【答案】解：





，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，高线即为所求；
，
又，
．
故答案为：
如图，线段即为所求；
如图，点即为所求作出一个点即可．

根据三角形的高的定义作出图形即可；
利用面积法求解即可；
利用网格特征寻找的中点，连接即可；
构造正方形，连接，半，的中点，，连接交于点，延长交网格线于点，连接，，点，，即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设口罩的单价为元个，则口罩单价为元个，根据题意，得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：口罩单价为元个，口罩单价为元个．

设购进口罩个，则购进口罩个，
依题意，得：，
解得：．
答：种口罩最多能购进个． 

【解析】设口罩的单价为元个，则口罩单价为元个，根据数量总价单价结合用元购进、两种口罩个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
购进口罩个，则购进口罩个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】证明：如图中，

是等边三角形，
，，
，
≌，
．

如图中，≌，
，
，
又是等边三角形，
，
，
，
，
，，，四点共圆，
，，
，
平分．

证明：如图中，取的中点，连接．

，，
，
，，
≌，
，
，，
，
，，
≌，
． 

【解析】根据证明≌可得结论．
利用四点共圆证明即可解决问题．
如图中，取的中点，连接想办法证明≌即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：过点作于点．

，
，
．
，，
，，
，．
．
，．
在中，．
，
．
．
在和中，
，
≌．
，．
．
．
，．
或或．
情况如图：，，

．
．
，
在和中，
，
≌．
．
，
．
附情况图：，
同理可得，
≌，
，
，
；

附情况图：，
同理可得，
≌，
，
，
；

平移后与轴、轴相交于点，，
点纵坐标为，点的横坐标为，
纵坐标减，点，
，，
，，
，轴，
点的横坐标为，

过点作轴，过点作于，过点作于，则，
，
，
在和中，
，
≌，
，
点的坐标为；
同理≌，
，
，
点的坐标为；

同理可得≌，
，，
，，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
平移后的直线的解析式为，
当时，得，
，
，
解得，
点的纵坐标为，
点的坐标为，

综上可得，或或． 

【解析】根据已知等式变成完全平方公式，可求出和的值，得到点的坐标，过点作于点，证明≌，从而得到，，进而得到点和的坐标；
分三种情况画出图形，根据同角的余角相等可证，再证明≌，根据对应边相等可得答案；
根据题意画出图形，利用全等三角形的性质求出对应边的长，从而得解．
此题考查了偶次方的非负性，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．