人教版中考一轮复习 第2讲 方程（组）与不等式（组）--尖子班

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知识点1 一元一次方程
1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.
⑵ 性质：① 如果，那么b±c；② 如果，那么bc；如果，那么
2. 方程、一元一次方程的解、概念
(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0.
3. 解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.
4. 一元一次方程的应用：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
【典例】
例1（2020秋•虎林市期末）解下列方程：
（1）5x+2（3x﹣7）＝9﹣4（2+x）；
（2）x-14-2x+16=1．
【解答】解：（1）去括号，可得：5x+6x﹣14＝9﹣8﹣4x，
移项，合并同类项，可得：15x＝15，
系数化为1，可得：x＝1．
（2）去分母，可得：3（x﹣1）﹣2（2x+1）＝12，
去括号，可得：3x﹣3﹣4x﹣2＝12，
移项，合并同类项，可得：x＝﹣17．
【方法总结】
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
例2（2020秋•潮阳区期末）已知关于x的方程2（x+1）﹣m=-m-22的解比方程5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1的解大2．
（1）求第二个方程的解；
（2）求m的值．
【解答】解：（1）5（x﹣1）﹣1＝4（x﹣1）+1，
5x﹣5﹣1＝4x﹣4+1，
5x﹣4x＝﹣4+1+1+5，
x＝3；
（2）由题意得：方程2（x+1）﹣m=-m-22的解为x＝3+2＝5，
把x＝5代入方程2（x+1）﹣m=-m-22得：
2（5+1）﹣m=-m-22，
12﹣m=-m-22，
m＝22．
【方法总结】
此题主要考查了一元一次方程的解，关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
例3（2020秋•蓬江区校级月考）已知关于x的方程3x﹣6（x-b3）＝4x和3x+b4-1-5x8=1有相同的解，求这个解．
【解答】解：∵3x﹣6（x-b3）＝4x，
∴x=27b，
∵关于x的方程3x﹣6（x-b3）＝4x和3x+b4-1-5x8=1有相同的解，
∴把x=27b代入3x+b4-1-5x8=1得：
3×27b+b4-1-5×27b8=1，
解得：b=74，
将b=74代入第二个方程，
2（3x+b）﹣（1﹣5x）＝8，
11x＝9﹣2b，
11x＝9﹣2×74，
解得x=12．
【方法总结】
本题考查了同解方程，解决本题的关键是根据题意先求出b的值．
例4 （2020秋•抚顺县期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份绳长比水井深度多四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份绳长比水井深度多一尺，问绳长和井深各多少尺？若设绳长为x尺，同学们，请你们根据题意，列出方程，求出绳子的长度．
【解答】解：设绳长为x尺，
依题意得：13x﹣4=14x﹣1，
解得：x＝36．
答：绳子长36尺．
【方法总结】
本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
例5（2020秋•道里区期末）为满足防控新冠疫情的需要，某医务物品供应商欲购买一批疫情防护套装．现有甲、乙两个医用物品生产厂家，均标价每套防护套装80元．甲的优惠方案：购买物品一律九折；乙的优惠方案：如果超出600套，则超出的部分打八折．
（1）购进多少套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样？
（2）第一次购进了1000套，第二次购进的数量比第一次购进数量的2倍多100套，求医务用品供应商两次购进防护套装最少花多少钱？
【解答】解：（1）设购进x套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样，
由题意可得：0.9×80x＝80×（x﹣600）×0.8，
解得：x＝1200，
答：购进1200套防护套装时，从甲生产厂家与乙生产厂家的进货价钱一样；
（2）第一次，∵1000＜1200，
∴选甲生产厂家，80×1000×0.9＝72000（元），
第二次，∵1000×2+100＝2100（套），
∴选乙生产厂家，80×600+80×（2100﹣600）×0.8＝48000+96000＝144000（元），
∴72000+144000＝216000（元），
答：医务用品供应商两次购进防护套装最少216000元．
【方法总结】
本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•镇原县期末）解方程：
（1）3x+7＝32﹣2x；
（2）3+x2=2-1-2x6．
【解答】解：（1）移项，可得：3x+2x＝32﹣7，
合并同类项，可得：5x＝25，
系数化为1，可得：x＝5．
（2）去分母，可得：3（3+x）＝12﹣（1﹣2x），
去括号，可得：9+3x＝12﹣1+2x，
移项，合并同类项，可得：x＝2．
2．（2020秋•金安区校级期中）如果关于x的方程x-43=8-x+22的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，求a的值．
【解答】解：解方程x-43=8-x+22得：x＝10，
由题意：4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解为x＝10，
代入得：4×10﹣（3a+1）＝6×10+2a﹣1，
解得：a＝﹣4．
3．（2020秋•建湖县校级月考）已知关于x的一元一次方程1-x-mx3=0．
