人教版中考一轮复习 第2讲 方程（组）与不等式（组）--提高班

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第2讲 方程（组）与不等式（组）

知识点1 一元一次方程
1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.
⑵ 性质：① 如果，那么b±c；② 如果，那么bc；如果，那么
2. 方程、一元一次方程的解、概念
(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.
(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0.
3. 解一元一次方程的步骤：
①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.
4. 一元一次方程的应用：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
【典例】
例1（2020秋•肃州区期末）解方程：
（1）5+3x＝8+2x；
（2）x-12=1-3x+25．
【解答】解：（1）移项，可得：3x﹣2x＝8﹣5，
合并同类项，可得：x＝3．

（2）去分母，可得：5（x﹣1）＝10﹣2（3x+2），
去括号，可得：5x﹣5＝10﹣6x﹣4，
移项，可得：5x+6x＝10﹣4+5，
合并同类项，可得：11x＝11，
系数化为1，可得：x＝1．
【方法总结】
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
例2（2020春•碑林区校级月考）已知关于y的方程y+a2=2y-a3的解比关于x的方程3a﹣x=x2+3的解小3，求a的值．
【解答】解：解方程y+a2=2y-a3得，y＝5a，解方程3a﹣x=x2+3得，x＝2a﹣2，
∵关于y的方程y+a2=2y-a3的解比关于x的方程3a﹣x=x2+3的解小3，
∴5a+3＝2a﹣2，
解得a=-53．
【方法总结】
本题考查的是一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解是解答此题的关键．
例3（2020秋•永吉县期末）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种水果共140千克，这两种水果的进价、售价如下表所示：

进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种水果
5
8
乙种水果
9
13
（1）这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店把这两种水果全部售完，则可获利多少元．
【解答】解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意得：5x+9（140﹣x）＝1000，
解得：x＝65，
∴140﹣x＝75．
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）（8﹣5）×65+（13﹣9）×75＝495（元）
答：利润为495元．
【方法总结】
本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
例4（2020秋•玉田县期末）为庆祝元旦，学校准备举行七年级合唱比赛，现由各班班长统一购买服装，服装每套60元，服装制造商给出的优惠方案是：30套以上的团购有两种优惠方案可选择，方案一：全部服装可打8折；方案二：若打9折，有5套可免费．
（1）七年（1）班有46人，该选择哪个方案更划算？
（2）七年（2）班班长思考一会儿，说：“我们班无论选择哪种方案，要付的钱是一样的．”你知道七年（2）班有多少人吗？
【解答】解：（1）由题意可得，
方案一的花费为：60×46×0.8＝2208（元），
方案二的花费为：60×0.9×（46﹣5）＝2214（元），
∵2208＜2214，
∴七年（1）班有46人，该选择方案一更划算，
即七年（1）班有46人，该选择方案一更划算；
（2）设七年（2）班x人，
60×0.8x＝60×0.9×（x﹣5），
解得x＝45，
答：七年（2）班有45人．
【方法总结】
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．
【随堂练习】
1．（2020秋•南岗区校级月考）已知x＝﹣2是关于x的方程﹣3x＝﹣mx+4的解，求：（m2﹣19m+17）99的值．
【解答】解：把x＝﹣2代入方程﹣3x＝﹣mx+4得：﹣3×（﹣2）＝﹣m×（﹣2）+4，
解得：m＝1，
原式＝（1﹣19+17）99＝（﹣1）99＝﹣1．
2．（2020秋•西丰县期末）解方程：
（1）5x﹣6＝3x﹣4；
（2）5x+x-13=2-3x-12．
【解答】解：（1）移项，可得：5x﹣3x＝﹣4+6，
合并同类项，可得：2x＝2，
系数化为1，可得：x＝1．

