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2022-2023学年辽宁省阜新市细河区八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省阜新市细河区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为( )
A. 1或−1B. 0C. −1D. 1
2. 如图垃圾分类标识的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为( )
A. 30×10−3B. 3×10−6C. 3×10−5D. 0.3×10−4
4. 下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5B. a2⋅a3=a6C. a3÷a=a2D. (a3)2=a5
5. 已知三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是( )
A. 11B. 10C. 9D. 7
6. 若关于x的分式方程x−1x−3=5+mx−3有增根，则m的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 如图，△ABC≌△DBE，点E在线段AC上，∠C=70°，则∠ABD的度数为( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
8. 如图，在△ABC中，∠A=∠ACB=30°，分别以点B，A为圆心，BC，AC长为半径作弧，两弧交于点D，连接CD，交AB的延长线于点E.有下列结论：①∠CBE=60°；②S△ABC=BE⋅CE；③AC=CD；④AE垂直平分线段CD.其中，正确结论是( )
A. ①④B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若分式1x+1有意义，则实数x的取值范围是 ．
10. 在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是 ．
11. 若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是______边形．
12. 在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为 .(写出一个即可)
13. 一个等腰三角形有一个角为80°，则它的顶角度数为______．
14. 如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是 ．
15. 我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么n边形有 条对角线．
16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，EF//BC交AB于点F，连接EF.有下列结论：①∠ACD=∠B；②AF=AC；③CF平分∠BCD；④BF=EF．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：(−π)0+(12)−1−210÷27；
(2)因式分解：ax2+2a2x+a3．
18. (本小题8.0分)
解分式方程：
(1)12x=2x+3；
(2)2xx+3+1=72x+6．
19. (本小题10.0分)
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：AB//DF．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(a+1−2a−1)÷a2−3a2−2a+1，其中a=−5．
21. (本小题9.0分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，A(−3,−2)，B(−1,1)，C(−2,3)，平行于y轴的直线l经过点(1,0)，△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．
(1)画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)观察图中对应点坐标之间的关系，写出点Q(a,b)关于直线l的对称点Q1的坐标 ．
(3)在直线l上找一点P，使PA+PB最小，写出此时点P的坐标．
22. (本小题9.0分)
我县计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
(1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室；
(2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
23. (本小题10.0分)
发现规律：
我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq．
运用规律
(1)如果(x+3)(x−5)=x2+mx+n，那么m的值是 ，n的值是 ；
(2)如果(x+a)(x+b)=x2+3x−2，①求(a−3)(b−3)的值；②求1a2+1b2+5的值．
24. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
(1)如图1，当∠BAC=40°时，则∠AED= °；
(2)当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并说明理由；
②如图3，F是△CDE内一点，连接CF，DF，EF.若△CDF是等边三角形，试猜想EF与AB之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2−1x−1=0，
∴x2−1=0x−1≠0，
解得，x=−1．
故选C．
根据分式的值为零的条件列出方程组，求出x的值即可．
解答此题的关键是熟知分式的值为零应同时具备两个条件：
(1)分子为0；
(2)分母不为0．
这两个条件缺一不可．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】解：0.000003=3×10−6．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B、a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项不合题意；
C、应为a3÷a=a3−1=a2，故本选项符合题意；
D、应为(a3)2=a3×2=a6，故本选项不合题意．
故选：C．
根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并．
5.【答案】C
【解析】解：∵三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，
∴5−5∴0∴整数m的最大值是9．
故选：C．
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：x−1x−3=5+mx−3，
去分母，得x−1=5(x−3)+m．
去括号，得x−1=5x−15+m．
移项，得x−5x=−15+m+1．
