2023年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个实数中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  数据显示，中国已实现“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，全国冰雪运动参与人数达到亿人．数据“亿”用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7.  下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛的成绩平均数和方差：

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，则选择______较适宜(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

8.  某环保知识竞赛一共有道题，规定：答对一道题得分，答错或不答一道题扣分在这次竞赛中，小明被评为优秀分或分以上，则小明至少答对了______道题(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形为的内接四边形，若四边形为菱形，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中：；；若、是抛物线上的两点，则有；若，为方程的两个根，且；以上说法正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  若两个相似三角形的相似比为：，则它们的面积比是        ．

13.  若实数，满足，则的值是        ．

14.  如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度，其中一名小组成员站在距离树米的点处，测得树顶的仰角为，已知测角仪的架高米，则这棵树的高度为______米．

15.  如图所示，等边的边长为，点在内运动，运动过程始终保持，则线段的最小值为        ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

17.  本小题分
如图所示，菱形中，点、分别是边、上的点，，，连接、，延长交线段延长线于点；
求证：≌；
若菱形边长为，则线段的长是        ．

18.  本小题分
为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：合唱社团、陶艺社团、数独社团、硬笔书法，七年级共有名学生选择了课程为了解选择课程学生的学习情况，张老师从这名学生中随机抽取了名学生进行测试，将他们的成绩百分制，单位：分分成六组，绘制成频数分布直方图．
分这组的数据为：、、、、、、、、，则这组数据的中位数是        分、众数是        分；
根据题中信息，可以估算七年级选择课程的学生成绩在分的人数是        人；
七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课程他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程或课程的概率．

19.  本小题分
我国古代数学著作九章算术中记载有这样一个问题：“今有甲、乙二人，持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：今有甲、乙二人，各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱，问甲、乙二人各带了多少钱？
求甲、乙两人各带的钱数；
若小明、小颖去文具店购买作业本，两人带的钱数单位：元恰好等于甲、乙两人各带的钱数，已知作业本的单价为元本由于开学之际，文具店搞促销活动，凡消费元可以打八折，那么他们合起来购买可以比单独购买多多少本作业本？

20.  本小题分
如图所示，是的直径，为的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点，连接若．
求证：为的切线；
求图中阴影部分的面积．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点．
求该反比例函数和一次函数的解析式；
在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；
直接写出当时，的取值范围．
 

22.  本小题分
数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论但是所猜想的结论不一定都是正确的人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．

推理证明：
在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的正确性九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了如图，在中，若是斜边上的中线，则，请你用矩形的性质证明这个结论的正确性．
迁移运用：利用上述结论解决下列问题：
如图，在线段异侧以为斜边分别构造两个直角三角形与，、分别是、的中点，判断与的位置关系并说明理由；
如图，▱对角线、相交于点，分别以、为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形与，求证：▱是矩形．

23.  本小题分
如图，抛物线经过，，三点．
求抛物线的解析式；
在直线下方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求点的坐标以及的面积的最大值．
点是抛物线上一个动点，过作轴于，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的实数是．
故选：．
根据选项中的数据，可以比较它们的大小，从而可以解答本题．
本题考查实数大小的比较，解答此类问题的关键是明确负数小于小于正数．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示，

，
，
，
，
；
故选：．
根据三角形外角性质求出，根据平行线性质得出，代入求出即可．
本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
 

6.【答案】 

【解析】解：圆锥不可能得到长方形截面，
故能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱，一共有个．
故选：．
根据圆柱、长方体、圆锥、四棱柱的形状判断即可，可用排除法．
本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
 

7.【答案】 

【解析】解：乙和丁的平均数较大，
从乙和丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
选择丁参加比赛，
故选：．
首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

8.【答案】 

【解析】解：设小明答对了道题．
则：，
解得：，
小明至少答对了道题．
故选：．
根据题意可得，关系式为：答对的题数其余题数，进而得出答案．
此题主要考查了一元一次不等式的应用，找到相应的不等关系是解决问题的关键，
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为的内接四边形，
，
由圆周角定理得：，
四边形为菱形，
，
，
解得：，
故选：．
根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据菱形的性质得到，计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
抛物线与轴的交点在轴正半轴，
，
，故错误；
抛物线的对称轴是直线，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，
，故正确；
抛物线开口向下，
离对称轴越近的点，函数值越大，
，
，故正确；
，为方程的两个根，
把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，
，故错误．
说法正确的有．
故选：．
利用抛物线的开口方向、对称轴的位置、抛物线与轴交点的位置即可判断，，的符号；根据抛物线的对称轴和与轴的一个交点坐标可算出另一个交点的坐标为，则当时，根据函数图象即可判断；利用二次函数的性质即可判断，的大小关系；把，看作二次函数与直线的交点的横坐标，结合函数图象即可判断，的取值范围．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征．二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，越大开口就越小．一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接找出公因式提取公因式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】： 

