2023年贵州省遵义十二中中考数学一模试卷（含解析）
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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在、、、这四个数中，互为相反数的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
2. 如图，水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 据遵义市文化旅游局发布称：今年春节长假期间，遵义市累计实现旅游收入约为亿元，数据亿用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4. 下列二次根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在中，，，直线，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6. 如图，在中，是边上的点，，：：，则与的面积比是( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
7. 下列说法正确的是( )
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币次，一定有次正面向上
B. 天气预报说“明天的降雨概率为”，表明明天有的时间在降雨
C. “彩票中奖的概率是”表示买张彩票一定会有一张中奖
D. “篮球队员在罚球线上投篮一次，没有投中”为随机事件
8. 对于反比例函数下列说法不正确的是( )
A. 图象分布在二，四象限内
B. 图象经过点
C. 当时，随的增大而增大
D. 若点，都在函数的图象上，且时，则
9. 如图和图，已知点是上一点，用直尺和圆规过点作一条直线，使它与相切于点以下是甲、乙两人的作法：
甲：如图，连接，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接并延长，再在上截取，直线即为所求；
乙：如图，作直径，在上取一点异于点，，连接和，过点作，则直线即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A. 甲、乙两人的作法都正确 B. 甲、乙两人的作法都错误
C. 甲的作法正确，乙的作法错误 D. 甲的作法错误，乙的作法正确
10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为若，大正方形的面积为，则的长为( )
A. B. C. D.
11. 我校足球社团有名成员，下表是社团成员的年龄分布统计表，对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
年龄单位：岁 | |||||
频数单位：名 |
A. 平均数、中位数 B. 平均数、方差 C. 众数、中位数 D. 众数、方差
12. 若二次函数是不为的常数的图象与轴交于 、两点下列结论：；当时，随的增大而增大；无论取任何不为的数，该函数的图象必经过定点；若线段不含端点上有且只有个横坐标为整数的点，则的取值范围是其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
13. 分解因式 ．
14. 从，，，，这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是 ．
15. 如图，将边长为的正方形纸片，剪去图中阴影部分的四个全等的直角三角形，再沿图中虚线折起，可以得到一个长方体盒子正好重合于上底面一点，且若所到的长方体盒子的表面积为，则线段 ．
16. 如图，已知为等边三角形，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，与交于点，的平分线交于点，点为上一点，且，则 ，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共98.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：；
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
今年月，从全国旅游景区质量等级评审会上传来喜讯，我市“风冈茶海之心”、“赤水佛光岩”、“仁怀中国酒文化城”三个景区加入国家“”级景区．至此，全市“”级景区已达个．某旅游公司为了了解我市“”级景区的知名度情况，特对部分市民进行现场采访，根据市民对个景区名字的回答情况，按答数多少分为熟悉，基本了解、略有知晓、知之甚少四类进行统计，绘制了一下两幅统计图不完整，请根据图中信息解答以下各题：
本次调查活动的样本容量是______ ；
调查中属于“基本了解”的市民有______ 人；
补全条形统计图；
“略有知晓”类占扇形统计图的圆心角是多少度？“知之甚少”类市民占被调查人数的百分比是多少？
19. 本小题分
如图，已知菱形的对称中心是坐标原点，四个顶点都在坐标轴上，反比例函数的图象与边交于，两点．
求，的值；
写出函数的图象在菱形内的取值范围．
20. 本小题分
在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了、两种不同型号的口罩，已知型口罩的单价比型口罩的单价多元，且用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．
、两种型号口罩的单价各是多少元？
根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元，则增加购买型口罩的数量最多是多少个？
21. 本小题分
如图，在▱中，为边的中点，连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使，分别连接，，．
求证：≌；
当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．
22. 本小题分
如图，是一高为米的平台，是与底部相平的一棵树，在平台顶点测得树顶点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进米到达点，在点处测得树顶点的仰角，求树高结果保留根号
23. 本小题分
如图，为的直径，是延长线上一点，切于点，是的弦，，垂足为．
求证：；
过点作，交于点，交于点，连接若，，求的长．
24. 本小题分
如今我国的大棚如图种植技术已十分成熟小明家的菜地上有一个长为米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高米的墙体处，另一端固定在离地面高米的墙体处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系已知大棚上某处离地面的高度米与其离墙体的水平距离米之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为米．
直接写出，的值；
求大棚的最高处到地面的距离；