合并同类项，得−4x=−14+m．
x的系数化为1，得x=72−m4．
∵关于x的分式方程x−1x−3=5+mx−3有增根，
∴72−m4=3．
∴m=2．
故选：A．
根据分式方程的增根的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，∠ABC=∠DBE，
∴∠C=∠BEC，∠EBC=∠ABD，
∵∠C=70°，
∴∠BEC=70°，
∴∠EBC=180°−70°−70°=40°，
∴∠ABD=40°，
故选：B．
根据全等三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应角相等、对应边相等”是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接AD，BD，
∵∠CAB=∠ACB=30°，
∴BA=BC，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，
∴∠CBE=∠CAB+∠ACB=60°，
由题意得：BC=BD，AD=AC，
∴AE是CD的垂直平分线，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°−∠CAB=60°，∠BCE=90°−∠CBE=30°，
∴BC=2BE，
∴S△ABC=12AB⋅CE
=12BC⋅CE
=12⋅2BE⋅CE
=BE⋅CE，
∵AC=AD，∠ACE=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
所以，上列结论，其中正确的是①②③④，
故选：D．
连接AD，BD，根据等角对等边可得BA=BC，再利用三角形的外角性质可得∠CBE=60°，然后根据题意可得：BC=BD，AD=AC，从而可得AE是CD的垂直平分线，进而可得∠AEC=90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACE=60°，∠BCE=30°，从而在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC=2BE，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得S△ABC=BE⋅CE，最后再根据等边三角形的判定可得△ACD是等边三角形，从而可得AC=CD，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】x≠−1
【解析】解：根据题意，得
x+1≠0，
解得x≠−1；
故答案是：x≠−1．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
10.【答案】(−2,3)
【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)关于y轴对称的点B的坐标是(−2,3)，
故答案为：(−2,3)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
本题主要考查了关于y轴对称点的性质，掌握点的坐标特点是解题关键．
11.【答案】七
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
(n−2)⋅180°=900°，
解得n=7．
故答案为：七．
根据多边形的外角和公式(n−2)⋅180°，列式求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
12.【答案】2x(答案不唯一)
【解析】解：在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为：2x，
x2+2x+1=(x+1)2．
故答案为：2x(答案不唯一)．
根据完全平方公式的特征即可解答．
本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
13.【答案】80°或20°
【解析】解：(1)当80°角为顶角，顶角度数即为80°；
(2)当80°为底角时，顶角=180°−2×80°=20°．
故答案为：80°或20°．
等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
14.【答案】x2−1=(x+1)(x−1)
【解析】解：图1的面积为：x2−1，拼成的图2的面积为：(x+1)(x−1)，
所以x2−1=(x+1)(x−1)，
故答案为：x2−1=(x+1)(x−1)．
根据图1、图2的面积相等可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．
15.【答案】n(n−3)2
【解析】解：∵三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，
∴n边形有n(n−3)2条对角线．
故答案为：n(n−3)2．
由于n边形从一个顶点出发可画(n−3)条对角线，所以n边形共有n(n−3)2条对角线，根据以上关系直接计算即可．
本题考查了多边形对角线的定义及计算公式，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°=∠B+∠BCD，
∴∠ACD=∠B，故①正确；
∵EF//BC，
∴∠B=∠AFE，
∴∠AFE=∠ACD，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEC(AAS)，
∴AF=AC，EF=CE，故②正确；
∵CE=EF，
∴∠ECF=∠EFC，
∵EF//BC，
∴∠EFC=∠FCB，
∴∠ECF=∠BCF，
∴CF平分∠BCD，故③正确；
如图，过点F作FH//DC交BC与H，
∵EF//BC，EC//FH，
∴EC=FH，∠DCB=∠FHB，
∵△ABC不一定是等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴∠DCB不一定等于∠B，
∴∠FHB不一定等于∠B，
∴FH不一定等于FB，
即EF与BF不一定相等，故④不正确，
故答案为：①②③．
由余角的性质可得∠ACD=∠B，故①正确；由“AAS”可证△AEF≌△AEC，可得AF=AC，EF=CE，故②正确；由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠ECF=∠BCF，可证CF平分∠BCD，故③正确；即可求解．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(−π)0+(12)−1−210÷27
=1+2−23
=1+2−8
=−5；
(2)ax2+2a2x+a3
=a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2．
【解析】(1)先计算零次幂和负整数指数幂，再利用同底数幂的除法法则，最后算加减；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式．
本题考查了实数的混合运算和整式的因式分解，掌握零指数幂、负整数指数幂的意义，同底数幂的除法法则，因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)去分母得：x+3=2×2x，
