人教版中考一轮复习 第4讲 反比例函数--基础班

第4讲  反比例函数

知识点1反比例函数的概念及用待定系数法求反比例

1．反比例函数的概念

一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2．反比例函数解析式的确定

由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

【典例】

例1（2020•新宾县四模）下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　）

A．y B．y C．y D．y

例2（2020春•甘南县期中）下列各选项中，两个量成反比例关系的是（　　）

A．正方形的边长和面积 

B．圆的周长一定，它的直径和圆周率 

C．速度一定，路程和时间 

D．总价一定，单价和数量

  例3（2020•上海）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（　　）

A．y B．y C．y D．y

  例4（2020•和平区模拟）已知y是x的反比例函数，并且当x＝2时，y＝6，则y关于x的函数解析式为（　　）

A．y B．y C．y＝3x D．y

【随堂练习】

1．（2020春•泰兴市月考）下列函数：①y＝x﹣2，②y，③y＝x﹣1，④y，y是x的反比例函数的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．（2020•复兴区一模）下列关系式中，y是x反比例函数的是（　　）

A．yx B．y C．y＝3x2  D．y＝6x+1

3．（2020•铜山区二模）反比例函数y经过点（2，3），则k的值是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6

4．（2020春•嘉兴期末）已知反比例函数的图象经过点（1，3），则这个反比例函数的表达式为（　　）

A．y B．y C．y D．y

知识点2反比例的图象及其性质

（1）反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

（2）反比例函数的性质

【典例】

例1（2020秋•南开区期末）已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x和y的图象在同一平面直角坐标系中大致位置是（　　）

A． B． 

C． D．

例2（2020秋•沈河区期末）已知反比例函数y，下列说法中正确的是（　　）

A．该函数的图象分布在第一、三象限 

B．点（2，3）在该函数图象上 

C．y随x的增大而增大 

D．该图象关于原点成中心对称

【随堂练习】

1．（2020秋•瓜州县期末）若反比例函数y的图象在某象限内，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是　．

2．（2020秋•南山区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）与y的大致图象（　　）

A． B． 

C． D．

知识点3一次函数与反比例函数的综合应用

1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。

2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。

【典例】

例1 （2020秋•乾安县期末）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）根据图象，直接写出不等式的解集．

例2 （2020秋•松山区期末）如图，直线yx与双曲线y（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；

（2）若双曲线y（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．

（3）若x＞0，直接写出x的取值范围．

【随堂练习】

1．（2020秋•永吉县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，且与反比例函数y（m≠0）的图象在第一象限相交于C点，作CD⊥x轴于D点．若OA＝2，

OD＝1.5OA，CD＝2OA．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）△OAB的面积为　　．

2．（2020秋•沈阳期末）如图，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，a），点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交一次函数的图象于点D．

（1）求a的值及一次函数y＝kx+1的表达式；

（2）若BD＝10，求△ACD的面积．

3．（2020•越秀区一模）如图所示，一次函数y＝k1x+8的图象与坐标轴分别相交于点A，B与反比例y函数的图象相交于C，D．过点C作CE⊥y轴，垂足为E，且CE＝2．

（1）求4k1﹣k2的值；

（2）若CD＝2AC，求反比例函数的解析式．

知识点4反比例函数与几何的综合应用

1、反比例函数中的比例系数k的几何意义及其应用

①反比例函数中的比例系数k的几何意义是：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积等于；或以该点、垂足与坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于。

   ② 越大，图象越远离坐标原点，反之亦然。

2、运用k的几何意义解决反比例函数中有关面积的问题，往往能化繁为简、化难为易。主要题目类型如下：

①、已知面积，求k（或求反比例函数表达式）

②、已知反比例函数表达式（即已知k），求面积。

③、过双曲线（两分支）上任意一点，作两坐标（或一条坐标）轴的垂线，该点与垂足、坐标原点构成矩形（或直角三角形）面积的大小。

【典例】

例1（2020秋•简阳市 月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y的图象交于点B（a，4）和点C．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）若点P在y轴上，且△PBC的面积等于6，求点P的坐标；

（3）设M是直线AB上一点，过点M作MN∥x轴，交反比例函数y的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．

例2（2020秋•龙湖区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OCBE的两边在坐标轴上，反比例函数y（x＞0）的图象与OB，BC相交于点A，D，连接AC，AD．

（1）若点A为矩形OCBE的对称中心，则BD：DC＝　　；

（2）若点A坐标为（3，2）．

①求该反比例函数的解析式；

②若S△ACD，设点C的坐标为（a，0），求线段BD的长．

【随堂练习】

1．（2020秋•武侯区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（0，2），与反比例函数y（x＞0）的图象交于点B（1，a）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设M是反比例函数y（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以A、O、M、N为顶点的四边形是以AO为边的平行四边形，求点N的坐标．

  综合运用

1．（2020秋•岳麓区校级月考）当k＞0时，函数y与y＝kx在同一平面直角坐标系内的大致图象是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（2020秋•舞阳县期末）关于反比例函数的图象的性质，下面说法正确的是（　　）

A．y随x的增大而减小 

B．y随x的增大而增大 

C．在每个象限内，y随x的增大而减小 

D．在每个象限内，y随x的增大而增大

3．（2020•霍林郭勒市校级模拟）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是　　．

4．（2020春•越秀区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．

（1）求函数y和y＝kx+b的解析式；

（2）请利用两个函数的完整图象，直接写出不等式kx+b的解集．

5．（2020春•新蔡县期末）如图，已知一次函数y＝﹣x+2与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴交于点M，且点A的横坐标是﹣2，B点的横坐标是4．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求△AOM的面积；

（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．

6．（2020秋•通川区校级月考）已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），点A横坐标为4．

（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；

（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+100的解集；

（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．