小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
25. 本小题分
【问题发现】
如图所示，和均为正三角形，、、三点共线猜想线段、之间的数量关系为 ； ；
【类比探究】
如图所示，和均为等腰直角三角形，，，，、、三点共线，线段、交于点此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
如图所示，在中，，，，为的中位线，将绕点顺时针方向旋转，当所在直线经过点时，请直接写出的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】
解：与互为相反数，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：水平的讲台上放置的圆柱形笔筒和正方体形粉笔盒，其俯视图左边是一个圆、右边是一个正方形，
故选：．
根据俯视图是从物体的上面看得到的视图解答即可．
本题考查的是几何体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：，被开方数含有分母，
选项不符合题意；
中被开方数含有分母，
选项不符合题意；
，被开方数中含有能开方的因数，
选项的结论不符合题意；
是最简二次根式，
选项符合题意，
故选：．
利用最简二次根式的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了最简二次根式的定义，利用最简二次根式的定义对每个选项进行判断是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，且，
，
在中，
，
，
，
，
故选：．
先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同位角相等，可得结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和外角和性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
故选：．
根据相似三角形的周长之比等于相似比可以解答本题．
本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
7.【答案】
【解析】解：、任意掷一枚质地均匀的硬币次，不一定有次正面向上，故选项A不符合题意；
B、天气预报说“明天的降雨概率为”，不是表明明天有的时间在降雨，故选项B不符合题意；
C、“彩票中奖的概率是”不表示买张彩票一定会有一张中奖，故选项C不符合题意；
D、“篮球队员在罚球线上投篮一次，没有投中”为随机事件，故选项D符合题意．
故选：．
由概率公式和随机事件的概念分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了概率公式和随机事件的概念，熟练掌握概率公式和随机事件的概念是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，，
图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，
当时，，
图象经过点，
A、选项正确，不符合题意；
B、选项正确，不符合题意；
C、选项正确，不符合题意；
D、当时，；选项错误，符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质，逐一进行判断即可．
本题考查反比例函数的性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：甲正确．
理由：如图中，连接．
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
乙正确．
理由：是直径，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
故选：．
甲乙都是正确的，根据切线的判定定理证明即可．
本题考查作图复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
从图形中可得，大正方形的面积是个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
，
，
．
故选：．
分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：；接下来根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式．
11.【答案】
【解析】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为，岁人数有人，
该组数据的众数为岁，
中位数为：岁．
即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：．
由频数分布表可知年龄岁和年龄岁的两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第，个数据的平均数，可得答案．
本题主要考查方差，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：二次函数，
顶点为，在轴的下方，
函数的图象与轴交于、两点，
抛物线开口向上，，故正确；
时，随的增大而增大，故错误；
由题意可知当，二次函数是不为的常数的图象一定经过点，故正确；
线段上有且只有个横坐标为整数的点，
时，时，
，
解得，故错误；
故选：．
求得顶点坐标，根据题意即可判断正确；根据二次函数的性质即可判断错误；二次函数是不为的常数的顶点，即可判断错误；根据题意时，时，即可判断正确．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
原式提取公因式即可得到结果．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
14.【答案】
【解析】解：、是无理数，
从、、、、这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是：．
故答案为：．
直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案．
此题主要考查了无理数的定义以及概率公式的应用，正确把握概率公式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：设，
由题意可得，长方体盒子的底面为正方形，其边长为，长方体盒子的高为，
得到的长方体盒子的表面积为，
，
整理得：，
解得或舍去，
故线段．
故答案为：．
设，由题意可得，长方体盒子的底面为正方形，其边长为，长方体盒子的高为，根据长方体盒子的表面积为列出方程，即可得出线段的长．
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是用的代数式表示出长方体的长、宽、高．
16.【答案】
【解析】解：将边绕点顺时针旋转得到线段，如图，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