x+3=4x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解；
(2)去分母得：4x+2x+6=7，
移项合并得：6x=1，
解得：x=16，
经检验x=16是分式方程的解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．
19.【答案】证明：(1)∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
即BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=FE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)；
(2)由(1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB//DF．
【解析】(1)由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
(2)由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，再由平行线的判定即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：原式=2a+1−a−2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a(a−2)
=2a+1−a−1a(a+1)
=2a−a+1a(a+1)
=1a；
当a=−5时，原式=−15．
【解析】本题直接把字母的值代入求值是非常麻烦的．本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
本题主要考查分式的混合运算，要特别注意运算顺序及符号的处理．
21.【答案】(2−a,b)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点A1(5,−2)，B1(3,1)，C1(4,3)．
(2)由题意可知，点Q1的纵坐标与点Q的纵坐标相等，横坐标为2−a，
∴Q1的坐标为(2−a,b)．
故答案为：(2−a,b)．
(3)如图，点P即为所求．
设直线A1B的解析式为y=kx+b，
将A1(5,−2)，B(−1,1)代入，
得5k+b=−2−k+b=1，
解得k=−12b=12，
∴直线A1B的解析式为y=−12x+12，
令x=1，得y=0，
∴点P的坐标为(1,0)．
(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)由题意可知，点Q1的纵坐标与点Q的纵坐标相等，横坐标为2−a，即可得出答案．
(3)连接A1B，交直线l于点P，连接AP，此时PA+PB最小，利用待定系数法求出直线A1B的解析式，令x=1，求出y，即可得出答案．
本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，
根据题意得：36x−361.5x=3，
解得：x=4，
经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意，
则1.5x=1.5×4=6，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
(2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作120−6y4天，
根据题意得：1000y+120−6y4×500≤18000，
解得：y≤12，
答：最多安排甲公司工作12天．
【解析】(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，由题意：乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列出分式方程，解方程即可；
(2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作120−6y4天，由题意：甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出分式方程；(2)找出不等关系，列出一元一次不等式．
23.【答案】−2 −15
【解析】解：(1)(x+3)(x−5)=x2+mx+n，
m=3+(−5)=−2，n=3×(−5)=−15．
故答案为：−2，−15；
(2)∵(x+a)(x+b)=x2+3x−2，
∴a+b=3，ab=−2，
①(a−3)(b−3)
=ab−3a−3b+9
=ab−3(a+b)+9
=−2−3×3+9
=−2−9+9
=−2；
②1a2+1b2+5
=b2+a2a2b2+5
=(a+b)2−2ab(ab)2+5
=32−2×(−2)(−2)2+5
=134+5
=814．
(1)根据运用规律得出m=3+(−5)，n=3×(−5)，再求出m、n即可；
(2)根据(x+a)(x+b)=x2+3x−2求出a+b=3，ab=−2，①根据多项式乘多项式进行计算，再变形，最后代入求出答案即可；②通分后变形，再代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和整式的运算法则，能正确根据分式和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
24.【答案】100
【解析】解：(1)如图1中，∵∠B=90°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°−40°=50°，
∴∠ACD=180°−50°=130°，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠D，
∴∠EAC+∠D=∠ACD=130°，
∴∠AEC=360°−∠ACD−∠EAC=360°−130°−130°=100°．
故答案为：100；
(2)①结论：△ADE是等边三角形．
理由：如图2中，，∵∠B=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°−60°=30°，
∴∠ACD=180°−30°=150°，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠D，
∴∠EAC+∠D=∠ACD=150°，
∴∠AEC=360°−∠ACD−∠EAC=360°−150°−150°=60°，
∵EA=ED，
∴△AED是等边三角形；
②结论：EF=2AB．
理由：如图3中，连接AD．
∵△ADE，△CDF是等边三角形，
∴DA=DE，DC=DF，∠CDF=∠ADE=60°，
∴∠CDA=∠FDE，
∴△CDA≌△FDE(SAS)，
∴AC=EF，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴EF=2AB．
(1)利用等腰三角形的性质，四边形内角和定理求解即可；
(2)①证明∠AED=60°，可得结论；
②结论；EF=2AB.连接AD，证明EF=AC，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
1. 若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为( )
A. 1或−1B. 0C. −1D. 1
