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人教版中考一轮复习 第1讲 数与式--基础班
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这是一份人教版中考一轮复习 第1讲 数与式--基础班，文件包含第1讲数与式--基础班教师版docx、第1讲数与式--基础班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共60页， 欢迎下载使用。
第1讲 数与式
知识点1实数
无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
实数
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算，按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
6.平方根和立方根
【典例】
例1（2020秋•杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内．
①-1112，②32，③-4，④0，⑤-0.4，⑥38，⑦-π4，⑧0.2⋅3⋅，⑨3.14
（1）整数集合{ …}；
（2）分数集合{ …}；
（3）无理数集合{ …}．
例2（2020秋•青山区期中）①12的平方根是 ；
②64的立方根是 ；
③32的倒数是 ．
例3（2020春•西乡塘区校级月考）如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来．请在每个字母后面的空格填写对应的实数：-12，π，0，2，2，-3．
点A表示的数是 ；点B表示的数是 ；点O表示的数是 ；点C表示的数是 ；点D表示的数是 ；点E表示的数是 ．
例4（2020秋•沙坪坝区校级月考）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是 ．（填序号）
①ab＜0；②|a|＜|b|；③﹣a＞b；④a﹣b＞0．
例5（2020秋•海陵区期中）先在数轴上画出表示3、|﹣2|、﹣7、﹣3、﹣（﹣4.5）、312各数的点，再按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．
例6 计算：﹣12+（7）0+cos45°+|1-2|．
【随堂练习】
1．（2020秋•江阴市期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
﹣2.5，3，﹣2020，-103，0.1010010001，﹣2.3⋅，0，﹣（﹣30%），π3，﹣|﹣4|
（1）正数集合：{ …}；
（2）无理数集合：{ …}；
（3）分数集合：{ …}；
（4）非正整数集合：{ …}．
2．（2020•成都模拟）已知实数a，b互为相反数，且|a+2b|＝1，b＜0，则b＝ ．
3．（2020•香洲区校级一模）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．|a﹣b|＜1 B．|a|＜|b|
C．|a+1|+|1﹣b|＝a﹣b D．ab＜0
4．（2020春•渝中区校级月考）已知x是整数，当|x-23|取最小值时，x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2020秋•沈北新区期末）计算：2sin30°﹣4cos45°+|1﹣tan60°|．
知识点2 二次根式
二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
5.二次根式的运算
① 乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【典例】
例1 （2020秋•汝阳县期末）无论x取任何实数，下列一定是二次根式的是（ ）
A．-x-2 B．x C．x2+2 D．x2-2
例2 （2020秋•温江区期末）-6、8、32、34中是最简二次根式的是 ．
例3 （2020秋•沙坪坝区校级月考）计算：245+545+5280．
例4 （2020秋•浦东新区月考）计算：24×412÷48．
例5 （2020春•珠海校级期中）你能找出规律吗？
（1）计算：4×9= ，4×9= ；16×25= ，16×25= ．
结论：4×9 4×9；16×25 16×25．（填“＞”，”＝”，“＜”）．
（2）请按找到的规律计算：
①5×20；
②123×935．
（3）已知：a=2，b=10，则40= （可以用含a，b的式子表示）．
例6 （2020秋•青羊区校级月考）已知x=5+3，y=5-3，求x2+xy+y2的值．
【随堂练习】
1．（2020春•荔湾区月考）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．a B．-2 C．a+2 D．a2+1
2．（2020秋•道外区期末）下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A．10 B．20 C．23 D．3.6
3．（2020秋•石鼓区校级月考）计算：(32+24-213)-(18-123)．
4．（2020春•庆云县期中）23÷223×25．
5．（2020秋•郓城县期中）已知x＝23-32，y＝23+32，求x2y+xy2的值．
6．（2020春•汶上县期末）【计算下列各式】
（1）4×9= ，4×9= ．
16×25= ，16×25= ．
【归纳发现】
（2）观察以上计算结果，尝试用含有字母a、b（其中，a≥0，b≥0）的式子表示发现的规律；
【实践应用】
（3）运用发现的规律进行计算：
①3×5．
②13×27．
知识点3代数式
1.代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.