（1）若该方程的解为x＝1，求m的值；
（2）若该方程的解为正整数，求满足条件的所有整数m的值．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程1-x-mx3=0得：1-1-m3=0，
解得：3﹣（1﹣m）＝0，
3﹣1+m＝0，
m＝﹣2；
（2）1-x-mx3=0，
x-mx3=1，
x﹣mx＝3，
（1﹣m）x＝3，
x=31-m，
∵方程的解为正整数，
∴31-m＞0，
∴1﹣m＞0，
∴m＜1，
∵31-m为正整数，m为整数，
∴1﹣m＝3或1﹣m＝1，
解得：m＝﹣2或0．
4．（2020秋•新宾县期末）机械厂加工车间有68名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成1套，那么需要分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
【解答】解：设需要安排x名工人加工大齿轮，则需要安排（68﹣x）名工人加工小齿轮，依题意有
3×16x＝2×10（68﹣x），
解得x＝20，
68﹣x＝68﹣20＝48．
故需要安排20名工人加工大齿轮，需要安排48名工人加工小齿轮．
5．（2020秋•讷河市期末）某班级组织学生集体春游，已知班级总人数多于20人，其中有15名男同学，景点门票全票价为30元，对集体购票有两种优惠方案．
方案一：所有人按全票价的90%购票；
方案二：前20人全票，从第21人开始每人按全票价的80%购票；
（1）若共有35名同学，则选择哪种方案较省钱？
（2）当女同学人数是多少时，两种方案付费一样多？
【解答】解：（1）方案一收费为：35×30×90%＝945（元），
方案二收费为：20×30+（35﹣20）×30×80%＝960（元），
∵960＞945，
∴方案一更省钱；
（2）设女同学人数是x人时，两种方案付费一样多，由题意得
（15+x）×30×90%＝20×30+（15+x﹣20）×30×80%，
解得：x＝25，
答：当女同学人数是25人时，两种方案付费一样多．
知识点2 一元二次方程
1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式
.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为.
（1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.
（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即 .
（3）<0一元二次方程没有实数根.
4． 一元二次方程根与系数的关系
关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么
，.
【典例】
例1（2020秋•合肥期末）用适当的方法解方程
（1）2（x+2）2﹣8＝0
（1）2x2+x-12=0．
【解答】解：（1）（x+2）2＝4，
x+2＝±2，
所以x1＝0，x2＝﹣4；
（2）x2+12x=14，
x2+12x+116=14+116，
（x+14）2=516，
x+14=±54
所以x1=-1+54，x2=-1-54．
【方法总结】
本题考查了解一元二次方程﹣配方法法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
例2（2020秋•舞阳县期末）解方程
（1）x2﹣4x﹣1＝0
（2）2（x﹣1）2﹣16＝0．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x＝1，
配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，
开方得：x﹣2＝±5，
解得：x1＝2+5，x2＝2-5；
（2）方程整理得：（x﹣1）2＝8，
开方得：x﹣1＝±22，
解得：x1＝1+22，x2＝1﹣22．
【方法总结】
此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
例3 （2020秋•兰州期中）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4＝0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，即x﹣1＝1，解得x＝2；当y＝4时，即x﹣1＝4，解得x＝5，所以原方程的解为x1＝2，x2＝5．请利用这种方法求下列方程：
（1）（2x+5）2﹣（2x+5）﹣2＝0；
（2）32x﹣4×3x+3＝0．
【解答】解：（1）设2x+5＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣2＝0，
∴（y﹣2）（y+1）＝0，
解得y1＝2，y2＝﹣1．
当y＝2时，即2x+5＝2，解得x＝﹣1.5；
当y＝﹣1时，即2x+5＝﹣1，解得x＝﹣3，
所以原方程的解为x1＝﹣1.5，x2＝﹣3；
（2）原方程可变形为（3x）2﹣4×3x+3＝0，
设3x＝t，则原方程可化为t2﹣4t+3＝0，
解得t1＝1，t2＝3．
当t＝1时，即3x＝1，解得x＝0；
当t＝3时，即3x＝3，解得x＝1，
所以原方程的解为x1＝0，x2＝1．
【方法总结】
本题考查解一元二次方程，换元法解方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
例4（2020秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝m2，
∴x2﹣5x+6﹣m2＝0，
∴△＝25﹣4（6﹣m2）＝1+4m2＞0，
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，
则（1﹣3）×（1﹣2）＝m2，
2＝m2，
m＝±2，
原方程变形为x2﹣5x+4＝0，
设方程的另一个根为a，
则1×a＝4，
a＝4，
则方程的另一个根为4．
