湖南省长沙市麓山国际实验学校2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试卷

这是一份湖南省长沙市麓山国际实验学校2022-2023学年九年级下学期第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．63的倒数是（ ）
A．B．36C．D．
2．下列计算正确的是
A．B．
C．D．
3．如图是正方体的一种展开图，表面上的语句为北京2022年冬奥会和冬残奥会的主题口号“一起向未来！”，那么在正方体的表面与“未”相对的汉字是（ ）
A．一B．起C．未D．来
4．下列说法正确的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式
B．为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是条形统计图
C．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次必有1次中奖
D．“投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为必然事件
5．2023年2月25日长沙地铁客流量再创历史新高，突破324万人次，其中数据3240000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
6．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（ ）
A．众数是9B．中位数是8.5C．平均数是9D．方差是1.2
8．如图，用直尺和圆规作出的角平分线，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．B．C．D．
9．如图所示，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1=43°，则∠2的度数为（ ）
A．57°B．63°
C．67°D．73°
10．如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点D作，垂足为F，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．分解因式：_________.
12．计算：＝_____．
13．若，满足方程组，则________．
14．在Rt中，∠C＝90°，点D是AB边的中点，若AB＝8，则CD＝______．
15．已知圆锥的母线长为8，底面半径为6，则此圆锥的侧面积是___________
16．已知直线与双曲线相交于点，，则的最大值是__________．
三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组，并求出符合条件的所有正整数解．
19．杜甫江阁位于长沙市河东城区西湖桥，与岳麓山隔江相望，属于园林仿古建筑，为纪念唐朝诗人杜甫所建．
某数学小组为了测量杜甫江阁高度，进行了如下操作：用一架无人机在楼基A处起飞，沿直线飞行60米至点B，在此处测得楼基A的俯角为，再将无人机沿水平方向向右飞行36米至点C，在此处测得楼顶D的俯角为，请计算杜甫江阁AD的高度．（结果保留整数，，，，，，）
20．为落实“双减”政策，光明中学利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、围棋和足球四个社团活动，每个学生只选择一项活动参加，为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，将调查结果绘成如下表格和扇形统计图．
参加四个社团活动人数统计表
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)抽取的学生共有________人，其中参加围棋社的有________人．
(2)若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生有多少人？
(3)某班有2男2女共4名学生参加足球社，现从中随机抽取2名学生参加学校足球队，请通过画树状图或列表格求抽到一男一女的概率．
21．如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
22．某体育器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用5400元购进篮球的数量比用4000元购进排球的数量少5个．
(1)篮球、排球的单价各是多少元？
(2)该体育器材店决定用不多于14000元购进篮球和排球共150个进行销售，最多可以购买多少个篮球？
23．如图，在中，，以为直径的交于点，点在上，，分别延长，交于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
24．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“硬核点”例如，，都是“硬核点”．
(1)下列说法正确的是_______（填序号）．
①正比例函数的图象上有无数个“硬核点”；
②一次函数的图象上没有“硬核点”；
③反比例函数的图象上有两个“硬核点”；
④二次函数的图象上只有一个“硬核点”．
(2)已知抛物线（，均为常数）上有且只有一个“硬核点”．
①当时，求的取值范围；
②当时，过反比例函数图象上的“硬核点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到直线的距离为，求的取值范围．
25．如图，为的一条对角线，，的外接圆与边交于点E（点E不与点C，D重合），过点E作于点H，直线交的延长线于点F，连接．
(1)求证；
(2)若的半径为5，，求的长；
(3)若，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求这个定值．
社团活动
舞蹈
篮球
围棋
足球
人数
50
30
80
参考答案：
1．D
【分析】直接根据倒数的定义作答即可．
【详解】63的倒数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数．
2．B
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，掌握以上运算法则和公式是解题的关键．
3．B
【分析】根据正方体的平面展开图的特点可直接得出答案．
【详解】解：正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“未”字相对的字是“起”．