注：单独一个字母或一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则：
（1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写作“”或省略不写，字母之间的顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母之前.如：不要写成
（2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如：写成
（3）代数式中，如果字母系数是分数，要写成假分数，不能写成带分数.如：不要写成
（4）代数式运算中结果是加减运算的式子，若需注明单位，那么必须用括号把代数式括起来，.
4.简单的代数式求值
1、求代数式的值的一般步骤：
（1）代入，将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原.
（2）计算，按照代数式指明的运算计算出结果，运算时应分清运算种类及运算的顺序，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行.
2、求代数式值的一般方法: (1)直接代入求值；(2)整体代入求值
3、对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值.
【典例】
例1（2020秋•玉田县期末）下列各式最符合代数式书写规范的是（ ）
A．112a B．ba C．3a﹣1个 D．a×3
例2（2020秋•武威期末）若a2+a+1＝0，则2a2+2a+2014的值是（ ）
A．2014 B．2015 C．2013 D．2012
例3 （2020秋•铁西区期末）下表中的数字是按一定规律填写的，则a+b＝（ ）
1
2
3
5
8
13
a
34
……
2
3
5
8
13
21
34
b
……
A．55 B．66 C．76 D．110
【随堂练习】
1．（2020秋•万州区校级期中）下列代数式的书写格式规范的是（ ）
A．123xyz B．a×b÷5+1 C．ab2 D．34ab
2．（2020秋•抚顺县期末）若x2﹣3x﹣2＝0，则2x2﹣6x+2020的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
3．（2020秋•涪城区校级期末）按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……第2020个单项式是（ ）
A．2020a B．﹣2020a C．a2020 D．﹣a2020
知识点4整式
1. 单项式：数与字母的乘积，叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.
4. 多项式：几个单项式的和叫做多项式.
5. 多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项.
6. 常数项：在多项式中，不含字母的项叫做常数项.
7. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
8. 升幂排列：按某个字母的指数从小到大的顺序排列.
9. 降幂排列：按某个字母的指数从大到小的顺序排列.
10. 整式：单项式与多项式统称为整式.
11. 同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
12. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项的运算叫做合并同类项；合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母不变.
13. 合并同类项的步骤：① 找同类;②同类项系数相加，字母部分不变;③不是同类项的项照抄为结果的一项.
14. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
15. 添括号法则：如果添括号的前面是正号，添括号后括号内各项符号不变；
如果添括号的前面是负号，添括号后括号内各项符号与以前的相反
整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
【典例】
例1（2020秋•绥中县期末）下列说法正确的是（ ）
A．单项式x的系数是0
B．单项式﹣32xy2的系数是﹣3，次数是5
C．多项式x2+2x的次数是2
D．单项式﹣5的次数是1
例2（2020秋•镇原县期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．x2﹣3x的项是x2，3x B．a+b3是单项式
C．12，πa，a2+1都是整式 D．3a2bc﹣2 是二次二项式
例3（2020秋•朝阳区期末）计算：14（12m+4）+2（m﹣1）．
例4（2020秋•松江区期末）计算：6a2（13ab﹣b2）﹣2a2b（a﹣b）．
例5（2020秋•崆峒区期末）计算：3a3b•（﹣2ab）÷（﹣3a2b）2．
例6（2020秋•广州期末）先化简，再求值：5（3m2n﹣mn2）﹣（mn2+3m2n）﹣4（3m2n﹣mn2），其中m＝﹣3，n=13．
例7（2020秋•朝阳区期末）若a+b＝5，ab＝3，
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
例8 （2020秋•吉林期末）计算：（3x+2）（3x﹣2）﹣x（5﹣3x）．
【随堂练习】
1．（2020秋•莫旗期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4
B．xy3-1是整式
C．6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1
D．2πR+πR2是三次二项式
2．（2020秋•马山县期中）下列式子：x2+2，1a+4，3ab27，abc，﹣5x，0中，整式的个数有（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2020秋•松江区期末）计算：2x+（x+3y﹣1）﹣（4y﹣5）．
4．（2020秋•嘉定区期末）计算：2（a﹣b）2﹣（a+6b）（a﹣2b）．
5．（2020秋•喀什地区期末）计算：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣n）（m+8n）．
6．（2020秋•浦东新区期末）计算：（﹣6a2b2+3ab）÷ab+5ab．
7．（2020秋•昌图县期末）先化简，再求值：2x﹣3（x-13y2）+2（-12x+y2），其中x＝3，y＝﹣2．
8．（2020秋•延边州期末）计算：（23ab2﹣2ab）•12ab．
知识点5 因式分解
1.分解因式
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
（2）因式分解与整式乘法是互逆关系.