【方法总结】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac和一元二次方程的根与系数的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
例5（2020秋•昌图县期末）某商店将进价为10元的某种商品以14元售出，平均每天能售出220件．调查发现，这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少20件．该商店计划通过提高商品售价减少销售量的办法增加利润．
（1）若物价部门规定此种商品的每件利润不能超过进价的80%，且商店想要获得平均每天1080元的利润，则这种商品的售价应定为多少？
（2）该商店平均每天盈利能否为1200元？
【解答】解：（1）设这种商品的售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣10）元，日销售量为220﹣20（x﹣14）＝（500﹣20x）件，
依题意得：（x﹣10）（500﹣20x）＝1080，
整理得：x2﹣35x+304＝0，
解得：x1＝16，x2＝19．
∵10×（1+80%）＝18（元），16＜18＜19，
∴x＝16．
答：这种商品的售价应定为16元．
（2）设这种商品的售价应定为y元，则每件的销售利润为（y﹣10）元，日销售量为220﹣20（y﹣14）＝（500﹣20y）件，
依题意得：（y﹣10）（500﹣20y）＝1200，
整理得：y2﹣35y+310＝0．
∵△＝（﹣35）2﹣4×1×310＝﹣15＜0，
∴该方程无实数根，
∴该商店平均每天盈利不能为1200元．
【方法总结】
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当△＜0时，方程无实数根”．
【随堂练习】
1．（2020秋•富裕县期末）（1）请你用公式法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0；
（2）请你用因式分解法解方程：x2﹣3x+2＝0．
【解答】解：（1）∵2x2﹣4x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴△＝16+8＝24，
∴x=-b±b2-4ac2a=4±244=2±62，
x1=2+62或x2=2-62
（2）∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1或x2＝2．
2．（2020秋•秦淮区校级月考）解方程：
（1）x2﹣2x﹣3＝0；
（2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0；
（3）x2+4x﹣3＝0；
（4）x2﹣25x+5＝0．
【解答】解：（1）分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1；
（2）分解因式得：（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，
可得x﹣1＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4；
（3）方程整理得：x2+4x＝3，
配方得：x2+4x+4＝7，即（x+2）2＝7，
开方得：x+2＝±7，
解得：x1＝﹣2+7，x2＝﹣2-7；
（4）分解因式得：（x-5）2＝0，
解得：x1＝x2=5．
3．（2020秋•重庆期末）已知，关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）不解方程，判断此方程根的情况；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣2m2+8m﹣3的值．
【解答】解：（1）∵在方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0中，△＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4＞0，
∴方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（2）将x＝2代入原方程中，得：4﹣4m+m2﹣1＝0，
即m2﹣4m＝﹣3，
∴﹣2m2+8m﹣3＝﹣2（m2﹣4m）﹣3＝3．
4．（2020秋•大东区期末）新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件．
（1）若降价2元，则平均每天销售数量为 24 件；
（2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？
【解答】解：（1）20+2×2＝24（件）．
故答案为：24．
（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
当x＝20时，40﹣x＝20＜25，
∴x＝20舍去．
答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元．
5．（2020秋•法库县期末）2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？
【解答】解：（1）设月平均增长率为x，
依题意，得：1440（1+x）2＝2250，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是25%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出200+100y2=（200+50y）千克，
依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，
整理，得：y2﹣4y+3＝0，
解得：y1＝1，y2＝3．
∵要尽量减少库存，
∴y＝3．
答：售价应降低3元．
知识点3 分式方程
1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.