故选B．
【点睛】本题考查正方体的平面展开图，具备一定的空间想象能力是解题的关键．
4．A
【分析】根据调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. 了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故该选项正确，符合题意；
B. 为了直观地介绍某款牛奶各营养成分的百分比，最适合使用的统计图是扇形统计图，故该选项不正确，不符合题意；
C. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次可能有1次中奖，故该选项不正确，不符合题意；
D. “投掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了调查方式，统计图的使用，概率的意义，事件的分类，掌握以上知识是解题的关键．
5．C
【分析】直接根据科学记数法的表示方法进行改写即可．
【详解】，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，即把绝对值大于1的数表示成的形式，其中，正确确定a和n的值是解题的关键．
6．C
【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
7．C
【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的意义，分别对每一选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、出现次数最多的是10，故该组成绩的众数是10，因此选项A错误，不符合题意；
B、将成绩从小到大排列：7，8，8，9， 9， 9，10，10， 10，10，该组成绩的中位数是，故选项B错误，不符合题意；
C、该组成绩平均数：，故选项C正确，符合题意；
D、该组成绩的方差：，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，熟练掌握相关概念是解答此题的关键．
8．A
【分析】如图，根据题意可得：，，，进一步即可根据判定，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，由作图可知：，，，
（），
，即是的平分线．
所以用到的三角形全等的判定方法是．
故选：A．
【点睛】本题考查了尺规作角平分线以及全等三角形的判定与性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握基础知识是解题的关键．
9．D
【分析】根据等腰三角形的性质可求出，可得出，再根据平行线的性质可得结论．
【详解】解：∵AC=BC，
∴是等腰三角形，
∵
∴
∴
∵a∥b，
∴
故选：D
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出是解答本题的关键．
10．D
【分析】过点分别作于点，于点，可得四边形是矩形，从而得到，再由△ABC为等边三角形，可得，，从而得到，再证得，然后根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，过点分别作于点，于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
在正方形中，，，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
11．
【详解】分析：首先提取公因式3，进而利用平方差公式分解因式即可．
详解：3x2-12y2=3（x2-4y2）
=3（x+2y）（x-2y）．
故答案为3（x+2y）（x-2y）．
点睛：此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
12．2
【分析】先化简，再合并同类二次根式即可
【详解】解：
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键
13．3
【分析】直接把两式相减即可得出结论．
【详解】解：
得，，
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键．
14．4．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得．
【详解】∵，D是AB的中点，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
15．
【分析】根据圆的周长公式求出圆锥侧面展开图扇形的弧长，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：圆锥的底面周长，即圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
则圆锥的侧面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
16．1
【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：由直线与双曲线相交于点可得：，
∴，
∵
∴当时，有最大值，最大值为1；
故答案为1．
【点睛】本题主要考查反比例函数及配方法求最值，熟练掌握反比例函数及完全平方公式进行变形是解题的关键．
17．
【分析】先计算零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值，立方根，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．不等式组的解集为，正整数解有1，2，3，4
【分析】先求出各个不等式的解，然后确定不等式组的解集，即可得出整数解．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
∴正整数解有1，2，3，4．
【点睛】题目主要考查求不等式组的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题关键．
19．杜甫江阁AD的高度约为米
【分析】在和中，通过解直角三角形分别求出的长度，继而求解即可．
【详解】在中，，
∵，即，
∴，，
在中，，
∴，
∵，即，
∴，
米，
所以，杜甫江阁AD的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．
20．(1)200，40
(2)480人
(3)见解析；