【解析】解：两个相似三角形的相似比为：，
它们的面积比：．
故答案为：：．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到它们的面积比．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
根据偶次方的性质和算术平方根的非负性得出，的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案．
此题考查了算术平方根和算术平方根的非负性，能求出、的值是解此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
则四边形是矩形，
，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
．
即树的高度为．
故答案为：．
过点作于，则四边形是矩形，证是等腰直角三角形，得，即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是通过添加辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：取中点，连接，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
取中点，连接，，由直角三角形的性质得到的长，由，即可求出的最小值．
本题考查求线段最小值的问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边关系，关键是通过作辅助线得到．
 

16.【答案】解：原式
，
当，时，
原式． 

【解析】直接利用乘法公式化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】证明：在菱形中，，，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：在菱形中，，
，，
∽，
：：，
，
：：，
菱形边长为，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质可得，，进一步可得，根据可证≌；
根据菱形的性质可得，进一步可证∽，根据相似三角形的性质可得：：，即可求出的长．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：把这些数从小到大排列为：、、、、、、、、，
则这组数据的中位数是分，
出现了次，出现的次数最多，
众数是分；
故答案为：，；

根据题意得：
人，
答：估算七年级选择课程的学生成绩在分的人数是人；
故答案为：；

根据题意列树状图如下：

共有种等可能的结果数，其中他俩同时选到课程或课程的概率有种，
则他俩同时选到课程或课程的概率是．
根据中位数和众数的定义分别进行求解即可；
用总人数乘以分的人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出他俩同时选到课程或课程的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
 

19.【答案】解：设甲有钱，乙有钱，
根据题意，得，
解得，
答：甲有钱，乙有钱；
本，
，取正整数本，
本，
答：他们合起来购买可以比单独购买多本作业本． 

【解析】设甲有钱，乙有钱，根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱，列二元一次方程组，求解即可；
分别求出单独购买和合起来购买的数量，进一步求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立二元一次方程组是解题的关键．
 

20.【答案】证明：如图，连接．
，
，
，，
，
，
为的切线，
，
，
，
是半径，
为的切线；

解：，
，
，
，
，
，是的切线，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】连接，证明，可得结论；
证明是等边三角形，求出，再根据，求解即可．
本题主要考查切线的性质和判定及扇形的计算，掌握切线问题中的两种辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键．
 

21.【答案】解：把代入，可得，
反比例函数的解析式为；
把点代入，可得，
．
把，代入，可得，
解得，
一次函数的解析式为；
一次函数的解析式为，令，则，
一次函数与轴的交点为，
当，，共线时时，最大，即为所求，

令，则，
，
．
当时，或． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
根据一次函数，求得与轴的交点，此交点即为所求；
根据直线在反比例函数图象的上方，找到的取值范围．
 

22.【答案】证明：如图，延长到点，使，连接，，

为斜边上的中线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是矩形，
，
；
解：垂直平分，理由如下：
连接，，

在中，点为斜边的中点，
，
在中，点为斜边的中点，
，
，
点为的中点，
垂直平分；
证明：连接，

四边形是平行四边形，
点为、的中点，
，点为的中点，
，
，点为的中点，
，
，
▱为矩形． 

【解析】延长到点，使，连接，，利用矩形的性质得▱是矩形，则，即可证明结论；
连接，，利用中结论可得，，则，再根据等腰三角形的性质可得结论；
连接，利用中结论可得，，则，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
抛物线的解析式为；
如图，

当点在抛物线上，且使的面积最大，
必有平行于直线的直线，且和抛物线只有一个交点；
，，
直线解析式为，
设直线解析式为，
抛物线的解析式为；
联立化简得，，
，
，
，
，
，
又，，
；
如图，

过点作，
，，
，，
，
设点，
，，
，
以、、为顶点的三角形与相似，
，
，
联立解得舍或或，
或
，
，
联立解得，或舍或，
或，
综上，得到点或或或． 

【解析】用待定系数法求出抛物线解析式；
先判断出平行于，并且和抛物线只有一个交点，从而确定出点的坐标；
以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论计算即可．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值的确定，相似三角形的性质，解本题的关键是求出点的坐标，分类讨论是解本题的难点．