2023年安徽省合肥市新站区卓越中学中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年安徽省合肥市新站区卓越中学中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知2x=3y，则下列比例式成立的是( )
A. x2=3yB. x2=y3C. x3=y2D. xy=23
2. 把抛物线y=−x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )
A. y=−(x−1)2+3B. y=−(x+1)2+3
C. y=−(x+1)2−3D. y=−(x−1)2−3
3. 已知△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=3b，则csA=( )
A. 23B. 223C. 13D. 103
4. 若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )
A. 2B. 22C. 22D. 1
5. 下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是( )
A. y=−2x+1B. y=(x+1)2+1C. y=−x2−1D. y=1x
6. 如图，A，B是反比例函数y=9x图象上的两点，分别过点A，B作x轴、y轴的垂线．已知S△EOF=3，则阴影部分面积为( )
A. 3
B. 7
C. 8
D. 9
7. 如图，⊙O的半径为8，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为( )
A. 83
B. 63
C. 53
D. 73
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于( )
A. 33B. 233C. 533D. 53
10. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D(F)，H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F⇒H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 一斜坡的坡角是60°，则此斜坡的坡度为______．
12. 设点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则AC的长为________cm．
13. 如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2−6x−16，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为______．
14. 在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，若线段MA绕点M旋转得到线段MA′
(1)如图①，当线段MA绕点M逆时针旋转60°时，线段AA′的长=______；
(2)如图②，连接A′C，则A′C长度的最小值是______．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：−22+3⋅tan30°+(13)−1+20180．
16. (本小题8.0分)
△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1；
(2)以C1为位似中心，在图中画出将△A1B1C1面积放大4倍后的△A2B2C1，计算△A2B2C1的面积并直接写出点A2的坐标．
17. (本小题8.0分)
已知反比例函数y=kx的图象与二次函数y=ax2+x−1的图象相交于点(2,32)．
(1)求a和k的值；
(2)判断反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点并说明理由．
18. (本小题8.0分)
枯槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1，是我国古代农用工具，桔槔始见于(墨子⋅备城门)，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，且AB=5.4米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，∠AOM=127°；当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1，求此时水桶B上升的高度．
(参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8)
19. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=−x2+2x+c与x轴交于A(−1,0)，B，对称轴与x轴交于点D，过顶点C作CE⊥y轴于点E，连接BE交CD于点F．
(1)求该抛物线的解析式及顶点C的坐标．
(2)求△CEF与△DBF的面积之比．
20. (本小题10.0分)
如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
(1)判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3，PC=4.求弦CE的长．
21. (本小题12.0分)
如图，在矩形ABCD中，点E为对角线的交点，BF⊥AE，垂足为点F，且BF的延长线交AD于点M．
(1)求证：AB2=AM⋅AD；
(2)如果BD=16，BM=12，求AB的长度．
22. (本小题12.0分)
某校八年级(1)班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
(3)求该班每年购买纯净水费用的最大值，并指出当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水更合算．
23. (本小题14.0分)
如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN．
(1)求证：BN平分∠ABE；
(2)连接DN，若BD=1，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
(3)如图②，若点F为为AB的中点，连接FN、FM，求FNDC的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断．
【解答】
解：A、变成等积式是：xy=6，故错误；
B、变成等积式是：3x=2y，故错误；
C、变成等积式是：2x=3y，故正确；
D、变成等积式是：3x=2y，故错误．