【典例】
例1（2020秋•绥中县期末）解下列方程：
（1）x2x-1+51-2x=2；
（2）xx-2-1=8x2-4．
【解答】解：（1）方程两边同时乘（2x﹣1），得：x﹣5＝2（2x﹣1），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2x﹣1≠0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣1；
（2）去分母得：x2+2x﹣x2+4＝8，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，x2﹣4＝0，
经检验x＝2是增根，
所以，原分式方程无解．
【方法总结】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
例2（2020春•百色期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：2x-3+mxx2-9=3x+3．
（1）若该分式方程有增根，则增根为 x1＝3，x2＝﹣3 ．
（2）在（1）的条件下，求出m的值，
【解答】解：（1）2x-3+mxx2-9=3x+3，
方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3；
（2）当x＝3时，m＝﹣4，
当x＝﹣3时，m＝6．
故m的值为﹣4或6．
【方法总结】
考查了分式方程的增根，（1）增根的求法：令最简公分母为0；（2）求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．
例3 （2020秋•河南期末）随着人们环保意识的增强，混动汽车也成了广大消费者的宠儿．某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地，若完全用油做动力行驶，则费用为70元；若完全用电做动力行驶，则费用为30元，已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.4元．
（1）求：汽车行驶中每千米用电费用是多少元？甲、乙两地的距离是多少千米？
（2）若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶，且所需费用不超过50元，则至少需要用电行驶多少千米？
【解答】解：（1）设汽车行驶中每千米用电费用是x元，则每千米用油费用为（x+0.4）元，
可得：70x+0.4=30x，
解得：x＝0.3，
经检验x＝0.3是原方程的解，
∴汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是30÷0.3＝100（千米）；
答：汽车行驶中每千米用电费用是0.3元，甲、乙两地的距离是100千米；
（2）汽车行驶中每千米用油费用为0.3+0.4＝0.7（元），
设汽车用电行驶ykm，
可得：0.3y+0.7（100﹣y）≤50，
解得：y≥50，
所以至少需要用电行驶50千米．
【方法总结】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
例4（2020秋•连山区期末）为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
【解答】解：（1）设A品牌口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，
依题意，得：7200x=2×5000x+0.7，
解得：x＝1.8，
经检验，x＝1.8是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.7＝2.5，
答：A品牌口罩每个进价为1.8元，B品牌口罩每个进价为2.5元．
（2）设购进B品牌口罩m个，则购进A品牌口罩（6000﹣m）个，
依题意，得：（2﹣1.8）（6000﹣m）+（3﹣2.5）m≥1800，
解得：m≥2000．
答：最少购进B品牌口罩2000个．
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【随堂练习】
1．（2020秋•连山区期末）解下列分式方程
（1）1a-1+a1-a=1．
（2）13-22x-1=16x-3．
【解答】解：（1）去分母得：1﹣a＝a﹣1，
解得：a＝1，
经检验a＝1是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：2x﹣1﹣6＝1，
解得：x＝4，
经检验x＝4是分式方程的解．
2．（2020春•姜堰区期中）已知关于x的分式方程2x-2+x+m2-x=2．
（1）若分式方程有增根，求m的值；
（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．
【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，
（1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m＝0；
（2）解得：x=6-m3，
根据分式方程的解为正数，得到6-m3＞0，且6-m3≠2，
解得：m＜6且m≠0．
3．（2020秋•道里区期末）甲、乙两个筑路队，甲队每天比乙队每天多筑路100米，甲队筑路18000米所用时间与乙队筑路15000米所用时间相等．
（1）求甲、乙两个筑路队每天各筑路多少米？
（2）甲、乙两个筑路队合作筑路30000米，若要求乙队筑路不超过30天，甲队至少筑路多少天？
【解答】解：（1）设甲筑路队每天筑路x米，则乙筑路队每天筑路（x﹣100）米，