（2）去分母，可得：30x+2（x﹣1）＝12﹣3（3x﹣1），
去括号，可得：30x+2x﹣2＝12﹣9x+3，
移项，合并同类项，可得：41x＝17，
系数化为1，可得：x=1741．
3．（2020秋•大新县期中）方程x-62=-6与关于x的方程x2+m3=x﹣4的解相同，求m的值．
【解答】解：去分母得x﹣6＝﹣12，
移项合并得x＝﹣6，
把x＝﹣6代入方程x2+m3=x﹣4中，得-62+m3=-6﹣4，
解得：m＝﹣21，
答：m的值是﹣21．
4．（2020秋•新疆期末）某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母，1个螺柱需要2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
【解答】解：（1）设调入x名工人，
根据题意得：16+x＝3x+4，
解得：x＝6，
则调入6名工人；
（2）16+6＝22（人），
设y名工人生产螺柱，
根据题意得：2×1200y＝2000（22﹣y），
解得：y＝10，
22﹣y＝22﹣10＝12（人），
则10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母．
5．（2020秋•吉林期末）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作．书中记载这样一个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这个问题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？
【解答】解：设有x辆车，则有（2x+9）人，
依题意得：3（x﹣2）＝2x+9．
解得，x＝15．
∴2x+9＝2×15+9＝39（人）
答：有39人，15辆车．
知识点2 一元二次方程
1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是.其中叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项；a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式
.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为.
（1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即.
（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即 .
（3）<0一元二次方程没有实数根.
4． 一元二次方程根与系数的关系
关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么
，.
【典例】
例1（2020秋•乌苏市月考）已知方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，求m的值．
【解答】解：∵方程（m+4）x|m|﹣2+8x+1＝0是一元二次方程，
∴m+4≠0且|m|﹣2＝2，
解得：m＝4．
【方法总结】
本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m+4≠0和|m|﹣2＝2是解此题的关键．
例2（2020秋•五常市期末）解方程：2x2+8x﹣1＝0．
【解答】解：2x2+8x﹣1＝0，
x2+4x=12，
x2+4x+4=12+4，即（x+2）2=92，
∴x+2＝±322，
则x1＝﹣2+322，x2＝﹣2-322．
【方法总结】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
例3（2020秋•昌图县期末）用适当的方法解下列一元二次方程．
（1）2x（x﹣1）＝3（x﹣2）+3；
（2）（3x﹣1）2＝4（x+3）2．
【解答】解：（1）∵2x（x﹣1）＝3（x﹣2）+3，
∴2x（x﹣1）＝3（x﹣1），
∴（x﹣1）（2x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2=32．
（2）方程变形为：（3x﹣1）2﹣4（x+3）2＝0，
∴（3x﹣1+2x+6）（3x﹣1﹣2x﹣6）＝0，
∴（x+1）（x﹣7）＝0，
∴x+1＝0或x﹣7＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝7．
【方法总结】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
例4（2020•黄石模拟）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，
解得：k＞34；
（2）∵k＞34，
∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，
又∵x1•x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1，
∵|x1|+|x2|＝x1•x2，
∴2k+1＝k2+1，
∴k1＝0，k2＝2，
又∵k＞34，
∴k＝2．
【方法总结】
此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2=-ba；（5）x1•x2=ca．
例5（2020秋•鞍山期末）如图，要设计一个长为15cm，宽为10cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为5：4，若使所有彩条所占面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