故选C．
2.【答案】B
【解析】解：抛物线y=−x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y=−(x+1)2+3．
故选：B．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，
∵∠C=90°，c=3b，
∴csA=ACAB=b3b=13．
故选：C．
由已知条件可知csA=ACAB，又知AC=b，AB=c=3b，根据这些条件直接求解即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，牢记定义是关键．
4.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是正方形和圆、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意画出图形，属于中考常考题型．
根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】
解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
AE2+OE2=AO2，
∴OE=22OA=2．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】解：A、y=−2x+1，一次函数k<0，故y随着x增大而减小，故A不符合题意；
B、y=(x+1)2+1，图象开口向上，对称轴为直线x=−1，当x>0时，y随x的增大而增大，故B符合题意．
C、y=−x2−1，二次函数a<0，故当图象在对称轴右侧，y随着x的增大而减小；而在对称轴左侧(x<0)，y随着x的增大而增大，故C不符合题意；
D、y=1x，k=1>0，在每个象限里，y随x的增大而减小，故D不符合题意．
故选：B．
根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数的增减性(单调性)，熟练掌握二次函数、一次函数、反比例函数的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵A，B是反比例函数y=9x图象上的两点，分别过点A，B作x轴、y轴的垂线，
∴S△AOF=S△BOD=12×9=92，
∴S△AOF−S△EOF=S△BOD−S△EOF，
∴S△AOE=92−3=32，
∴S阴影=2S△AOE=2×32=3．
故选：A．
根据反比例函数解析式中k的几何意义可知S1+S阴影=S2+S阴影=4，因为S阴影=1，所以S1=S2=3由此解决问题．
本题考查了反比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．
7.【答案】A
【解析】解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC=180°，
∵∠BAC=12∠BOC，
∴∠BOC=120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，

∴BD=CD，
∵OB=OC，
∴OD平分∠BOC，
∴∠DOC=12∠BOC=60°，
∴∠OCD=90°−60°=30°，
在Rt△DOC中，OC=8，
∴OD=4，
∴DC=43，
∴BC=2DC=83，
故选：A．
作弦心距OD，先根据已知求出∠BOC=120°，由等腰三角形三线合一的性质得：∠DOC=12∠BOC=60°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半可求得OD的长，根据勾股定理得DC的长，最后利用垂径定理得出结论．
本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用表格中数据和二次函数的性质判断题目中各个结论是否正确．
根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x=0+32=32，再由图象中的数据可以得到当x=32取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当x<32时，y随x的增大而增大，当x>32时，y随x的增大而减小，然后根据x=0时，y=1，x=−1时，y=−3，可以得到方程ax2+bx+c=0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【解答】
解：由表格可知，
二次函数y=ax2+bx+c有最大值，当x=0+32=32时，取得最大值，
∴抛物线的开口向下，故①正确，
其图象的对称轴是直线x=32，故②错误，
当x<32时，y随x的增大而增大，故③正确，
方程ax2+bx+c=0的一个根大于−1，小于0，则方程的另一个根大于3，小于4，故④错误，
故选B．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知EF/​/BC，推出CFAC=BEAB，根据已知条件得出CFAC=15，设AB=2x，则BC=x，AC=3x.推出在Rt△CFB中有CF=35x，进而可得出答案．
本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的定义，正确表示出CF的长度是解题的关键．
【解答】
解：根据题意：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∵EF⊥AC，
∴EF/​/BC，
∴CFAC=BEAB
∵AE：EB=4：1，
∴BEAB=15，
∴CFAC=15，
设AB=2x，则BC=x，AC=3x.
∴在Rt△CFB中有CF=35x，BC=x．
则tan∠CFB=BCCF=533．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】解：DF=x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y
①y=12DF2=12x2(0≤x<2)；
②y=1(2≤x<22)；
③∵BH=32−x
∴y=12BH2=12x2−32x+9(22≤x<32).
综上可知，图象是
故选：B．
图：①
②
③
正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分主要分为3个部分，是个分段函数，分别对应三种情况中的对应函数求出来即可得到正确答案．
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．
11.【答案】3：1
【解析】解：∵一斜坡的坡角是60°，
∴此斜坡的坡度为：tan60°=3，即为：3：1．
故答案为：3：1．