由题意可得：18000x=15000x-100，
解得：x＝600，
经检验：x＝600是原方程的解，
∴x﹣100＝600﹣100＝500（米），
答：甲筑路队每天筑路600米，则乙筑路队每天筑路500米；
（2）设甲甲筑路a天，
由题意可得：30000-600a500≤30，
解得：a≥25，
答：甲队至少筑路25天．
4．（2020秋•道外区期末）某加工厂甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．
（1）求甲、乙每小时各做多少个零件；
（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种零件240个，由于乙另有任务，所以先由甲工作若干小时后，再由甲、乙共同完成剩余任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时．
【解答】解：（1）设乙每小时做x个零件，甲每小时做（x+6）个零件，
根据题意得：60x=90x+6，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x+6＝18．
答：乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件．
（2）设乙加工a小时，
由题意可得：12a+18×10≥240，
解得：a≥5，
答：乙至少加工5小时．
知识点4 方程组
(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.
(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.
(3)二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.
(4)二元一次方程组的解： 使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
(5) = 1 \* GB3 ①代入消元法、 = 2 \* GB3 ②加减消元法.
【典例】
例1（2020春•博白县期末）下列方程中是二元一次方程的是（ ）
A．x﹣5＝3B．x+1y=3C．x+y＝1D．xy＝3
【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C、该方程是二元一次方程，故本选项符合题意；
D、该方程是二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【方法总结】
此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
例2（2020秋•兰州期末）解方程组
（1）2x-5y=-3-4x+y=-3；
（2）4(x-y-1)=3(1-y)-2x2+y3=2；
【解答】解：（1）2x-5y=-3①-4x+y=-3②，
①×2+②得：﹣9y＝﹣9，
解得：y＝1，
把y＝1代入②得：x＝1，
则方程组的解为x=1y=1；
（2）方程组整理得：4x-y=5①3x+2y=12②，
①×2+②得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝3，
则方程组的解为x=2y=3．
【方法总结】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
例3（2020春•定州市校级期末）已知方程组5x-2y=3mx+5y=4与x-4y=-35x+ny=1有相同的解，求m和n值．
【解答】解：由已知可得5x-2y=3x-4y=-3，
解得x=1y=1，
把x=1y=1代入剩下的两个方程组成的方程组mx+5y=45x+ny=1，
得m+5=45+n=1，
解得m＝﹣1，n＝﹣4．
【方法总结】
解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力．
例4（2020秋•太原期末）某景点的门票价格如下表：
（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？
（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？
【解答】解：（1）设七年级1有x名学生，2班有y名学生，
由题意得：x+y=10248x+45y=4737，
解得：x=49y=53，
答：七年级1有49名学生，2班有53名学生；
（2）设八年级报名x人，九年级报名y人，
分两种情况：
①若x+y＜100，
由题意得：48x+45y=491445(x+y)=4452，
解得：x=154y≈-55，（不合题意舍去）；
②若x+y≥100，
由题意得：，48x+45y=491442(x+y)=4452，
解得：x=48y=58，符合题意；
答：八年级报名48人，九年级报名58人．
【方法总结】
本题主要考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意（2）要分两种情况作答．
例5（2020•越秀区校级二模）今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？
【解答】解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需y天，
由题意可得：1x+1y=13620x+40y=1，
解得：x=180y=45，
经检验，x＝180，y＝45是原方程组的解，
答：甲队单独完成此项工程需180天，乙队单独完成此项工程需45天；
