人教版中考一轮复习 第4讲 反比例函数--提高班

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第4讲  反比例函数知识点1反比例函数的概念及用待定系数法求反比例1．反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2．反比例函数解析式的确定由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。【典例】例1（2020•余干县模拟）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）A．y＝3x B．y＝3x+1 C． D．y＝3x2 例2（2020•柘城县模拟）下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）A．y B．y C．y＝3x D．y＝x2 例3 （2020秋•浦东新区期末）已知y与x+1成反比例，且当x＝1时，y＝2，求当x＝0时，y的值．  例4（2020秋•松江区期末）已知y＝y1+2y2，y1与（x﹣2）成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝3．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝3时，求y的值． 【随堂练习】1．（2020•阳谷县校级模拟）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）A．y＝3x B．y C．y D．y 2．（2020•广西模拟）下列函数中，属于反比例函数的是（　　）A．y B．y C．y＝5﹣3x D．y＝﹣x2+1 3．（2020秋•汨罗市月考）已知反比例函数y（k≠0）的图象经过点A（﹣3，﹣6）．（1）求这个函数的表达式；（2）点B（4，），C（2，﹣5）是否在这个函数的图象上？ （1）求y关于x的函数表达式．（2）当y＝﹣4时，求自变量x的值． 知识点2反比例的图象及其性质（1）反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。（2）反比例函数的性质【典例】例1（2020秋•金昌期末）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（　　）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．图象的两个分支在第一、三象限 C．当x＞0时，y随x的增大而增大 D．当x＜0时，y随x的增大而减小 例2（2020秋•兰州期末）关于x的函数y＝k（x﹣1）和y（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（　　）A． B． C． D． 【随堂练习】1．（2020春•长春期末）已知反比例函数y，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围为　． 2．（2020秋•铁锋区期末）已知反比例函数的解析式为y，则当y＜2时，自变量x的取值范围是　． 3．（2020秋•乐亭县期末）在同一直角坐标系中反比例函数y与一次函数y＝x+a（a≠0）的图象大致是（　　）A． B． C． D．  知识点3一次函数与反比例函数的综合应用1.求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点。2.如果图中直接给出交点坐标，比较函数大小, 根据图象，确定大小关系，要注意分支讨论。【典例】例1（2020秋•宝安区期末）如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2（k≠0）的图象分别交于第二、四象限的A，B两点，点A的横坐标为﹣1．（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2．请直接写出答案：　　．  例2（2020秋•开封期末）如图，已知A（﹣3，n），B（2，﹣3）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y的图象的两个交点．（1）写出一次函数和反比例函数的解析式　　；（2）观察图象，直接写出方程kx+b0的解；（3）观察图象，直接写出kx+b0的解集；（4）求△AOB的面积． 【随堂练习】1．（2020•黄埔区模拟）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第二、四象限内的点A（a，4）和点B（8，b）．过点A作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC 的面积为4．（1）分别求一次函数和反比例函数的解析式；（2）结合图象写出不等式mx+n的解集．  2．（2020春•越秀区校级月考）如图，反比例函数y与一次函数y＝ax+b的图象交于A（1，4），B（﹣4，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象直接写出ax+b0中x的取值范围．  3．（2020秋•龙湖区校级月考）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（﹣2，a）和点B（b，﹣1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，△AOC的面积为4．（1）分别求出a和b的值；（2）结合图象直接写出mx+n中x的取值范围． 知识点4反比例函数与几何的综合应用1、反比例函数中的比例系数k的几何意义及其应用①反比例函数中的比例系数k的几何意义是：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积等于；或以该点、垂足与坐标原点为顶点的直角三角形的面积等于。   ② 越大，图象越远离坐标原点，反之亦然。2、运用k的几何意义解决反比例函数中有关面积的问题，往往能化繁为简、化难为易。主要题目类型如下：①、已知面积，求k（或求反比例函数表达式）②、已知反比例函数表达式（即已知k），求面积。③、过双曲线（两分支）上任意一点，作两坐标（或一条坐标）轴的垂线，该点与垂足、坐标原点构成矩形（或直角三角形）面积的大小。【典例】例1（2020秋•舞钢市期末）如图，反比例函数y（k＞0）的图象与正比例函数yx的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．（1）当点A的横坐标为2时，求k的值；（2）若k＝12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，①求△ACB的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．    【随堂练习】1．（2020•西宁）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．   综合运用1．（2020秋•岳麓区校级月考）当k＞0时，函数y与y＝kx在同一平面直角坐标系内的大致图象是（　　）A． B． C． D． 2．（2020秋•舞阳县期末）关于反比例函数的图象的性质，下面说法正确的是（　　）A．y随x的增大而减小 B．y随x的增大而增大 C．在每个象限内，y随x的增大而减小 D．在每个象限内，y随x的增大而增大 3．（2020•霍林郭勒市校级模拟）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是　　． 4．（2020春•越秀区校级期中）一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．（1）求函数y和y＝kx+b的解析式；（2）请利用两个函数的完整图象，直接写出不等式kx+b的解集．  5．（2020春•新蔡县期末）如图，已知一次函数y＝﹣x+2与反比例函数y的图象交于A，B两点，与x轴交于点M，且点A的横坐标是﹣2，B点的横坐标是4．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOM的面积；（3）根据图象直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．  6．（2020秋•通川区校级月考）已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），点A横坐标为4．（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+100的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．