人教版中考一轮复习 第6讲 三角形--提高班 试卷

第6讲  三角形知识点1三角形初步三角形的定义：由3条不在同一直线上的线段，首尾顺次连接组成的封闭图形称为三角形. 如下的图形就是一个三角形.2.三角形的各组成部分： （1）边：组成三角形的三条线段就是三角形的三条边；（2）顶点：三角形任意两边的交点均为三角形的顶点；（3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系.如上图中，此三角形可以表示为，△ABC或△BAC或△CBA.（4）内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角.例如上图△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角.3、其他概念与定理三角形内角和定理：三角形的内角之和为180°.三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.三角形中边角关系：大边对大角，等边对等角.高：顶点到对边的距离叫做三角形的一条高.三角形角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.中线：三角形顶点到对边中点的连线叫三角形的中线.中线把原来整个三角形分成两个面积相等的小三角形.4、三角形分类： (1)按角分：三角形（2按边分：三角形5、三角形的特性：稳定性【典例】例1（2020秋•涪城区校级期末）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最大值是（　　）A．16 B．17 C．18 D．19 例2（2020秋•齐河县期末）如图，共有　　个三角形． 例3（2020秋•涪城区校级期末）如图，在△ABC中，AM是△ABC的高线，AN是△ABC的角平分线，已知∠B＝50°，∠BAC＝100°，分别求出∠C和∠MAN的度数． 【随堂练习】1．（2020秋•濉溪县期中）在△ABC中，AB＝8，BC＝2，并且AC为偶数，求△ABC的周长． 2．（2020秋•顺平县期中）如图，已知D是△ABC边BC延长线上一点，DF交AC于点E，∠A＝35°，∠ACD＝83°．（1）求∠B的度数；（2）若∠D＝42°，求∠AFE的度数．  3．（2020秋•庐阳区校级期中）如图所示，AE为△ABC的角平分线，CD为△ABC的高，若∠B＝30°，∠ACB为70°．（1）求∠CAF的度数；（2）求∠AFC的度数． 4．（2020秋•全椒县期中）如图，已知CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．（1）如果∠B＝35°，∠E＝20°，求∠BAC的度数；（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．  知识点2等腰三角形等腰三角形的概念与性质1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做三角形的腰，第三边叫做三角形的底.2、等腰三角形的性质 ①等腰三角形的腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等（简记为”等边对等角“） ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，称为”三线合一“【典例】 例1（2020秋•乐亭县期末）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（　　）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm    例2 （2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，则∠C的度数为（　　）A．20° B．22.5° C．25° D．30° 例3 （2020秋•南关区期末）图①、图②均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形．在图①、图②中，过三角形的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图①、图②中的分割线不同）．要求画出分割线，并标出等腰三角形底角的度数． 【随堂练习】1．（2020秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD是BC边上的中线，点E在边AB上，且BD＝BE．若∠BAC＝100°，则∠ADE的大小为　　度． 2．（2020秋•丛台区期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AC＝BC，AC边上的垂直平分线分别交AC，BC于点D和点E，若∠BAE＝45°，DE＝2，则AE的长度为（　　）A．2 B．3 C．3.5 D．4 3．（2020秋•朝阳区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数． 知识点3等边三角形等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.等边三角形的性质：①三边相等②三个内角相等，都是60°③它是轴对称图形，对称轴分别是三边上的高.【典例】例1（2020秋•覃塘区期中）如图，△ABC是等边三角形，D是AC边的中点，延长BC到点E，使CE＝CD，连接DE，则下列结论错误是（　　）A．CEAB B．BD＝ED C．∠BDE＝∠DCE D．∠ADE＝120°   例2（2020秋•沧州期中）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝110°，则∠3的度数为（　　）A．90° B．70° C．45° D．30° 例3（2020春•松江区期末）如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上（不与点A、B重合），点D在直线BC上，且ED＝EC．（1）若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；（2）若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．  【随堂练习】1．（2020秋•五常市期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论不正确的是（　　）A．AD⊥BC B．EF＝FD C．BE＝BD D．AE＝AC 2．（2020秋•南关区校级期末）如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q．延长MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周长为12，则△MGQ周长是（　　）A．8+2 B．6+4 C．8+4 D．6+2  3．（2020秋•福州期中）如图，已知等边△ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝α，∠BDE＝180°﹣2α，则∠DBE的度数是（　　）A．120°﹣α B．180°﹣2α C．2α﹣90° D．α﹣60°  知识点4直角三角形直角三角形定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.1、直角三角形的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）.性质2：在直角三角形中，两个锐角互余.性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；　　在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2.（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.3.勾股定理的逆定理：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．【典例】例1（2020秋•萧山区期中）在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个  例2（2020秋•惠来县期末）如图，由两个直角三角形和三个大正方形组成的图形，其中阴影部分面积是（　　）A．16 B．25 C．144 D．169 例3（2020秋•新华区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，E为垂足，ACAB，图中为60°的角有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个  【随堂练习】1．（2020秋•松江区期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝2，AB＝2，BC＝10，CD＝8，∠BAD＝90°，那么四边形ABCD的面积是　　．    2．（2019秋•南岸区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）点F是AE延长线上一点，过点F作∠AFD＝27°，交AB的延长线于点D．求证：BE∥DF． 知识点5全等三角形1、全等三角形及相关的概念（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.（2）全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合到一起，①对应顶点：重合的顶点；②对应边：重合的边；③对应角：重合的角.（3）全等三角形的表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，如图所示△ABC≌△DEF.符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等.