注意：因式分解与整式乘法的区别和联系:
①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式；
②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
2.提公共因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: ab＋ac＝a（b＋c）
（2）概念内涵:
①因式分解的最后结果应当是“积”；
②公因式可能是单项式,也可能是多项式；
③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）
3.运用公式法
（1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
（2）主要公式：
①平方差公式：
②完全平方公式:
(3)易错点：
因式分解要分解到底.如就没有分解彻底.
【典例】
例1（2020秋•绥中县期末）已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（ ）
A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
例2（2020春•温江区校级月考）因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝ ．
例3（2020春•常熟市期末）将下列各式分解因式：
（1）x2+2x﹣15；
（2）2x2y﹣8xy2+8y3；
（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2．
例4（2020春•江阴市期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）．请你分析一下a、b的值，并写出正确的因式分解过程．
【随堂练习】
1．（2020秋•西丰县期末）若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2020秋•肇州县期末）分解因式：
（1）x2（x﹣y）+（y﹣x）；
（2）3ax2﹣6axy+3ay2．
3．（2020春•海珠区校级期中）分解因式：
（1）ab2﹣4a；
（2）9（x﹣1）2﹣12（x﹣1）+4．
知识点6 分式
分式的有关概念及性质
1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
分式的运算
1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4．零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【典例】
例1（2020秋•嘉定区期末）在代数式2π，1+x5，-2x-1x2，3x-3中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2（2020秋•讷河市期末）若分式|x|-1x2-3x+2的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
例3（2020秋•镇原县期末）如果把分式3yx+y中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大6倍
例4（2020秋•鞍山期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．x2+y2x+y B．x2-y2x-y
C．x2-y2(x+y)2 D．2x+2y6x-6y
例5（2020春•沙坪坝区期末）分式13x2，512xy的最简公分母是（ ）
A．12x2y B．12x3y C．3x D．12xy
例6（2020春•江宁区月考）在(34)-2，(65)2，(67)0中，最大的数是（ ）
A．(34)-2 B．(65)2 C．(67)0 D．无法确定
例7（2020秋•西峰区期末）下列4个分式：①a+3a2+3；②x-yx2-y2；③m2m2n；④2m+1，中最简分式有 个．
例8（2020春•滨湖区期中）约分：
（1）12xy18x3y2；
（2）2m-8m2-16．
例9（2020秋•海淀区校级月考）计算：3a2+a（a2﹣a）÷a-1a．
例10（2020秋•高新区校级月考）已知x为整数，且3x+4+34-x+2x+32x2-16为整数，求所有符合条件的x的值．
例11（2020秋•沙河口区期末）计算：（1-mm+3）÷m2-9m2+6m+9．
例12（2020秋•齐河县期末）先化简，再求值：x-2x2-9•(1+2x-7x2-4x+4)÷x+1x+3，其中x＝2020．
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日期：2021/1/21 16:18:43；用户：饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：248966
【随堂练习】
1．（2020秋•道外区期末）下列式子中分式的是（ ）
A．x2 B．m+23 C．π3 D．1a2+1
2．（2020秋•新宾县期末）下列分式中一定有意义的是（ ）
A．x+1x2 B．x-1x2+1 C．xx2-1 D．x2x+1
3．（2020秋•虎林市期末）若分式|x|-2x+2的值为0，则x的值为（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．x＝2
4．（2020秋•香坊区期末）如果分式xyx+y中的x、y都扩大到原来的2倍，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．分式的值不变
