人教版中考一轮复习 第7讲 平行四边形--基础班

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知识点1 一般的平行四边形
1. 平行四边形的性质与判定
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形的性质：
如图，已知▱ABCD.
则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;
②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;
③OA=OC,OB=OD.
拓展：①平行四边形的邻角互补；
②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.
平行四边形的判定方法：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2. 两条平行线之间的距离
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD.
EF是平行线AB，CD之间的距离.
结论：两条平行线之间的距离处处相等.
拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.
3. 三角形的中位线
图形：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE）
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DE∥BC，且DE=12BC）
注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究）
拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）
【典例】
例1（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在▱ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F．
（1）若∠BCF＝65°，求∠ABC的度数；
（2）求证：AE＝CF．
例2（2020春•海淀区校级期中）已知，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，给出下列四个条件①AB∥CD，②OA＝OC，③AD＝BC，④∠A＝∠C，任取两个条件，可得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
例3（2020春•江汉区期末）如图，E，F是▱ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．
【随堂练习】
1．（2020春•南岗区校级月考）如图，四边形ABCD为平行四边形，作∠BAD的平分线，交DC边于点E，若∠DEA＝30°，则∠B的度数为（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
2．（2020春•西城区校级期中）已知，如图，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件：
①AB＝CD；
②AD∥BC；
③∠BAD＝∠BCD；
④BO＝DO中选择两个，使得构成四边形可判定为平行四边形．你的选择是 ．
3．（2020春•横山区期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，BC的中点，连接EF交BD于G，连接OE，OF，证明：
（1）四边形COEF是平行四边形；
（2）线段OB与线段EF相互平分．
知识点2 矩形
矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形ABCD.
1. 矩形的性质
矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：
①矩形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）
②矩形的对角线相等；（AC=BD）
③对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线）
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在Rt△ADC中，DO为斜边AC的中线，
则DO=12AC）
拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.
2. 矩形的判定
矩形的判定方法：
①有一个角时直角的平行四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③三个角都是直角的四边形是矩形.
3. 拓展
矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形.
【典例】
例1（2020春•西华县期末）如图所示，长方形纸片ABCD中，点E是AB的中点，且AE＝1，DE的垂直平分线MN恰好经过点C，则BC边的长度为（ ）
A．2B．3C．2D．1
例2（2020秋•西城区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点D为AB的中点，若AC＝2，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
例3（2020春•福州期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△ABO平移到△DCE，已知AO＝1，BO＝2，AB=5．
求证：四边形OCED是矩形．
例4（2020春•沂水县期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．
【随堂练习】
1．（2020春•朝阳区校级月考）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.2km，则M，C之间的距离是（ ）
A．0.8kmB．1.6kmC．2.0kmD．3.2km
2．（2020春•襄汾县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形ABCD变为矩形的是（ ）
A．OA＝OCB．AC＝BDC．DA⊥ABD．∠OAB＝∠OBA
3．（2020春•原州区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝2，求矩形ABCD的面积．
知识点3 菱形
菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图：菱形ABCD.
1. 菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：
①菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（AC⊥BD，AC是∠DAB
和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA的角平分线）
③对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直
线（AC，BD））
2. 菱形的判定
菱形的判定方法：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四条边相等的四边形是矩形.
3. 拓展
①菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形；
②菱形的面积等于两对角线乘积的一半.
【典例】
例1 （2020春•桂林期末）一个菱形的两条对角线分别为4和5，则这个菱形的面积是（ ）
A．8B．10C．15D．20
例2（2020春•无棣县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．证明：四边形ACDE是平行四边形：
例3 （2020春•中山市校级月考）一张矩形纸ABCD，将点B翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交AB于点E．将点D翻折到对角线AC上的点H处，折痕AF交DC于点F，折叠出四边形AECF．
（1）求证：AF∥CE；
（2）当∠BAC＝ 度时，四边形AECF是菱形？说明理由．
例4（2020春•牡丹江期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若DE＝3，BF＝5，求AB的长．
【随堂练习】
1．（2020春•长清区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为AD边的中点，当OE的长为2时，菱形ABCD的周长等于（ ）
A．32B．24C．16D．18
2．（2020春•永春县期末）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝13，AC＝24，BD＝10．求证：四边形ABCD是菱形．
3．（2020春•金平区期末）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．若EC平分∠BEF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若AC＝8，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
知识点4 正方形
正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.
1. 正方形的性质
正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：
①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD）
②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）
③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）
④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，
AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA
的角平分线）
⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它
的两条对角线所在的直线（AC，BD））
2. 正方形的判定
正方形的判定方法：
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②有一个角是直角的菱形是正方形.
判定正方形的思路图：
3. 拓展
正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
【典例】
例1（2020春•东湖区期末）下列不能判断是正方形的有（ ）
A．对角线互相垂直的矩形
B．对角线相等的矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形
D．对角线相等的菱形
例2（2020•碑林区校级三模）如图所示，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是OC上一点，连接BE，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：BE＝AF．
例3（2019春•新余期末）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形．
【随堂练习】
1．（2020•郑州校级一模）从下列四个条件：①∠ABC＝90°；②AB＝BC；③AC＝BD；④AC⊥BD中选择两个作为补充条件，使平行四边形ABCD成为正方形，下列四种情况，你认为错误的是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
2．（2020春•西丰县期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，连接BE，求∠DEB的度数．
3.（2020春•越秀区期末）如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
知识点4 中点四边形
1. 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.
如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为中点四边形.
2. 常见中点四边形
①四边形的中点四边形为平行四边形；
②矩形的中点四边形为菱形；
③菱形的中点四边形为矩形；
④正方形的中点四边形为正方形；
⑤等腰梯形的中点四边形为菱形；
⑥对角线相等的中点四边形为菱形；
⑦对角线互相垂直的中点四边形为矩形.
【典例】
例1（2020秋•丹东期末）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）
A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形
例2（2020秋•肇源县期末）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH．求证：四边形EFGH是平行四边形．
【随堂练习】
1．（2020春•道里区校级月考）顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（ ）
A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形
2．（2020春•九江期末）如图，依次连接四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，得到的新四边形EFGH是什么四边形？请证明．
综合运用
1.（2020春•东坡区期末）如图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则BC长为（ ）
A．20B．5C．10D．15
2．（2020•工业园区一模）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，若CD＝1cm，则AC等于（ ）
A．2cmB．3cmC．2cmD．1cm
3．（2020春•防城港期末）如图，四边形AFDC是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角，且点E，A，B三点共线，CE＝5，求AB的长．
4．（2020春•秦淮区期末）如图，四边形ABCD是菱形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE．求证：四边形EFGH是矩形．
5.（2020春•江汉区期末）如图，E，F是▱ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．