（2）设甲队单独完成此项工程需a万元，乙队单独完成此项工程需b万元，
36×(a180+b45)=60020×a180+40×b45=550，
解得：a=1050b=487.5，
答：甲队单独完成此项工程需1050万元，乙队单独完成此项工程需487.5万元，
【方法总结】
此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．此题用到的公式是：工作量问题：工作效率＝工作量工作时间．
【随堂练习】
1．（2020春•雨花区校级期中）下列等式：①2x+y＝4；②3xy＝7；③x2+2y＝0；④1x-2＝y；⑤2x+y+z＝1，二元一次方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：①2x+y＝4是二元一次方程；
②3xy＝7是二元二次方程；
③x2+2y＝0是二元二次方程；
④1x-2＝y是分式方程；
⑤2x+y+z＝1是三元一次方程，
故选：A．
2．（2020秋•肃州区期末）解方程组：
（1）3x+2y=14x=y+3；
（2）x3-y4=13x-4y=2．
【解答】解：（1）3x+2y=14①x=y+3②，
将②代入①，得：3（y+3）+2y＝14，
解得：y＝1，
将y＝1代入②，得：x＝4，
则方程组的解为x=4y=1；
（2）原方程组整理为4x-3y=12①3x-4y=2②，
①×4﹣②×3，得：7x＝42，
解得：x＝6，
将x＝6代入①，得：24﹣3y＝12，
解得：y＝4，
则方程组的解为x=6y=4．
3．（2019春•大丰区期末）已知关于x、y的方程组4x+ay=162x+y=4b+2和3x+ay=132x-3y=-6的解相同，求a、b值．
【解答】解：方程4x+ay＝16和3x+ay＝13相减，得x＝3，
把x＝3代入方程2x﹣3y＝﹣6，得y＝4．
把x＝3，y＝4代入方程组4x+ay=162x+y=4b+2，得
12+4a=166+4=4b+2
解这个方程组，得
a＝1，b＝2．
4．（2020秋•普宁市期末）某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元．
（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？
（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？
【解答】解：（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，
依题意，得：6x+3y=60050×0.8x+40×0.75y=5200，
解得：x=40y=120．
答：打折前甲种商品每件40元，乙种商品每件120元．
（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）．
答：打折后购买这些商品比不打折可节省3640元．
知识点5不等式（组）
用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.
2．不等式的基本性质：
（1）若＜，则+＜；
（2）若＞，＞0则＞ （或 ＞ ）；
（3）若＞，＜0则 ＜ （或 ＜ ）.
3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax＞b或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.
4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集.
5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）
的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；
的解集是，即“大小小大中间找”；
的解集是空集，即“大大小小取不了”.
6．求不等式（组）的特殊解：
不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.
7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.
【典例】
例1（2020秋•肇源县期末）若0＜m＜1，m、m2、1m的大小关系是（ ）
A．m＜m2＜1mB．m2＜m＜1mC．1m＜m＜m2D．1m＜m2＜m
【解答】解：∵0＜m＜1，可得m2＜m，1m＞1，
∴可得：m2＜m＜1m．
故选：B．
【方法总结】
此题考查了不等式的性质及有理数的乘方，属于基础题，关键是掌握当0＜m＜1时，m的指数越大则数值越小，难度一般．
例2（2020秋•嵊州市期中）解不等式（组）并把解表示在数轴上
（1）3x+2＞14；
（2）1+x2-2x+13≤1．
【解答】解：（1）3x+2＞14，
3x＞14﹣2，
3x＞12，
x＞4，
表示在数轴上为：
（2）两边同时乘6得：3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，
去括号得：3+3x﹣4x﹣2≤6，
移项，合并同类项得﹣x≤5，
解得x≥﹣5，
表示在数轴上为：
．
【方法总结】
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
例3（2020春•海珠区校级月考）解下列不等式：
（1）2x﹣1＜﹣6；
（2）x-12＜4x-53；
（3）解不等式组：x-3(x-2)≥41+2x3＞x-1，并在数轴上表示它的解集．
【解答】解：（1）移项得：2x＜﹣6+1，
合并得：2x＜﹣5，
解得：x＜﹣2.5；