【解答】解：设每个横彩条的宽度为5xcm，则每个竖彩条的宽度为4xcm，
依题意得：（15﹣2×5x）（10﹣2×4x）＝15×10×（1-13），
整理得：8x2﹣22x+5＝0，
解得：x1=52，x2=14，
当x=52时，10﹣2×4x＝﹣10＜0，不合题意，舍去；
当x=14时，10﹣2×4x＝8＞0，符合题意，
∴5x=54，4x＝1．
答：每个横彩条的宽度为54cm，每个竖彩条的宽度为1cm．
【方法总结】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
例6（2020秋•兰州期末）某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出2辆．该4S店要想平均每周的销售利润为96万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？
【解答】解：设每辆汽车的定价应为x元，则每辆的销售利润为（x﹣15）万元，平均每周的销售量为8+2（25﹣x）＝（58﹣2x）辆，
依题意得：（x﹣15）（58﹣2x）＝96，
整理得：x2﹣44x+483＝0，
解得：x1＝21，x2＝23．
又∵为使成本尽可能的低，
∴x＝23．
答：每辆汽车的定价应为23万元．
【方法总结】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•舞钢市期末）解方程．
（1）﹣3x2﹣4x+4＝0；
（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2．
【解答】解：（1）∵a＝﹣3，b＝﹣4，c＝4，
∴b2﹣4ac＝16﹣4×（﹣3）×4＝64＞0，
∴x=-b±b2-4ac2a=4±642×(-3)=2±4-3，
∴x1＝﹣2，x2=23；
（2）x2﹣6x+9＝（2x﹣1）2，
x2﹣6x+9＝4x2﹣4x+1，
3x2+2x﹣8＝0，
（3x﹣4）（x+2）＝0，
解得x1=43，x2＝﹣2．
2．（2020秋•白云区校级期中）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k+8）x+8＝0．
（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形的一边长为4，另两边长恰好是这个方程的两个根，求此时的k值．
【解答】解：（1）△＝（k+8）2﹣32k
＝k2+16k+64﹣32k
＝k2﹣16k+64
＝（k﹣8）2≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根．
（2）当三角形的腰长为4时，设底边为a，
∴x＝4是kx2﹣（k+8）x+8＝0的一根，
∴16k﹣4（k+8）+8＝0，
∴16k﹣4k﹣32+8＝0，
∴k＝2，
∴由根与系数的关系可知：4a=8k，
∴a＝1，
此时1+4＞4，能够组成三角形，满足题意，
∴当底边为4时，设腰长为a，
∴kx2﹣（k+8）x+8＝0有两个相同的根，
∴△＝（k+8）2﹣32k＝0，
∴k＝8，
∴该方程的解为：x＝1．
∴1+1＜4，不能组成三角形，
综上所述，k＝2．
3．（2020秋•沈河区期末）某地区2018年投入教育经费2000万元，2020年投入教育经费2880万元．
（1）求2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021年该地区将投入教育经费多少万元．
【解答】解：（1）设2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，
依题意得：2000（1+x）2＝2880，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：2018年至2020年该地区投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）2880×（1+20%）＝3456（万元）．
答：预计2021年该地区将投入教育经费3456万元．
4．（2020秋•兴城市期末）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某快递公司今年6月份与8月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率．
（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递小哥，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加人手的情况下，该公司能否完成今年9月份的投递任务．
【解答】解：（1）设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x，
依题意，得：10（1+x）2＝12.1，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%．
（2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），
0.8×16＝12.8（万件）．
∵13.31＞12.8，
∴在不增加人手的情况下，该公司不能完成今年9月份的投递任务．