直接利用坡度的定义得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键．
12.【答案】45−4
【解析】
【分析】
本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割.根据黄金比值为5−12计算即可．
【解答】
解：∵点C是长度为8cm的线段AB的黄金分割点，AC>BC，
∴AC=5−12AB=45−4(cm)．
故答案为45−4．
13.【答案】20
【解析】解：抛物线的解析式为y=x2−6x−16，
则D(0,−16)
令y=0，解得：x=−2或x=8，
则A(−2,0)、B(8,0)，则AB=10，
圆的半径为12AB=5，
函数的对称轴为直线x=−b2a=−−62×1=3，即M(3,0)，
∴OM=3，
如图，连接CM.，
在Rt△COM中，CM=5，OM=3，
则：CO=CM2−OM2=52−32=4，
则：CD=CO+OD=4+16=20．
抛物线的解析式为y=x2−6x−16，可以求出AB=10；在Rt△COM中根据勾股定理可以求出CO=4；则：CD=CO+OD=4+16=20．
本题主要考查二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点问题，理解“果圆”的定义是解此题的关键．
14.【答案】1；7−1
【解析】解：(1)∵MA=MA′，∠AMA′=60°，
∴△AMA′是等边三角形，
∴AA′=AM=12AD=1，
故答案是1；
(2)作ME⊥CD于点E．
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴∠EDM=60°，
在直角△MDE中，DE=MD⋅cs∠EDM=12×1=12，ME=MD⋅sin∠EDM=32，
则EC=CD+ED=2+12=52，
在直角△CEM中，MC=CE2+ME2=(2+12)2+(32)2=7，
当A′在MC上时A′C最小，则A′C长度的最小值是：7−1．
故答案是：7−1．
(1)根据旋转的性质可得MA=MA′，然后证明△AMA′是等边三角形即可求解；
(2)当A′在MC上时，线段A′C长度最小，作ME⊥CD于点E，首先在直角△DME中利用三角函数求得ED和EM的长，然后在直角△MEC中利用勾股定理求得MC的长，然后减去MA的长即可求解．
本题考查了旋转的性质，以及三角函数和勾股定理，正确理解等边三角形判定定理，理解A′C最短的条件是关键．
15.【答案】解：原式=−4+3×33+3+1
=−4+1+3+1
=1．
【解析】化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
本题考查二次根式的混合运算，理解a0=1(a≠0)，a−p=1ap(a≠0)，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
16.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C1，或△A2′B2′C1即为所求，面积=4×4−12×2×4−12×4×2−12×2×2=6，A2(4,0)，A2′(−4,4)．

【解析】(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)利用位似变换的性质作出图形即可，注意有两种情形．
本题考查作图−旋转变换．位似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)因为反比例函数y=kx的图象与二次函数y=ax2+x−1的图象相交于点(2,32)．
所以32=4a+2−1，解得：a=18，
32=k2，
解得：k=3；
(2)反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点．理由如下：
由(1)知，二次函数和反比例函数的关系式分别是y=18x2+x−1和y=3x；
因为y=18x2+x−1=18[(x+4)2−24]=18(x+4)2−3，
所以二次函数图象的顶点坐标是(−4,−3)；
因为x=−4时，y=3−4=−34，
所以反比例函数图象不经过二次函数图象的顶点．
【解析】(1)将交点坐标分别代入两个函数的解析式中，即可求得a、k的值；
(2)根据(1)可确定两个函数的解析式；求得二次函数的顶点坐标后，将其代入反比例函数的解析式中进行验证即可．
此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法及二次函数的顶点坐标的求法；在求二次函数的顶点坐标时，要针对题型要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法．
18.【答案】解：过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于F，过B1作B1D⊥EF于D，如图所示：
则∠EOM=90°，
∵∠AOM=127°，∠AOA1=54.5°，
∴∠BOC=∠AOE=127°−90°=37°，∠B1OD=∠A1OE=54.5°−37°=17.5°，
∵AB=5.4米，OA：OB=2：1，
∴OA1=OA=3.6(米)，OB1=OB=1.8(米)，
∵sin∠B1OD=B1DOB1，sin∠BOC=BCOB，
∴B1D=OB1×sin17.5°≈1.8×0.3=0.54(米)，BC=OB×sin37°≈1.8×0.6=1.08(米)，
∴B1D+BC=0.54+1.08≈1.6(米)，
即此时水桶B上升的高度约为1.6米．
【解析】过O作EF⊥OM，过B作BC⊥EF于F，过B1作B1D⊥EF于D，先求出∠BOC=∠AOE=37°，∠B1OD=∠A1OE=17.5°，再求出OA1=OA=3.6(米)，OB1=OB=1.8(米)，然后由锐角三角函数定义求出B1D≈0.54(米)，BC≈1.08(米)，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
19.【答案】解：(1)把A(−1,0)代入y=−x2+2x+c得−1−2+c=0，
解得c=3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点C的坐标为(1,4)；
(2)∵A(−1,0)，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点B的坐标为(3,0)，
∴CE=1，BD=2，
∵CE/​/BD，
∴△CEF∽△DBF，
∴△CEF与△DBF的面积之比=(CEBD)2=(12)2=14．
【解析】(1)把A点坐标代入y=−x2+2x+c中求出c的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式化为顶点式得到顶点C的坐标；