平分，
，
，
又，
；
如图，过作，交于，取的中点，连接，则，
∽，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
当、、三点共线时，的长最小，如图，此时，
，
，
的最小值是．
故答案为：，．
先根据旋转的性质和等边三角形得：，，最后由角平分线的定义和三角形外角的性质可得的度数；接下来作辅助线，构建等腰三角形和相似三角形，先证明，再证明∽，得，确定当、、三点共线时，的长最小，根据勾股定理可得结论．
本题考查了三角形相似的性质和判定，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会构建相似三角形，确定是解本题的关键，有难度，属于中考填空的压轴题．
17.【答案】解：
；
，
当时，原式．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】；
；
如图所示；
，
【解析】解：；
略有知晓的人数为：人，
“基本了解”的人数为：人；
补全统计图如图所示；
“略有知晓”类：，
“知之甚少”类：．
故答案为：；．
用熟悉的人数除以所占的百分比，计算即可得解；
先求出略有知晓的人数，然后列式计算即可得解；
根据的计算补全图形统计图即可；
用“略有知晓”所占的百分比乘以计算即可，再根据知之甚少的人数列式计算即可求出所占的百分比．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19.【答案】解：点在上，
，
反比例函数的解析式为，
在上，
．
如图，设反比例函数的图象与边交于、两点，
菱形和反比例函数的图象是中心对称图形，，，
点的坐标为，点的坐标为，
函数的图象在菱形内的取值范围为：或．
【解析】本题考查反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用待定系数法即可解决问题；
先得出，，再得出点及的坐标，便可得出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围．
20.【答案】解：设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，
根据题意，得：．
解方程，得：．
经检验：是原方程的根，且符合题意．
所以．
答：型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元；
设增加购买型口罩的数量是个，
根据题意，得：．
解不等式，得：．
因为为正整数，所以正整数的最大值为．
答：增加购买型口罩的数量最多是个．
【解析】设型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，根据“用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同”列出方程并解答；
设增加购买型口罩的数量是个，根据“增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元”列出不等式．
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边的中点，
，
在和中，
，
；
解：四边形是矩形，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
由得，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
，
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
【解析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质．
由证明≌即可；
先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．
22.【答案】解：过点作于点，设米，
由题可知，米，，
在中，，
则米，
即米，
在中，米，
，则米．
，即．
解得：，
则米．
答：树高是米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
过点作于点，设米，在中利用三角函数用表示出的长，在中表示出的长，然后根据即可列方程求得的值，进而求得的长．
23.【答案】证明：连接，
切于点，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，，，
在中，设，
，
，
，
为的直径，
，在中，
，，
，
．
【解析】连接，由切于点，得到，于是得到，由为的直径，得到，由于，证得，于是得到结论；
由，得到根据垂径定理得到，于是得到，由于，推出，根据等腰三角形的性质得到，在中，，，求得，，，在中，设，根据勾股定理得到方程，解得，得到，由于为的直径，得到，在中，由，得到，于是求得结论．
本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接构造直角三角形是解题的关键．
24.【答案】解：，．
由，
可知当时，有最大值，
故大棚最高处到地面的距离为米；
令，则有，
解得，，
又，
大棚内可以搭建支架的土地的宽为米，
又大棚的长为米，
需要搭建支架部分的土地面积为平方米，
故共需要根竹竿，
答：共需要准备根竹竿．
【解析】
【分析】
本题主要考查二次函数的应用，待定系数法求函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征．
根据题意可推出点坐标为，点坐标为，将这两点坐标代入二次函数表达式即可求得、的值；
将二次函数一般式化为顶点式，即可求得大棚的最高点；
先求出大棚内可以搭建支架土地的宽，再求需要搭建支架部分的面积，进而求得需要准备的竹竿根数．
【解答】
解：由题意可得：，，
将，坐标代入抛物线解析式得：，解得：，．
故答案为：，．
见答案；
见答案．
25.【答案】
【解析】解：和均为等边三角形，
，，，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
点，，在同一直线上，
，
，
，
综上所述，的度数为，线段与之间的数量关系是，
故答案为：，；
结论：，，理由如下：
和均为等腰直角三角形，
，，
，，
和中，，，，
，
，
又，
∽，
，，
，
，
，
，
；
分两种情况：
如图，
，，，
，
，
为的中位线，
，，，，
，，
由旋转的性质得：，
∽，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去
；
如图，同得：∽，
则，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：或舍去，
；
综上所述，的长为或．
证≌，得，，进而判断出的度数为即可；
证∽，得，，则，再求出，即可得出结论；
分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可．
本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