知识点3 分式方程
1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.
2．解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
3. 用换元法解分式方程的一般步骤：
① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.
4．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.
【典例】
例1 （2020秋•齐齐哈尔期末）解方程：21+x-31-x=6x2-1．
【解答】解：方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得
2（x﹣1）+3（x+1）＝6，
解得x＝1．
检验：把x＝1代入（x+1）（x﹣1）＝0．
x＝1是原方程的增根，
∴原方程无解．
【方法总结】
本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
例2（2020春•徐汇区期末）用换元法解方程x2-1x+xx2-1=3时，如果设x2-1x=y时，那么得到关于y的整式方程为　y2﹣3y+1＝0　．
【解答】解：设x2-1x=y，则原方程可化为：y+1y=3，
去分母，可得y2+1＝3y，
即y2﹣3y+1＝0，
故答案为：y2﹣3y+1＝0．
【方法总结】
本题考查用换元法解分式方程的能力．用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，再将分式方程可化为整式方程．
例3（2020秋•荷塘区校级期中）已知关于x的分式方程4x+1+3x-1=kx2-1．
（1）若方程有增根，求k的值．
（2）若方程的解为负数，求k的取值范围．
【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，
将x＝1代入整式方程得：k＝6，
将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，
则k的值为6或﹣8．
（2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k，
去括号合并得：7x﹣1＝k，即x=k+17，
根据题意得：k+17＜0，且k+17≠1且k+17≠-1，
解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．
【方法总结】
此题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，弄清题意是解本题的关键．
例4（2020秋•安定区期末）城镇老旧小区改造是重大民生工程和发展工程；安定区积极响应党的号召，全面推进城区老旧小区改造工作．现计划对城区某小区的居民自来水管道进行改造；该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为3500元，乙队每天的施工费用为2500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【解答】解：（1）设该项工程的规定时间是x天，
由题意得：(1x+11.5x)×15+5x=1，
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：该项工程的规定时间是30天．
（2）甲、乙队合做完成所需的天数为：1÷(130+11.5×30)=18(天)．
则该工程施工费用是：18×（3500+2500）＝108000（元）．
答：该工程施工费用为108000元．
【方法总结】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
例5（2020秋•香坊区期末）某商厦利用8000元的资金购进一批运动服，面市后供不应求．于是，商厦再次利用17600元购进同样的运动服，第二批购进的数量是第一批购进数量的2倍，且每套运动服的进价比第一批多4元，商厦销售运动服时每套的预售价都是58元．
（1）求第一批运动服的进价为每套多少元？
（2）按预售价销售一段时间后，根据市场的实际情况，商厦决定将剩余部分运动服打五折销售，要使销售这两批运动服的总利润不少于6300元，商厦打折销售的该运动服至多为多少套？
【解答】解：（1）设第一批运动服的进价为每套x元，则第二批运动服的进价为每套（x+4）元，
依题意得：8000x×2=17600x+4，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意．
答：第一批运动服的进价为每套40元．
（2）第一批购进运动服的数量为8000÷40＝200（套），
第二批购进运动服的数量为200×2＝400（套）．
设商厦打折销售的该运动服为m套，
依题意得：58（200+400﹣m）+58×0.5m﹣8000﹣17600≥6300，
解得：m≤100．
答：商厦打折销售的该运动服至多为100套．
【方法总结】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【随堂练习】
1．（2020春•松江区期末）用换元法解方程xx-2-2x-4x=1时，如果设xx-2=y，那么原方程可化为关于y的整式方程是　y2﹣y﹣2＝0　．
【解答】解：设xx-2=y，
原式可转化为y-2y-1＝0．
整理，得y2﹣y﹣2＝0．
故答案为：y2﹣y﹣2＝0．
2．（2020秋•延边州期末）解方程：3xx-2+42-x=1．
【解答】解：去分母得：3x﹣4＝x﹣2，
移项、合并同类项得：2x＝2，
系数化为1得：x＝1．
经检验x＝1是原分式方程的根．
3．（2020秋•赫山区期中）若关于x的分式方程2m-1x-1-7xx-1=5有增根，求m的值．
【解答】解：去分母得：2m﹣1﹣7x＝5x﹣5，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：m＝4．

4．（2020秋•松北区期末）哈尔滨市松北新区某中学去年购买了一批图书，其中A类书的单价比B类书的单价多4元，用1200元购买的A类书与用800元购买的B类书数量相等．
（1）求去年购买的B类书和A类书的单价各是多少元？
（2）若今年B类书的单价比去年提高了25%，A类书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买A类书和B类书共200本，且购买A类书和B类书的总费用不超过2300元，这所中学今年至少要购买多少本B类书？
【解答】解：（1）设去年购买的B类书的单价为x元，则A类书的单价为（x+4）元，
依题意得：1200x+4=800x，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝12．
答：去年购买的A类书的单价为12元，B类书的单价为8元．
（2）设这所中学今年要购买m本B类书，则要购买（200﹣m）本A类书，
依题意得：12（200﹣m）+8×（1+25%）m≤2300，
解得：m≥50．
答：这所中学今年至少要购买50本B类书．
知识点4 方程组
(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.
(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.
(3)二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.
(4)二元一次方程组的解： 使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
(5)①代入消元法、②加减消元法.
【典例】
例1（2020秋•开福区校级月考）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x﹣y＝1 B．xy+2y＝3 C．π+2x＝5 D．1x+y＝4
【解答】解：A、符合二元一次方程的定义，故此选项符合题意；
B、含有未知数的项的最高次数为2，是二元二次方程，故此选项不合题意；
C、是一元一次方程，故此选项不合题意；
D、不是整式方程，故此选项不合题意．
故选：A．
【方法总结】
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．
例2（2020秋•金塔县期末）解方程组：
（1）x+y=4y=2x+1；
（2）4x-3y=112x+y=13．
【解答】解：（1）x+y=4①y=2x+1②，
把②代入①得：x+2x+1＝4，
解得：x＝1，
把x＝1代入②得：y＝3，
∴原方程组的解为 x=1y=3．