【分析】（1）用足球的人数除以足球所占的百分比，即可求得样本容量，进而求出参加围棋社的人数．
（2）先求出参加篮球社的学生所占百分比，再乘以3200，即可得出答案．
（3）用树状图表示2男2女共4名学生，现从中随机抽取2名学生参加学校足球社，所有可能出现的结果情况，进而求出答案即可．
【详解】（1）抽取的学生共有：（人），
参加围棋社的有：（人）；
故答案为：200，40；
（2）若该校有3200人，估计全校参加篮球社的学生共有：
（人）；
答：全校参加篮球社的学生估计有480人
（3）画树状图如下：
∵所有等可能出现的结果总数为12个，其中抽到一男一女的情况数有8个，
∴恰好抽到一男一女概率为．
【点睛】本题主要考查了读统计表与扇形图的能力和利用图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察，分析，研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，也考查了利用树状图或列表法求概率．
21．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）通过证明得到，即四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得证；
（2）点A作，通过解直角三角形即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵D是的中点，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）∵AECF是菱形，
∴，
∴，
∴，
过点A作，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、解直角三角形等内容，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．(1)每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元
(2)该健身器材店最多可以购进篮球50个
【分析】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为元，根据“用5400元购进篮球的数量比用4000元购进排球的数量少5个”得到方程，即可解得结果；
（2）设健身器材店可以购进篮球a个，则购进排球个，根据题意列不等式组即可得到结果．
【详解】（1）设每个排球的进价为x元，则每个篮球的进价为元
根据题意得．
解得．
经检验是原分式方程的解．
∴（元）．
答：每个篮球的进价为120元，每个排球的进价为80元．
（2）设该体育用品商店可以购进篮球a个，则购进排球个，
根据题意，得．
解得．
答：该健身器材店最多可以购进篮球50个．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，找准数量关系是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，通过全等三角形证得，从而证得，即可证得结论；
（2）设的半径为，根据，在中，勾股定理求得，再由，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，，
在与中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴与相切；
（2）解：由（1）得：．
∵设的半径为，，
∴，，
在中，，
∴，
∴
解得：，
∵，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握相关知识点是解题的的关键．
24．(1)①③④
(2)①；②
【分析】（1）根据“硬核点”的定义逐项判断即可；
（2）①联立得出，根据抛物线（，均为常数）上有且只有一个“硬核点”，得出，根据，求出的取值范围即可；
②先求出抛物线的关系式和顶点坐标，再求出反比例函数图象上的“硬核点”的坐标为，得出直线l的解析式为，画出图形，即可求出m的取值范围．
【详解】（1）解：①正比例函数的图象上任意一个点的纵坐标都等于横坐标的2倍，因此图象上有无数个“硬核点”，故①正确；
②联立，解得：，
∴一次函数的图象上的“硬核点”为，故②错误；
③联立，解得：，，
∴反比例函数的图象上有两个“硬核点”，，故③正确；
④联立，解得：，
∴二次函数的图象上只有一个“硬核点”，故④正确；
综上分析可知，正确的是①③④．
故答案为：①③④．
（2）解：①联立，
则，
整理得：，
∵抛物线（，均为常数）上有且只有一个“硬核点”，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴；
②当时，，
∴抛物线解析式为：
，
令，则，
∴此时抛物线的顶点坐标为：，与y轴的交点坐标为，
联立，解得：，，
∵，
∴（舍去），
∴反比例函数图象上的“硬核点”为，
∴平行于轴的直线为，
∵抛物线上有四个点到直线的距离为，
∴在直线l下方的抛物线上必须有两点到直线l的距离为m，
∴，
即．
．
【点睛】本题主要考查了先定义运算，一次函数、二次函数和反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解“硬核点”的定义，任意的一个“硬核点”一定在正比例函数的图象上．
25．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再由圆内接四边形的性质可得，再由，可得，即可求证；
（2）连接，并延长交于点M，连接，可得，从而得到，进而得到，继而得到，设，可求出x的值，从而得到，再由勾股定理求出，再由，即可求解；
（3）过点A作于点G，可得，再由平行四边形的性质可得，根据题意可得，从而得到，，再由，可得，可得，再由对于的任意长度，都有的值是一个定值，求出m的值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，并延长交于点M，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵的半径为5，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
解得：；
（3）解：如图，过点A作于点G，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴
∵对于的任意长度，都有的值是一个定值，
∴，
解得：或0（舍去），
∴当时，的值是一个定值，为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，根据题意证得是解题的关键．