(2)利用抛物线的对称性得到点B的坐标为(3,0)，再证明△CEF∽△DBF，然后根据相似三角形的性质解决问题．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质．
20.【答案】(1)证明：连接OC，作OD⊥PB于D点，
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA，
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC，
∴直线PB与⊙O相切；
(2)解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，
∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+(2x)2=62，
解得x=655，
∴CE=1255．
【解析】(1)连接OC，作OD⊥PB于D点．证明OD=OC即可．根据角的平分线性质易证；
(2)设PO交⊙O于F，连接CF.根据勾股定理得PO=5，则PE=8.证明△PCF∽△PEC，得CF：CE=PC：PE=1：2.根据勾股定理求解CE．
此题考查了切线的判定、相似三角形的性质．注意：当不知道直线与圆是否有公共点而要证明直线是圆的切线时，可通过证明圆心到直线的距离等于圆的半径，来解决问题．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAM=∠ADC=90°，
∴∠FAM+∠ACD=90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFM=90°，
∴∠FAM+∠AMB=90°，
∴∠ACD=∠AMB，
∴△ABM∽△DAC，
∴ABAD=AMCD，
∵AB=CD，
∴AB2=AM⋅AD；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵△ABM∽△DAC，
∴BMAC=AMCD，
∵BM=12，AB=CD，AC=BD=16，
∴AMAB=1612=43，
设AM=3x，则AB=4x，
∴BM=12=(3x)2+(4x)2=5x，
解得：x=125，
即AB=4x=485．
【解析】(1)根据矩形的性质得出AB=CD，∠BAM=∠ADC=90°，求出∠ACD=∠AMB，根据相似三角形的判定得出△ABM∽△DAC，根据相似三角形的性质得出ABAD=AMCD即可；
(2)根据矩形的性质得出AC=BD，根据相似三角形的性质得出BMAC=AMCD，求出AMAB=43，设AM=3x，则AB=4x，求出BM，再求出x即可．
本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质和求出△ABM∽△DAC是解此题的关键．
22.【答案】解：(1)设y=kx+b，
∵x=4时，y=400；x=5时，y=320．
∴400=4k+b320=5k+b，
解之，得k=−80b=720，
∴y与x的函数关系式为y=−80x+720．
(2)该班学生买饮料每年总费用为50×120=6000(元)，
当y=380时，380=−80x+720，得x=4.25．
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780=2395(元)．
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少．
(3)设该班每年购买纯净水的费用为W元，则
W=xy=x(−80x+720)=−80(x−92)2+1620，
∴当x=92时，W最大值=1620，
要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，
则50a≥W最大值+780，
即50a≥1620+780，
解之，得a≥48元．
所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，
由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯．
【解析】(1)设y=kx+b，根据题意得出k，b的值即可求出y与x的函数关系式．
(2)分别计算出买饮料每年总费用以及饮用桶装纯净水的总费用比较可得．
(3)设该班每年购买纯净水的费用为W元，解出二次函数求出W的最大值可求解．
本题要注意利用一次函数的特点，列出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式以及运用二次函数解决实际问题的能力．
23.【答案】(1)证明：如图①，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，
在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
∵MB=MN，
∴△MBN是等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∵∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
(2)解：设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵AB=DB∠NBE=∠ABNBN=BN，
∴△ABN≌△DBN(SAS)，
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2，可得：(2a+a)2+a2=1，
解得：a=±1010(负值舍去)，
∴BC=2a=105；
(3)解：∵F是AB的中点，
∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，
∴∠MAB=∠FMN，
∵∠MAB=∠CBD，
∴∠FMN=∠CBD，
∵MFAB=MNBC=12，即MFBD=MNBC，
∴△MFN∽△BDC，
∴FNDC=MNBC=12．
【解析】(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB，由等腰三角形三线合一知AM⊥BC，从而根据∠MAB+∠ABC=∠EBC+∠ACB知∠MAB=∠EBC，再由△MBN为等腰直角三角形知∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°可得证；
(2)设BM=CM=MN=a，知DN=BC=2a，证△ABN≌△DBN得AN=DN=2a，Rt△ABM中利用勾股定理可得a的值，从而得出答案；
(3)F是AB的中点知MF=AF=BF及∠FMN=∠MAB=∠CBD，再由MFAB=MNBC=12，即MFBD=MNBC，得△MFN∽△BDC，即可得证．
本题属于四边形的综合题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．
x
−1
0
1
3
y
−3
1
3
1