（2）4x-3y=11①2x+y=13②，
①+②×3，可得10x＝50，
解得x＝5，
把x＝5代入①，解得y＝3，
∴原方程组的解为x=5y=3．
【方法总结】
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
例3（2019春•利津县期末）已知关于x，y的方程组3x-y=54ax+5by=-22和2x+3y=-4ax-by=8有相同解，求（﹣a）b值．
【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为
3x-y=52x+3y=-4，4ax+5by=-22ax-by=8
解方程组（1）得x=1y=-2，
代入（2）得4a-10b=-22a+2b=8，
解得：a=2b=3．
所以（﹣a）b＝（﹣2）3＝﹣8．
【方法总结】
此题比较复杂，考查了学生对方程组有公共解定义的理解能力及应用能力，是一道好题．
例4（2020秋•兰州期末）某体育器材店有A、B两种型号的篮球，已知购买3个A型号篮球和2个B型号篮球共需310元，购买2个A型号篮球和5个B型号篮球共需500元．
（1）A、B型号篮球的价格各是多少元？
（2）某学校在该店一次性购买A、B型号篮球共96个，总费用为5700元，这所学校购买了多少个B型号篮球？
【解答】解：（1）设A型号篮球的价格为x元，B型号的篮球的价格为y元，
依题意得：3x+2y=3102x+5y=500，
解得：x=50y=80．
答：A型号篮球的价格为50元、B型号篮球的价格为80元．
（2）设这所学校买了m个A型号篮球，买了n个B型号篮球，
依题意得：m+n=9650m+80n=5700，
解得：m=66n=30．
答：这所学校购买了30个B型号篮球．
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2020春•南岗区校级月考）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．y＝1 B．x＝2y+1 C．xy=1 D．x+y2＝0
【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项不合题意；
B、符合二元一次方程的定义，故此选项符合题意；
C、不是整式方程，故此选项不合题意；
D、含有未知数的项的最高次数为2，是二元二次方程，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（2020秋•九龙县期末）解下列方程组：
（1）x+y=13x-y=7；
（2）2x+3y=15x+17=y+45．
【解答】解：（1）x+y=1①3x-y=7②；
①+②，可得4x＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入①，解得y＝﹣1，
∴原方程组的解是x=2y=-1．

（2）由2x+3y=15x+17=y+45，
可得：2x+3y=15①5x-7y=23②，
①×7+②×3，可得29x＝174，
解得x＝6，
把x＝6代入①，解得y＝1，
∴原方程组的解是x=6y=1．
3．（2020秋•建平县期末）列二元一次方程组解应用题：
某大型超市投入15000元资金购进A、B两种品牌的矿泉水共600箱，矿泉水的成本价和销售价如下表所示：（1）该大型超市购进A、B品牌矿泉水各多少箱？
（2）全部销售完600箱矿泉水，该超市共获得多少利润？
类别/单价
成本价（元/箱
销售价（元/箱）
A品牌
20
32
B品牌
35
50
【解答】解：（1）设该超市进A品牌矿泉水x箱，B品牌矿泉水y箱，
依题意，得：x+y=60020x+35y=15000，
解得：x=400y=200．
答：该超市进A品牌矿泉水400箱，B品牌矿泉水200箱．
（2）400×（32﹣20）+200×（50﹣35）＝7800（元）．
答：该超市共获利润7800元．
4．（2020秋•肃州区期末）喜迎元旦，某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共100个，花去3300元，这两种吉祥物的进价、售价如下表：