（4）全等三角形的书写：①字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边，对应角，如△CAB≌FDE,则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F时对应角；②图形位置确定法：公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（5）对应边（角）与对边（角）的区别：对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边，两个角的关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的位置关系.对边是与对角相对的边，对角是与边相对的角.易错提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能随意书写.2、全等三角形的性质性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.还具备：全等三角形的对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积也相等.易错提示：周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等.3、一般三角形全等的判定方法①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）4、直角三角形全等的判定方法①一般三角形全等的判定方法都可应用于判定两个直角三角形全等.②斜边、直角边定理（HL）文字描述：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.【典例】例1 （2020秋•二道区期末）如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝30°．若△ABC≌△ADE，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（　　）A．40° B．35° C．30° D．25° 例2（2020秋•梁子湖区期中）如图，点E在AB上，AC与DE相交于点F，△ABC≌△DEC，∠B＝65°．（1）求∠DCA的度数；（2）若∠A＝20°，求∠DFA的度数．  例3（2020秋•洮北区期末）如图，AB＝CB，BE＝BF，∠1＝∠2，证明：△ABE≌△CBF． 例4 （2020秋•铁西区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA＝2，点D是射线AB上一点，连接CD，在CD右侧作∠DCE＝90°，且CE＝CD，连接AE，已知AE＝1．（1）如图，当点D在线段AB上时，①求∠CAE的度数；②求CD的长；（2）当点D在线段AB的延长线上时，请直接写出∠CAE的度数和CD的长．  【随堂练习】1．（2020秋•乐亭县期末）已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）A．47° B．57° C．60° D．73° 2．（2020秋•朔州月考）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在同一条直线上．（1）若BE⊥AD，∠F＝63°，求∠A的大小．（2）若AD＝11cm，BC＝5cm，求AB的长． 3．（2020秋•崆峒区期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边AC，AB上的点，且AE＝CD，BD交CE于点P．（1）如图①，求证：∠BPC＝120°；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，如图②，若点A，P，M三点共线，求证：AP＝2PM．  知识点6相似三角形1、相似三角形的概念与性质：相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.两个全等的三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比为1：1.2、相似三角形的性质：①相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.②相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.3、相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.③如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.4、 黄金分割一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC（如图）， 如果，那么称线段 AB 被点 C黄金分割， 点C 叫做线段 AB的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.黄金比.【典例】例1 （2021•长宁区一模）如图，己知在△ABC中，点D、点E是边BC上的两点，联结AD、AE，且AD＝AE，如果△ABE∽△CBA，那么下列等式错误的是（　　）A．AB2＝BE•BC B．CD•AB＝AD•AC C．AE2＝CD•BE D．AB•AC＝BE•CD  例2 （2020秋•金川区期末）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，如果△ADE∽△ABC，AD：AB＝1：4，BC＝8cm，那么△ADE的周长等于（　　）A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm      例3（2020秋•蜀山区校级月考）如图，在△ABC，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD：AC＝2：3，△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F，求AG与GF的比． 例4（2020秋•双流区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm每秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，△PBQ与△ABC相似？（AB＝6cm，BC＝8cm） 【随堂练习】1．（2020秋•二道区期末）在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（　　）A． B． C． D． 2．（2020秋•市中区期中）已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，求△A′B′C′的另两条边的长、周长及最大角的大小．   3．（2020秋•荥阳市期中）已知Rt△ABC的两直角边AB，AC的长分别为6cm和8cm，动点D从点A开始沿AB边向点B运动，速度为1cm/s；动点E从点C开始沿CA边向点A运动，速度为2cm/s．若两点同时运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么何时△ADE与△ABC相似？     综合运用1．（2020秋•浦北县期中）如图，在等边△ABC中，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，且等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（　　）A．5 B．4 C．3 D．2  2．（2020春•荔湾区月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上的中点，则CD为（　　）A．10 B．3 C．5 D．4  3．（2020秋•兰州期末）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积． 4．（2020春•宽城区期末）如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE⊥AD，∠F＝62°，求∠A的大小；（2）若AD＝9cm，BC＝5cm，求AB的长． 5．（2020秋•文山市期末）如图是一块地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，且CD⊥AD，求这块地的面积．         6．（2020秋•陕西期中）已知：如图在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．求证：△BEC∽△BCH． 7．（2020秋•利通区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，连接AD，BD，CD，∠BDC＝90°，∠DBC＝45°．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）求∠ADB的度数．   8．（2020春•内江期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数． 9．（2020秋•香坊区期末）已知：等边△ABC，点D为AC上一点，DF⊥BC，垂足为点F，点E为BC延长线上一点，分别连接DB、DE，AD＝CE．（1）如图1，AD≠CD，求证：BF＝EF；（2）如图2，点G为BC中点，连接DG，若AD＝CD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有是△DFG面积二倍的三角形．  10．（2020秋•东城区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长　　．