B．分式的值缩小为原来的12
C．分式的值扩大为原来的2倍
D．分式的值扩大为原来的4倍
5．（2020春•江阴市期中）式子：12x2y，23x2，34xy2的最简公分母是（ ）
A．6 x2y2 B．12 x2y2 C．24 x2y2 D．24x2y2xy
6．（2020秋•南岗区期末）计算（﹣3）0﹣2﹣3的结果是（ ）
A．-18 B．78 C．6 D．7
7．（2020秋•武都区期末）当x＝ 时，分式x-22x+5无意义．
8．（2020秋•聊城期中）约分：
（1）24a12x3y218a6x3；
（2）ma+mb-mca+b-c；
（3）a2-4ab+4b2a2-4b2．
9．（2020秋•喀什地区期末）计算：（1-1x）÷x2-2x+1x．
10．（2020秋•道里区期末）计算：
（1）（1-1x）÷x-1x2；
（2）（1+3m-2）÷m2-1m2-4m+4•2m-22-m．
11．（2020秋•松江区期末）先化简，再求值：x2-2x-3x-2÷（x+2-5x-2），其中x=12．
综合运用
1．（2020秋•靖江市期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内．
﹣3，134，﹣0.25，|﹣12|，﹣359，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5.2|，206，0，-π2，21%，305，2.010010001…
分数集合{ …}；
负有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
2．（2020秋•达州期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．
（2）化简：|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|﹣|a|．
3．（2020春•丛台区校级月考）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值是（ ）
A．92+2 B．92-2 C．92+2或92-2 D．132
4．（2020秋•静安区月考）计算：8x2xy÷x3y×3y2x．
5．（2020秋•闵行区期中）先化简，再求值：[4(x+y)(x-y)+x+yxy(y-x)]÷x-yxy，其中x＝1，y＝2．
6．（2020秋•永吉县期末）某学生化简分式3(x-2)(x+1)-1x-2出现了错误，其解答过程如下：
原式=3(x-2)(x+1)-x+1(x-2)(x+1)（第一步）
=3-x+1(x-2)(x+1)（第二步）
=4-x(x+1)(x-2)．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
7．（2020秋•绥中县期末）计算与求值：
（1）计算：a2-b2a2+ab÷（a-2ab-b2a）．
（2）先化简再求值：[（3x+y）2﹣（3x﹣y）（3x+y）﹣2y2]÷2x2y2，其中x＝6，y=-12．
8．（2020秋•内江期中）仔细观察，探索规律：
（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝① （其中n为正整数，且n≥2）．
②（2﹣1）（2+1）＝ ；③（2﹣1）（22+2+1）＝ ；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝ ；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝ ；
（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？
（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？
9．（2020春•如东县校级月考）已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝ ；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
10．（2020秋•资中县期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必须写出解答过程）．
日期：2021/1/21 9:54:00；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626
第1讲 数与式
知识点1实数
无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
实数
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质
在实数范围内，正数和零统称为非负数.我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算，按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
6.平方根和立方根
【典例】
例1（2020秋•杭州期中）用序号将下列各数填入相应的集合内．
①-1112，②32，③-4，④0，⑤-0.4，⑥38，⑦-π4，⑧0.2⋅3⋅，⑨3.14
（1）整数集合{ …}；
（2）分数集合{ …}；
（3）无理数集合{ …}．
例2（2020秋•青山区期中）①12的平方根是 ；
②64的立方根是 ；
③32的倒数是 ．
例3（2020春•西乡塘区校级月考）如图，将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来．请在每个字母后面的空格填写对应的实数：-12，π，0，2，2，-3．