进价（元/个）
售价 （元/个）
冰墩墩
30
40
雪容融
35
50
（1）求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
（2）如果销售完100个吉祥物所得的利润，全部捐赠，那么，该玩具店捐赠了多少钱？
【解答】解：（1）设冰墩墩进x个，雪容融进了y个，
由题意可得：30x+35y=3300x+y=100，
解得：x=40y=60，
答：冰墩墩进40个，雪容融进了60个；
（2）∵利润＝（40﹣30）×40+（50﹣35）×60＝1300（元），
∴玩具店捐赠了1300元．
知识点5不等式（组）
1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.
2．不等式的基本性质：
（1）若＜，则+＜；
（2）若＞，＞0则＞ （或 ＞ ）；
（3）若＞，＜0则 ＜ （或 ＜ ）.
3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax＞b或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.
4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.
一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集.
5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）
的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；
的解集是，即“大小小大中间找”；
的解集是空集，即“大大小小取不了”.
6．求不等式（组）的特殊解：
不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.
7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位）.
【典例】
例1（2020春•锦江区校级月考）如果x＞y，则下列式子错误的是（　　）
A．x2＞y2 B．﹣3x＜﹣3y C．x﹣2＜y﹣2 D．1﹣x＜1﹣y
【解答】解：A、x＞y的两边都除以2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、x＞y的两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、x＞y的两边都减去2，不等号的方向不变，原变形错误，故此选项符合题意；
D、x＞y的两边都乘以﹣1且加上1，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【方法总结】
此题考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
例2（2020春•崇川区校级月考）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）2x﹣18≤8x；
（2）2x-13-5x+12＞1．
【解答】解：（1）2x﹣18≤8x，
移项得：2x﹣8x≤18，
合并得：﹣6x≤18，
解得：x≥﹣3；
所以这个不等式的解集在数轴上表示为：
．
（2）2x-13-5x+12＞1，
去分母得：2（2x﹣1）﹣3（5x+1）＞6，
去括号得：4x﹣2﹣15x﹣3＞6，
移项及合并同类项得：﹣11x＞11，
系数化为1得：x＜﹣1，
故原不等式的解集是x＜﹣1，在数轴上表示如下图所示，
．
【方法总结】
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
例3（2020秋•沙坪坝区校级月考）解不等式组并将不等式组的解集表示在数轴上．
（1）-12x≤2x＜3(x-2)+4；
（2）x2＞x3-12(x-2)≤3(x-1)-1．
【解答】解：（1）解不等式-12x≤2，得：x≥﹣4，
解不等式x＜3（x﹣2）+4，得：x＞1，
则不等式组的解集为x＞1，
将不等式组解集表示在数轴上如下：