2. 如图垃圾分类标识的图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 2021年10月16日，我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为( )
A. 30×10−3B. 3×10−6C. 3×10−5D. 0.3×10−4
4. 下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5B. a2⋅a3=a6C. a3÷a=a2D. (a3)2=a5
5. 已知三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是( )
A. 11B. 10C. 9D. 7
6. 若关于x的分式方程x−1x−3=5+mx−3有增根，则m的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7. 如图，△ABC≌△DBE，点E在线段AC上，∠C=70°，则∠ABD的度数为( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
8. 如图，在△ABC中，∠A=∠ACB=30°，分别以点B，A为圆心，BC，AC长为半径作弧，两弧交于点D，连接CD，交AB的延长线于点E.有下列结论：①∠CBE=60°；②S△ABC=BE⋅CE；③AC=CD；④AE垂直平分线段CD.其中，正确结论是( )
A. ①④B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若分式1x+1有意义，则实数x的取值范围是 ．
10. 在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)与点B关于y轴对称，则点B的坐标是 ．
11. 若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是______边形．
12. 在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为 .(写出一个即可)
13. 一个等腰三角形有一个角为80°，则它的顶角度数为______．
14. 如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是 ．
15. 我们知道，三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么n边形有 条对角线．
16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，EF//BC交AB于点F，连接EF.有下列结论：①∠ACD=∠B；②AF=AC；③CF平分∠BCD；④BF=EF．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算：(−π)0+(12)−1−210÷27；
(2)因式分解：ax2+2a2x+a3．
18. (本小题8.0分)
解分式方程：
(1)12x=2x+3；
(2)2xx+3+1=72x+6．
19. (本小题10.0分)
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
(1)求证：△ABC≌△DFE；
(2)求证：AB//DF．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(a+1−2a−1)÷a2−3a2−2a+1，其中a=−5．
21. (本小题9.0分)
在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，A(−3,−2)，B(−1,1)，C(−2,3)，平行于y轴的直线l经过点(1,0)，△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．
(1)画出△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)观察图中对应点坐标之间的关系，写出点Q(a,b)关于直线l的对称点Q1的坐标 ．
(3)在直线l上找一点P，使PA+PB最小，写出此时点P的坐标．
22. (本小题9.0分)
我县计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
(1)求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室；
(2)已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
23. (本小题10.0分)
发现规律：
我们发现，(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq．
运用规律
(1)如果(x+3)(x−5)=x2+mx+n，那么m的值是 ，n的值是 ；
(2)如果(x+a)(x+b)=x2+3x−2，①求(a−3)(b−3)的值；②求1a2+1b2+5的值．
24. (本小题10.0分)
在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．
(1)如图1，当∠BAC=40°时，则∠AED= °；
(2)当∠BAC=60°时，
①如图2，连接AD，判断△AED的形状，并说明理由；
②如图3，F是△CDE内一点，连接CF，DF，EF.若△CDF是等边三角形，试猜想EF与AB之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2−1x−1=0，
∴x2−1=0x−1≠0，
解得，x=−1．
故选C．
根据分式的值为零的条件列出方程组，求出x的值即可．
解答此题的关键是熟知分式的值为零应同时具备两个条件：
(1)分子为0；
(2)分母不为0．
这两个条件缺一不可．
2.【答案】D
【解析】解：选项A、B、C的图案不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】B
【解析】解：0.000003=3×10−6．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项不合题意；
B、a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项不合题意；
C、应为a3÷a=a3−1=a2，故本选项符合题意；
D、应为(a3)2=a3×2=a6，故本选项不合题意．
故选：C．
根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法及除法法则作答．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法以及合并同类项，需要注意不是同类项的一定不能合并．
5.【答案】C
【解析】解：∵三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，
∴5−5
故选：C．
根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：x−1x−3=5+mx−3，
去分母，得x−1=5(x−3)+m．
去括号，得x−1=5x−15+m．