点A表示的数是 ；点B表示的数是 ；点O表示的数是 ；点C表示的数是 ；点D表示的数是 ；点E表示的数是 ．
例4（2020秋•沙坪坝区校级月考）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是 ．（填序号）
①ab＜0；②|a|＜|b|；③﹣a＞b；④a﹣b＞0．
例5（2020秋•海陵区期中）先在数轴上画出表示3、|﹣2|、﹣7、﹣3、﹣（﹣4.5）、312各数的点，再按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来．
例6 计算：﹣12+（7）0+cos45°+|1-2|．
【随堂练习】
1．（2020秋•江阴市期中）把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：
﹣2.5，3，﹣2020，-103，0.1010010001，﹣2.3⋅，0，﹣（﹣30%），π3，﹣|﹣4|
（1）正数集合：{ …}；
（2）无理数集合：{ …}；
（3）分数集合：{ …}；
（4）非正整数集合：{ …}．
2．（2020•成都模拟）已知实数a，b互为相反数，且|a+2b|＝1，b＜0，则b＝ ．
3．（2020•香洲区校级一模）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．|a﹣b|＜1 B．|a|＜|b|
C．|a+1|+|1﹣b|＝a﹣b D．ab＜0
4．（2020春•渝中区校级月考）已知x是整数，当|x-23|取最小值时，x的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2020秋•沈北新区期末）计算：2sin30°﹣4cos45°+|1﹣tan60°|．
知识点2 二次根式
二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2.二次根式的性质
（1）；
（2）；
（3）.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
5.二次根式的运算
① 乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法
积的算术平方根化简公式：
二次根式的除法
商的算术平方根化简公式：
②.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
【典例】
例1 （2020秋•汝阳县期末）无论x取任何实数，下列一定是二次根式的是（ ）
A．-x-2 B．x C．x2+2 D．x2-2
例2 （2020秋•温江区期末）-6、8、32、34中是最简二次根式的是 ．
例3 （2020秋•沙坪坝区校级月考）计算：245+545+5280．
例4 （2020秋•浦东新区月考）计算：24×412÷48．
例5 （2020春•珠海校级期中）你能找出规律吗？
（1）计算：4×9= ，4×9= ；16×25= ，16×25= ．
结论：4×9 4×9；16×25 16×25．（填“＞”，”＝”，“＜”）．
（2）请按找到的规律计算：
①5×20；
②123×935．
（3）已知：a=2，b=10，则40= （可以用含a，b的式子表示）．
例6 （2020秋•青羊区校级月考）已知x=5+3，y=5-3，求x2+xy+y2的值．
【随堂练习】
1．（2020春•荔湾区月考）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．a B．-2 C．a+2 D．a2+1
2．（2020秋•道外区期末）下列二次根式是最简二次根式的为（ ）
A．10 B．20 C．23 D．3.6
3．（2020秋•石鼓区校级月考）计算：(32+24-213)-(18-123)．
4．（2020春•庆云县期中）23÷223×25．
5．（2020秋•郓城县期中）已知x＝23-32，y＝23+32，求x2y+xy2的值．
6．（2020春•汶上县期末）【计算下列各式】
（1）4×9= ，4×9= ．
16×25= ，16×25= ．
【归纳发现】
（2）观察以上计算结果，尝试用含有字母a、b（其中，a≥0，b≥0）的式子表示发现的规律；
【实践应用】
（3）运用发现的规律进行计算：
①3×5．
②13×27．
知识点3代数式
1.代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.
注：单独一个字母或一个数也是代数式.
2.代数式的分类：
3.代数式的书写规则：
（1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写作“”或省略不写，字母之间的顺序可以交换，但一般按字母表中的先后顺序写.数字应在字母之前.如：不要写成
（2）在代数式中出现除法运算时，一般都变成分数和乘法来计算.如：写成
（3）代数式中，如果字母系数是分数，要写成假分数，不能写成带分数.如：不要写成
（4）代数式运算中结果是加减运算的式子，若需注明单位，那么必须用括号把代数式括起来，.
4.简单的代数式求值
1、求代数式的值的一般步骤：
（1）代入，将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号，原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原.
（2）计算，按照代数式指明的运算计算出结果，运算时应分清运算种类及运算的顺序，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行.