（2）去分母得：3（x﹣1）＜2（4x﹣5），
去括号得：3x﹣3＜8x﹣10，
移项得：3x﹣8x＜﹣10+3，
合并得：﹣5x＜﹣7，
解得：x＞1.4；
（3）x-3(x-2)≥4①1+2x3＞x-1②，
由①得：x≤1，
由②得：x＜4，
解得：x≤1．
【方法总结】
此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
例4（2020秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）班主任决定再次购买甲、乙两种笔记本共35个，如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多需要购买多少个甲种笔记本？
【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，
由题意可得：15x+20y=25010x+25y=225，
解得：x=10y=5，
答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；
（2）设需要购买a个甲种笔记本，
由题意可得：10a+5（35﹣a）≤300，
解得：a≤25，
答：至多需要购买25个甲种笔记本．
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找出正确的数量关系是本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•萧山区期中）解下列不等式
（1）3x﹣4≤4+2（x﹣2）；
（2）2+x3＞2x-15+1
【解答】解：（1）去括号得，3x﹣4≤4+2x﹣4，
移项得，3x﹣2x≤4﹣4+4，
合并同类项，得x≤4；
（2）去分母，得5（2+x）＞3（2x﹣1）+15，
去括号，得10+5x＞6x﹣3+15，
移项，得5x﹣6x＞﹣3+15﹣10，
合并同类项，得﹣x＞2，
∴x＜﹣2．
2．（2020秋•江干区校级期中）求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来．
5x-2＞3(x+1)x-12≤1-1-x3
【解答】解：解不等式5x﹣2＞3（x+1），得：x＞52，
解不等式x-12≤1-1-x3，得：x≤7，
则不等式组的解集为52＜x≤7，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
3．（2020春•沙河口区期末）为了让居民早日用上天然气，市燃气公司要给某小区用户改装天然气．现有360户申请了但还未改装的用户，此外每天还有新的申请．已知燃气公司每个小组每天改装的数量相同，且每天新申请的户数也相同，若安排2个小组同时做，则30天可以改装完所有新、旧申请；若再增加3个小组同时做，则可以减少20天就改装完所有新、旧申请．
（1）求该小区7天内有多少需要改装的新、旧申请用户？
（2）如果要求在7天内改装完所有新、旧申请，但前3天只能安排4个小组改装，那么最后几天至少需要增加多少个小组，才能完成任务？
【解答】解：（1）设每天申请用户数为x户，安装小组每天安装量为y户，依题意得：
30×2y=360+30x10×5y=360+10x，
解得x=4y=8，
360+7×4＝388（户）．
故该小区7天内有388需要改装的新、旧申请用户；
（2）设最后几天需要增加a个小组，依题意得：
3×8×4+4×8（a+4）≥388，
解得a≥5.125，
∵a为整数，
∴a≥6的整数．
故最后几天至少需要增加6个小组，才能完成任务．
4．（2020•广西）某市为创建“全国文明城市”，计划购买甲、乙两种树苗绿化城区，购买50棵甲种树苗和20棵乙种树苗需要5000元，购买30棵甲种树苗和10棵乙种树苗需要2800元．
（1）求购买的甲、乙两种树苗每棵各需要多少元．
（2）经市绿化部门研究，决定用不超过42000元的费用购买甲、乙两种树苗共500棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的14，求甲种树苗数量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，如何购买树苗才能使总费用最低？
【解答】解：（1）设购买的甲种树苗的单价为x元，乙种树苗的单价为y元．依题意得：
50x+20y=500030x+10y=2800，
解这个方程组得：x=60y=100，
答：购买的甲种树苗的单价是60元，乙种树苗的单价是100元；
（2）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，由题意得，
60a+100(500-a)≤42000500-a≥14a，
解得，200≤a≤400．
∴甲种树苗数量a的取值范围是200≤a≤400．
（3）设购买的甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（500﹣a）棵，总费用为W，
∴W＝60a+100（500﹣a）＝50000﹣40a．
∵﹣40＜0，
∴W值随a值的增大而减小，
∵200≤a≤400，
∴当x＝400时，W取最小值，最小值为50000﹣40×400＝34000元．
即购买的甲种树苗400棵，购买乙种树苗100棵，总费用最低．
综合运用
1．（2020秋•常熟市期中）若关于x的方程x+m3=x-m2与方程3+4x＝2（3﹣x）的解互为倒数，求m的值．
【解答】解：解方程3+4x＝2（3﹣x）得：x=12，
∵关于x的方程x+m3=x-m2与方程3+4x＝2（3﹣x）的解互为倒数，
∴把x＝2代入方程x+m3=x-m2得：2+m3=2-m2，