（2）解不等式x2＞x3-1，得：x＞﹣6，
解不等式2（x﹣2）≤3（x﹣1）﹣1，得：x≥0，
则不等式组的解集为x≥0，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【方法总结】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
例4（2020秋•平房区期末）为响应阳光体育运动的号召，学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球．按标价若购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元．
（1）求篮球、足球每个分别是多少元？
（2）由于购买数量较多，商店决定给予一定的优惠，篮球每个优惠20%，足球每个优惠10%，若学校决定买两种球共40个，在购买资金不超过4500元时，则购买篮球至多是多少个？
【解答】解：（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元．
根据题意，得2x+3y=6003x+y=550，
解得x=150y=100．
答：篮球的单价为150元，足球单价为100元；
（2）优惠后篮球单价150×（1﹣20%）＝120，足球单价100×（1﹣10%）＝90，
设购买z个篮球，则购买（40﹣z）个足球，
根据题意，得120z+90×（40﹣z）≤4500，
解得：z≤30，
答：该校最多可以购买30个篮球．
【方法总结】
本题考查了二元一次方程组的一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
【随堂练习】
1．（2020秋•西湖区校级期中）解不等式：
（1）2x+3＞6﹣x；
（2）﹣3（x﹣1）＞53（x+4）﹣1．
【解答】解：（1）∵2x+3＞6﹣x，
∴2x+x＞6﹣3，
∴3x＞3，
∴x＞1；
（2）∵﹣3（x﹣1）＞53（x+4）﹣1，
∴﹣3x+3＞53x+203-1，
∴﹣3x-53x＞203-1﹣3，
∴-143x＞83，
∴x＜-47．
2．（2020秋•成华区校级月考）解不等式组：3x+6≥5(x-2)x-52-4x-33＜1，并求出最小整数解与最大整数解的和．
【解答】解：3x+6≥5(x-2)①x-52-4x-33＜1②，
由①得：x≤8，
由②得：x＞﹣3，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤8，
∴x的最小整数为﹣2，最大整数为8，
∴x的最小整数解与最大整数解的和为6．
3．（2020秋•道外区期末）某快递公司车队现有载重量为8吨、10吨的货车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨货物．
（1）求该车队有载重量8吨、10吨的货车各多少辆？
（2）随着快递事业的发展，该车队需要一次运输货物不低于180吨，为了能够完成任务，该公司车队准备新购进这两种货车共8辆，则最少购进载重量为10吨的货车多少辆？
【解答】解：（1）设该车队有载重量8吨的卡车x辆，则有载重量10吨的卡车（12﹣x）辆，
依题意，得：8x+10（12﹣x）＝110，
解得：x＝5，
∴12﹣x＝7．
答：该车队有载重量8吨的卡车5辆，载重量10吨的卡车7辆．
（2）设购进载重量10吨的卡车m辆，则购进载重量8吨的卡车（8﹣m）辆，
依题意，得：8（8﹣m）+10m≥180﹣110，
解得：m≥3．
答：最少购进载重量10吨的卡车3辆．
4．（2020春•江岸区校级月考）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元；购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元．
（1）求购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？
（2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不低于B型打印机数量的14，不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，求该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案，哪种方案费用最低？并求出最低费用．
【解答】解：（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元，依题意有
3x+4y=61804x+6y=8840，
解得x=860y=900．
故购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元；
（2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台，依题意有
m≥14(20-m)m≤12(20-m)860m+900(20-m)≤17800，
解得：5≤m≤203．
故共有两种购买方案：
购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台，费用为860×5+900×15＝17800（元）；
购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用为860×6+900×14＝17760（元）；
∵17800＞17760，
∴购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元．

综合运用
1．（2020秋•常熟市期中）若关于x的方程x+m3=x-m2与方程3+4x＝2（3﹣x）的解互为倒数，求m的值．
【解答】解：解方程3+4x＝2（3﹣x）得：x=12，
∵关于x的方程x+m3=x-m2与方程3+4x＝2（3﹣x）的解互为倒数，
∴把x＝2代入方程x+m3=x-m2得：2+m3=2-m2，
解得：m=85．
2．（2020秋•武都区期末）解方程：
（1）x-12=4x3；
（2）5x+13-2x-16=1．
【解答】解：（1）去分母，可得：3（x﹣1）＝4x×2，
去括号，可得：3x﹣3＝8x，
移项，合并同类项，可得：5x＝﹣3，
系数化为1，可得：x＝﹣0.6．