2、求代数式值的一般方法: (1)直接代入求值；(2)整体代入求值
3、对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值.
【典例】
例1（2020秋•玉田县期末）下列各式最符合代数式书写规范的是（ ）
A．112a B．ba C．3a﹣1个 D．a×3
例2（2020秋•武威期末）若a2+a+1＝0，则2a2+2a+2014的值是（ ）
A．2014 B．2015 C．2013 D．2012
例3 （2020秋•铁西区期末）下表中的数字是按一定规律填写的，则a+b＝（ ）
1
2
3
5
8
13
a
34
……
2
3
5
8
13
21
34
b
……
A．55 B．66 C．76 D．110
【随堂练习】
1．（2020秋•万州区校级期中）下列代数式的书写格式规范的是（ ）
A．123xyz B．a×b÷5+1 C．ab2 D．34ab
2．（2020秋•抚顺县期末）若x2﹣3x﹣2＝0，则2x2﹣6x+2020的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
3．（2020秋•涪城区校级期末）按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……第2020个单项式是（ ）
A．2020a B．﹣2020a C．a2020 D．﹣a2020
知识点4整式
1. 单项式：数与字母的乘积，叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式.
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数.
4. 多项式：几个单项式的和叫做多项式.
5. 多项式的项：多项式中每个单项式叫做多项式的项.
6. 常数项：在多项式中，不含字母的项叫做常数项.
7. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
8. 升幂排列：按某个字母的指数从小到大的顺序排列.
9. 降幂排列：按某个字母的指数从大到小的顺序排列.
10. 整式：单项式与多项式统称为整式.
11. 同类项：在多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
12. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项的运算叫做合并同类项；合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母不变.
13. 合并同类项的步骤：① 找同类;②同类项系数相加，字母部分不变;③不是同类项的项照抄为结果的一项.
14. 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反
15. 添括号法则：如果添括号的前面是正号，添括号后括号内各项符号不变；
如果添括号的前面是负号，添括号后括号内各项符号与以前的相反
整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
【典例】
例1（2020秋•绥中县期末）下列说法正确的是（ ）
A．单项式x的系数是0
B．单项式﹣32xy2的系数是﹣3，次数是5
C．多项式x2+2x的次数是2
D．单项式﹣5的次数是1
例2（2020秋•镇原县期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．x2﹣3x的项是x2，3x B．a+b3是单项式
C．12，πa，a2+1都是整式 D．3a2bc﹣2 是二次二项式
例3（2020秋•朝阳区期末）计算：14（12m+4）+2（m﹣1）．
例4（2020秋•松江区期末）计算：6a2（13ab﹣b2）﹣2a2b（a﹣b）．
例5（2020秋•崆峒区期末）计算：3a3b•（﹣2ab）÷（﹣3a2b）2．
例6（2020秋•广州期末）先化简，再求值：5（3m2n﹣mn2）﹣（mn2+3m2n）﹣4（3m2n﹣mn2），其中m＝﹣3，n=13．
例7（2020秋•朝阳区期末）若a+b＝5，ab＝3，
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
例8 （2020秋•吉林期末）计算：（3x+2）（3x﹣2）﹣x（5﹣3x）．
【随堂练习】
1．（2020秋•莫旗期末）下列说法中，不正确的是（ ）
A．﹣ab2c的系数是﹣1，次数是4
B．xy3-1是整式
C．6x2﹣3x+1的项是6x2、﹣3x，1
D．2πR+πR2是三次二项式
2．（2020秋•马山县期中）下列式子：x2+2，1a+4，3ab27，abc，﹣5x，0中，整式的个数有（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2020秋•松江区期末）计算：2x+（x+3y﹣1）﹣（4y﹣5）．
4．（2020秋•嘉定区期末）计算：2（a﹣b）2﹣（a+6b）（a﹣2b）．
5．（2020秋•喀什地区期末）计算：（m+2n）（m﹣2n）﹣（m﹣n）（m+8n）．
6．（2020秋•浦东新区期末）计算：（﹣6a2b2+3ab）÷ab+5ab．
7．（2020秋•昌图县期末）先化简，再求值：2x﹣3（x-13y2）+2（-12x+y2），其中x＝3，y＝﹣2．
8．（2020秋•延边州期末）计算：（23ab2﹣2ab）•12ab．
知识点5 因式分解
1.分解因式
（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
（2）因式分解与整式乘法是互逆关系.