解得：m=85．
2．（2020秋•武都区期末）解方程：
（1）x-12=4x3；
（2）5x+13-2x-16=1．
【解答】解：（1）去分母，可得：3（x﹣1）＝4x×2，
去括号，可得：3x﹣3＝8x，
移项，合并同类项，可得：5x＝﹣3，
系数化为1，可得：x＝﹣0.6．
（2）去分母，可得：2（5x+1）﹣（2x﹣1）＝6，
去括号，可得：10x+2﹣2x+1＝6，
移项，合并同类项，可得：8x＝3，
系数化为1，可得：x=38．
3．（2020秋•武汉月考）解不等式组3-2(x-1)＜3x1-x-13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
【解答】解：3-2(x-1)＜3x①1-x-13≥0②，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤4，
所以不等式组的解集为：1＜x≤4．
在数轴上表示为：
．
不等式组的整数解有2，3，4．
4．（2020秋•白云区期中）已知方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
【解答】（1）证明：△＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4．
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x＝2代入原方程得：22﹣2（k+1）+k﹣1＝0，
解得：k＝1，
∴原方程为x2﹣2x＝0．
∴方程的另一个根＝2﹣2＝0．
5．（2020秋•朝阳县期末）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？
【解答】解：（1）设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1﹣x）2＝100，
等号两边同除以144得：（1﹣x）2=100144
两边开方得：1﹣x＝±100144=±56，
所以x1=116＞1（不合题意，舍去），x2=16≈16.67%．
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）设单价降价y元，
则每天的销售量是（20+2y）台，
根据题意得：（140﹣100﹣y）（20+y5×10）＝1250，
整理得：y2﹣30y+225＝0，
解得：y1＝y2＝15．
答：单价应降15元．
6．（2020秋•鞍山期末）假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院．
（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．
（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？
【解答】解：（1）设大车速度为x千米/时，
由题意，得1401.4x+1=140x，
解得x＝40，经检验x＝40是方程的解，
∴1.4x＝56（千米/时）．
∴大车得速度是40千米/时，小车得速度是56千米/时；
（2）设原速度为a千米/时，小车后来提速到原来得m倍，
则80a=200ma，
解得m＝2.5，且符合题意．
答：应提速到原来的2.5倍．
7．（2020秋•本溪期末）某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：
（1）求x，y的值；
（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．
【解答】解：（1）根据题意得：3x+10y=96x+18y=17.4，
解得：x=2y=0.3．
答：x，y的值分别为：2；0.3．
（2）8×2+（23﹣8）×（2+0.6）+30×0.3＝64（元）．
答：小强需支付64元车费．
8．（2020秋•长沙月考）我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？
【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价是x元，则垃圾箱的单价是3x元，
依题意得：4×3x﹣5x＝350，
解得：x＝50，
∴3x＝150．
答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元．
（2）设购买温馨提示牌m个，则购买垃圾桶（3000﹣m）个，
依题意得：50m+150(3000-m)≤3500003000-m≥1.5m，
解得：1000≤m≤1200．
又∵m为正整数，1200﹣1000+1＝201，
∴共有201种可供选择的方案．
设总费用为w元，则w＝50m+150（3000﹣m）＝﹣100m+450000，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝1200时，w取得最小值，最小值＝﹣100×1200+450000＝330000（元），330000元＝33万元．
答：共有201种可供选择的方案，当购买1200个温馨提示牌、1800个垃圾桶时，所需总费用最少，最少费用为33万元．
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日期：2021/1/21 17:54:18；用户：广饶数学；邮箱：chayin5@xyh.cm；学号：24896626
购票人数（人）
1～50
51～99
100以上（含100）
门票单价（元）
48
45
42
里程数（千米）
时间（分钟）
车费（元）
小聪
3
10
9
小明
6
18
17.4