（2）去分母，可得：2（5x+1）﹣（2x﹣1）＝6，
去括号，可得：10x+2﹣2x+1＝6，
移项，合并同类项，可得：8x＝3，
系数化为1，可得：x=38．
3．（2020秋•武汉月考）解不等式组3-2(x-1)＜3x1-x-13≥0，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解．
【解答】解：3-2(x-1)＜3x①1-x-13≥0②，
解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤4，
所以不等式组的解集为：1＜x≤4．
在数轴上表示为：
．
不等式组的整数解有2，3，4．
4．（2020秋•白云区期中）已知方程x2﹣（k+1）x+k﹣1＝0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
【解答】（1）证明：△＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k﹣1）＝k2﹣2k+5＝（k﹣1）2+4．
∵（k﹣1）2≥0，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）将x＝2代入原方程得：22﹣2（k+1）+k﹣1＝0，
解得：k＝1，
∴原方程为x2﹣2x＝0．
∴方程的另一个根＝2﹣2＝0．
5．（2020秋•朝阳县期末）某工厂生产一批小家电，2018年的出厂价是144元，2019年，2020年连续两年改进技术，降低成本，2020年出厂价调整为100元．
（1）这两年出厂价下降的百分比相同，求平均下降率．
（2）某商场今年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了减少库存，商场决定降价销售，经调查发现小家电单价每降低5元，每天可多售出10台，如果每天盈利1250元，单价应降低多少元？
【解答】解：（1）设这两年平均下降率为x，
根据题意得：144（1﹣x）2＝100，
等号两边同除以144得：（1﹣x）2=100144
两边开方得：1﹣x＝±100144=±56，
所以x1=116＞1（不合题意，舍去），x2=16≈16.67%．
答：这两年平均下降率约为16.67%；
（2）设单价降价y元，
则每天的销售量是（20+2y）台，
根据题意得：（140﹣100﹣y）（20+y5×10）＝1250，
整理得：y2﹣30y+225＝0，
解得：y1＝y2＝15．
答：单价应降15元．
6．（2020秋•鞍山期末）假期里，学校组织部分团员同学参加“关爱老年人”的爱心援助活动，计划分乘大、小两辆车前往相距140km的乡村敬老院．
（1）若小车速度是大车速度的1.4倍，则小车比大车早一个小时到达，求大、小车速度．
（2）若小车与大车同时以相同速度出发，但走了60千米以后，发现有物品遗忘，小车准备加速返回取物品，要想与大车同时到达，应提速到原来的多少倍？
【解答】解：（1）设大车速度为x千米/时，
由题意，得1401.4x+1=140x，
解得x＝40，经检验x＝40是方程的解，
∴1.4x＝56（千米/时）．
∴大车得速度是40千米/时，小车得速度是56千米/时；

（2）设原速度为a千米/时，小车后来提速到原来得m倍，
则80a=200ma，
解得m＝2.5，且符合题意．
答：应提速到原来的2.5倍．
7．（2020秋•本溪期末）某公司在手机网络平台推出的一种新型打车方式受到大众的欢迎．该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/千米计算，耗时费按y元/分钟计算．小聪、小明两人用该打车方式出行，按上述计价规则，他们打车行驶里程数、所用时间及支付车费如下表：

里程数（千米）
时间（分钟）
车费（元）
小聪
3
10
9
小明
6
18
17.4
（1）求x，y的值；
（2）该公司现推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费，小强使用该方式从三水荷花世界打车到大旗头古村，总里程为23千米，耗时30分钟，求小强需支付多少车费．
【解答】解：（1）根据题意得：3x+10y=96x+18y=17.4，
解得：x=2y=0.3．
答：x，y的值分别为：2；0.3．
（2）8×2+（23﹣8）×（2+0.6）+30×0.3＝64（元）．
答：小强需支付64元车费．
8．（2020秋•长沙月考）我市创全国卫生城市，梅溪湖社区积极响应，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买4个垃圾箱比购买5个温馨提示牌多350元，垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）如果该街道需购买温馨提示牌和垃圾箱共3000个．该街道计划费用不超过35万元，而且垃圾箱的个数不少于温馨提示牌的个数的1.5倍，求有几种可供选择的方案？并找出资金最少的方案，求出最少需多少元？
【解答】解：（1）设温馨提示牌的单价是x元，则垃圾箱的单价是3x元，
依题意得：4×3x﹣5x＝350，
解得：x＝50，
∴3x＝150．
答：温馨提示牌的单价是50元，垃圾箱的单价是150元．
（2）设购买温馨提示牌m个，则购买垃圾桶（3000﹣m）个，
依题意得：50m+150(3000-m)≤3500003000-m≥1.5m，
解得：1000≤m≤1200．
又∵m为正整数，1200﹣1000+1＝201，
∴共有201种可供选择的方案．
设总费用为w元，则w＝50m+150（3000﹣m）＝﹣100m+450000，
∵﹣100＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝1200时，w取得最小值，最小值＝﹣100×1200+450000＝330000（元），330000元＝33万元．
答：共有201种可供选择的方案，当购买1200个温馨提示牌、1800个垃圾桶时，所需总费用最少，最少费用为33万元．


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日期：2021/1/21 17:54:18；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626