注意：因式分解与整式乘法的区别和联系:
①整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式；
②因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.
2.提公共因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如: ab＋ac＝a（b＋c）
（2）概念内涵:
①因式分解的最后结果应当是“积”；
②公因式可能是单项式,也可能是多项式；
③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma＋mb－mc＝m（a＋b－c）
3.运用公式法
（1）如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.
（2）主要公式：
①平方差公式：
②完全平方公式:
(3)易错点：
因式分解要分解到底.如就没有分解彻底.
【典例】
例1（2020秋•绥中县期末）已知xy＝3，x﹣y＝﹣2，则代数式x2y﹣xy2的值是（ ）
A．6 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
例2（2020春•温江区校级月考）因式分解：m2﹣n2﹣2m+1＝ ．
例3（2020春•常熟市期末）将下列各式分解因式：
（1）x2+2x﹣15；
（2）2x2y﹣8xy2+8y3；
（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2．
例4（2020春•江阴市期中）甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9）．请你分析一下a、b的值，并写出正确的因式分解过程．
【随堂练习】
1．（2020秋•西丰县期末）若m﹣n＝﹣2，mn＝1，则m3n+mn3＝（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2020秋•肇州县期末）分解因式：
（1）x2（x﹣y）+（y﹣x）；
（2）3ax2﹣6axy+3ay2．
3．（2020春•海珠区校级期中）分解因式：
（1）ab2﹣4a；
（2）9（x﹣1）2﹣12（x﹣1）+4．
知识点6 分式
分式的有关概念及性质
1．分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
2.分式的基本性质
（M为不等于0的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
分式的运算
1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算 ，其中是整式，.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4．零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【典例】
例1（2020秋•嘉定区期末）在代数式2π，1+x5，-2x-1x2，3x-3中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例2（2020秋•讷河市期末）若分式|x|-1x2-3x+2的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
例3（2020秋•镇原县期末）如果把分式3yx+y中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大6倍
例4（2020秋•鞍山期末）下列各分式中，最简分式是（ ）
A．x2+y2x+y B．x2-y2x-y
C．x2-y2(x+y)2 D．2x+2y6x-6y
例5（2020春•沙坪坝区期末）分式13x2，512xy的最简公分母是（ ）
A．12x2y B．12x3y C．3x D．12xy
例6（2020春•江宁区月考）在(34)-2，(65)2，(67)0中，最大的数是（ ）
A．(34)-2 B．(65)2 C．(67)0 D．无法确定
例7（2020秋•西峰区期末）下列4个分式：①a+3a2+3；②x-yx2-y2；③m2m2n；④2m+1，中最简分式有 个．
例8（2020春•滨湖区期中）约分：
（1）12xy18x3y2；
（2）2m-8m2-16．
例9（2020秋•海淀区校级月考）计算：3a2+a（a2﹣a）÷a-1a．
例10（2020秋•高新区校级月考）已知x为整数，且3x+4+34-x+2x+32x2-16为整数，求所有符合条件的x的值．
例11（2020秋•沙河口区期末）计算：（1-mm+3）÷m2-9m2+6m+9．
例12（2020秋•齐河县期末）先化简，再求值：x-2x2-9•(1+2x-7x2-4x+4)÷x+1x+3，其中x＝2020．
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【随堂练习】
1．（2020秋•道外区期末）下列式子中分式的是（ ）
A．x2 B．m+23 C．π3 D．1a2+1
2．（2020秋•新宾县期末）下列分式中一定有意义的是（ ）
A．x+1x2 B．x-1x2+1 C．xx2-1 D．x2x+1