移项，得x−5x=−15+m+1．
合并同类项，得−4x=−14+m．
x的系数化为1，得x=72−m4．
∵关于x的分式方程x−1x−3=5+mx−3有增根，
∴72−m4=3．
∴m=2．
故选：A．
根据分式方程的增根的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，∠ABC=∠DBE，
∴∠C=∠BEC，∠EBC=∠ABD，
∵∠C=70°，
∴∠BEC=70°，
∴∠EBC=180°−70°−70°=40°，
∴∠ABD=40°，
故选：B．
根据全等三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应角相等、对应边相等”是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接AD，BD，
∵∠CAB=∠ACB=30°，
∴BA=BC，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，
∴∠CBE=∠CAB+∠ACB=60°，
由题意得：BC=BD，AD=AC，
∴AE是CD的垂直平分线，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=90°−∠CAB=60°，∠BCE=90°−∠CBE=30°，
∴BC=2BE，
∴S△ABC=12AB⋅CE
=12BC⋅CE
=12⋅2BE⋅CE
=BE⋅CE，
∵AC=AD，∠ACE=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=CD，
所以，上列结论，其中正确的是①②③④，
故选：D．
连接AD，BD，根据等角对等边可得BA=BC，再利用三角形的外角性质可得∠CBE=60°，然后根据题意可得：BC=BD，AD=AC，从而可得AE是CD的垂直平分线，进而可得∠AEC=90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACE=60°，∠BCE=30°，从而在Rt△BCE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC=2BE，进而利用三角形的面积公式，进行计算可得S△ABC=BE⋅CE，最后再根据等边三角形的判定可得△ACD是等边三角形，从而可得AC=CD，即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】x≠−1
【解析】解：根据题意，得
x+1≠0，
解得x≠−1；
故答案是：x≠−1．
根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
10.【答案】(−2,3)
【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，点A(2,3)关于y轴对称的点B的坐标是(−2,3)，
故答案为：(−2,3)．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
本题主要考查了关于y轴对称点的性质，掌握点的坐标特点是解题关键．
11.【答案】七
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
(n−2)⋅180°=900°，
解得n=7．
故答案为：七．
根据多边形的外角和公式(n−2)⋅180°，列式求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
12.【答案】2x(答案不唯一)
【解析】解：在〇处填入一个整式，使关于x的多项式x2+〇+1可以因式分解，则〇可以为：2x，
x2+2x+1=(x+1)2．
故答案为：2x(答案不唯一)．
根据完全平方公式的特征即可解答．
本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键．
13.【答案】80°或20°
【解析】解：(1)当80°角为顶角，顶角度数即为80°；
(2)当80°为底角时，顶角=180°−2×80°=20°．
故答案为：80°或20°．
等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
14.【答案】x2−1=(x+1)(x−1)
【解析】解：图1的面积为：x2−1，拼成的图2的面积为：(x+1)(x−1)，
所以x2−1=(x+1)(x−1)，
故答案为：x2−1=(x+1)(x−1)．
根据图1、图2的面积相等可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．
15.【答案】n(n−3)2
【解析】解：∵三角形有0条对角线，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，
∴n边形有n(n−3)2条对角线．
故答案为：n(n−3)2．
由于n边形从一个顶点出发可画(n−3)条对角线，所以n边形共有n(n−3)2条对角线，根据以上关系直接计算即可．
本题考查了多边形对角线的定义及计算公式，熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．
16.【答案】①②③
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°=∠B+∠BCD，
∴∠ACD=∠B，故①正确；
∵EF//BC，
∴∠B=∠AFE，
∴∠AFE=∠ACD，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEC(AAS)，
∴AF=AC，EF=CE，故②正确；
∵CE=EF，
∴∠ECF=∠EFC，
∵EF//BC，
∴∠EFC=∠FCB，
∴∠ECF=∠BCF，
∴CF平分∠BCD，故③正确；
如图，过点F作FH//DC交BC与H，
∵EF//BC，EC//FH，
∴EC=FH，∠DCB=∠FHB，
∵△ABC不一定是等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴∠DCB不一定等于∠B，
∴∠FHB不一定等于∠B，
∴FH不一定等于FB，
即EF与BF不一定相等，故④不正确，
故答案为：①②③．
由余角的性质可得∠ACD=∠B，故①正确；由“AAS”可证△AEF≌△AEC，可得AF=AC，EF=CE，故②正确；由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠ECF=∠BCF，可证CF平分∠BCD，故③正确；即可求解．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
17.【答案】解：(1)(−π)0+(12)−1−210÷27
=1+2−23
=1+2−8
=−5；
(2)ax2+2a2x+a3
=a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2．
【解析】(1)先计算零次幂和负整数指数幂，再利用同底数幂的除法法则，最后算加减；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式．
本题考查了实数的混合运算和整式的因式分解，掌握零指数幂、负整数指数幂的意义，同底数幂的除法法则，因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)去分母得：x+3=2×2x，
x+3=4x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解；
(2)去分母得：4x+2x+6=7，
移项合并得：6x=1，
解得：x=16，
经检验x=16是分式方程的解．
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．
19.【答案】证明：(1)∵BE=FC，
∴BE+CE=FC+CE，
即BC=FE，
在△ABC和△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=FE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)；
(2)由(1)知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB//DF．
【解析】(1)由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
(2)由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，再由平行线的判定即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
20.【答案】解：原式=2a+1−a−2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a(a−2)
=2a+1−a−1a(a+1)
=2a−a+1a(a+1)
=1a；
当a=−5时，原式=−15．
【解析】本题直接把字母的值代入求值是非常麻烦的．本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
本题主要考查分式的混合运算，要特别注意运算顺序及符号的处理．
21.【答案】(2−a,b)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点A1(5,−2)，B1(3,1)，C1(4,3)．
(2)由题意可知，点Q1的纵坐标与点Q的纵坐标相等，横坐标为2−a，
∴Q1的坐标为(2−a,b)．
故答案为：(2−a,b)．
(3)如图，点P即为所求．
设直线A1B的解析式为y=kx+b，
将A1(5,−2)，B(−1,1)代入，
得5k+b=−2−k+b=1，
解得k=−12b=12，
∴直线A1B的解析式为y=−12x+12，
令x=1，得y=0，
∴点P的坐标为(1,0)．
(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)由题意可知，点Q1的纵坐标与点Q的纵坐标相等，横坐标为2−a，即可得出答案．
(3)连接A1B，交直线l于点P，连接AP，此时PA+PB最小，利用待定系数法求出直线A1B的解析式，令x=1，求出y，即可得出答案．
本题考查作图−轴对称变换、轴对称−最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，
根据题意得：36x−361.5x=3，
解得：x=4，
经检验，x=4是所列方程的解，且符合题意，
则1.5x=1.5×4=6，
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
(2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作120−6y4天，
根据题意得：1000y+120−6y4×500≤18000，
解得：y≤12，
答：最多安排甲公司工作12天．
【解析】(1)设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，由题意：乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．列出分式方程，解方程即可；
(2)设安排甲公司工作y天，则乙公司工作120−6y4天，由题意：甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，列出分式方程；(2)找出不等关系，列出一元一次不等式．
23.【答案】−2 −15
【解析】解：(1)(x+3)(x−5)=x2+mx+n，
m=3+(−5)=−2，n=3×(−5)=−15．
故答案为：−2，−15；
(2)∵(x+a)(x+b)=x2+3x−2，
∴a+b=3，ab=−2，
①(a−3)(b−3)
=ab−3a−3b+9
=ab−3(a+b)+9
=−2−3×3+9
=−2−9+9
=−2；
②1a2+1b2+5
=b2+a2a2b2+5
=(a+b)2−2ab(ab)2+5
=32−2×(−2)(−2)2+5
=134+5
=814．
(1)根据运用规律得出m=3+(−5)，n=3×(−5)，再求出m、n即可；
(2)根据(x+a)(x+b)=x2+3x−2求出a+b=3，ab=−2，①根据多项式乘多项式进行计算，再变形，最后代入求出答案即可；②通分后变形，再代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和整式的运算法则，能正确根据分式和整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
24.【答案】100
【解析】解：(1)如图1中，∵∠B=90°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°−40°=50°，
∴∠ACD=180°−50°=130°，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠D，
∴∠EAC+∠D=∠ACD=130°，
∴∠AEC=360°−∠ACD−∠EAC=360°−130°−130°=100°．
故答案为：100；
(2)①结论：△ADE是等边三角形．
理由：如图2中，，∵∠B=90°，∠BAC=60°，
∴∠ACB=90°−60°=30°，
∴∠ACD=180°−30°=150°，
∵点E是线段AC，CD的垂直平分线的交点，
∴EA=EC=ED，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECD=∠D，
∴∠EAC+∠D=∠ACD=150°，
∴∠AEC=360°−∠ACD−∠EAC=360°−150°−150°=60°，
∵EA=ED，
∴△AED是等边三角形；
②结论：EF=2AB．
理由：如图3中，连接AD．
∵△ADE，△CDF是等边三角形，
∴DA=DE，DC=DF，∠CDF=∠ADE=60°，
∴∠CDA=∠FDE，
∴△CDA≌△FDE(SAS)，
∴AC=EF，
∵∠B=90°，∠ACB=30°，
∴AC=2AB，
∴EF=2AB．
(1)利用等腰三角形的性质，四边形内角和定理求解即可；
(2)①证明∠AED=60°，可得结论；
②结论；EF=2AB.连接AD，证明EF=AC，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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