3．（2020秋•虎林市期末）若分式|x|-2x+2的值为0，则x的值为（ ）
A．2 B．0 C．﹣2 D．x＝2
4．（2020秋•香坊区期末）如果分式xyx+y中的x、y都扩大到原来的2倍，那么下列说法中，正确的是（ ）
A．分式的值不变
B．分式的值缩小为原来的12
C．分式的值扩大为原来的2倍
D．分式的值扩大为原来的4倍
5．（2020春•江阴市期中）式子：12x2y，23x2，34xy2的最简公分母是（ ）
A．6 x2y2 B．12 x2y2 C．24 x2y2 D．24x2y2xy
6．（2020秋•南岗区期末）计算（﹣3）0﹣2﹣3的结果是（ ）
A．-18 B．78 C．6 D．7
7．（2020秋•武都区期末）当x＝ 时，分式x-22x+5无意义．
8．（2020秋•聊城期中）约分：
（1）24a12x3y218a6x3；
（2）ma+mb-mca+b-c；
（3）a2-4ab+4b2a2-4b2．
9．（2020秋•喀什地区期末）计算：（1-1x）÷x2-2x+1x．
10．（2020秋•道里区期末）计算：
（1）（1-1x）÷x-1x2；
（2）（1+3m-2）÷m2-1m2-4m+4•2m-22-m．
11．（2020秋•松江区期末）先化简，再求值：x2-2x-3x-2÷（x+2-5x-2），其中x=12．
综合运用
1．（2020秋•靖江市期中）将下列数按要求分类，并将答案填入相应的括号内．
﹣3，134，﹣0.25，|﹣12|，﹣359，﹣（﹣1.5），﹣|﹣5.2|，206，0，-π2，21%，305，2.010010001…
分数集合{ …}；
负有理数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
2．（2020秋•达州期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b 0，c﹣a 0．
（2）化简：|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|﹣|a|．
3．（2020春•丛台区校级月考）已知实数a，b，c，d，e，f，且a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，f的算术平方根是8，求12ab+c+d5+e2+3f的值是（ ）
A．92+2 B．92-2 C．92+2或92-2 D．132
4．（2020秋•静安区月考）计算：8x2xy÷x3y×3y2x．
5．（2020秋•闵行区期中）先化简，再求值：[4(x+y)(x-y)+x+yxy(y-x)]÷x-yxy，其中x＝1，y＝2．
6．（2020秋•永吉县期末）某学生化简分式3(x-2)(x+1)-1x-2出现了错误，其解答过程如下：
原式=3(x-2)(x+1)-x+1(x-2)(x+1)（第一步）
=3-x+1(x-2)(x+1)（第二步）
=4-x(x+1)(x-2)．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
7．（2020秋•绥中县期末）计算与求值：
（1）计算：a2-b2a2+ab÷（a-2ab-b2a）．
（2）先化简再求值：[（3x+y）2﹣（3x﹣y）（3x+y）﹣2y2]÷2x2y2，其中x＝6，y=-12．
8．（2020秋•内江期中）仔细观察，探索规律：
（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4．
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝① （其中n为正整数，且n≥2）．
②（2﹣1）（2+1）＝ ；③（2﹣1）（22+2+1）＝ ；
④（2﹣1）（23+22+2+1）＝ ；⑤（2n﹣1+2n﹣2+…+2+1）＝ ；
（2）根据上述规律，求22019+22018+22017+…+2+1的个位数字是多少？
（3）根据上述规律，求29﹣28+27﹣…+23﹣22+2的值？
9．（2020春•如东县校级月考）已知多项式A＝x2+2x+n2，多项式B＝2x2+4x+3n2+3．
（1）若多项式x2+2x+n2是完全平方式，则n＝ ；
（2）已知x＝m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x＝﹣m时，该多项式的值为多少？
（3）判断多项式A与B的大小关系并说明理由．
10．（2020秋•资中县期中）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（1+x）+x（1+x）2
＝（1+x）[1+x+x（1+x）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3．
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，则需应用上述方法 次，结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必须写出解答过程）．
日期：2021/1/21 9:54:00；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626
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