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人教版中考一轮复习 第9讲 锐角三角函数--尖子班
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这是一份人教版中考一轮复习 第9讲 锐角三角函数--尖子班，文件包含第9讲锐角三角函数--尖子班教师版docx、第9讲锐角三角函数--尖子班学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
第9讲 锐角三角函数
知识点1 锐角三角函数
1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．
2. 特殊角的三角函数值
3.锐角三角函数值的变化规律
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小；
当0°<<90°时，tan随的增大而增大．
【典例】
例1（2020秋•香坊区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下列式子正确的是（ ）
A．cosB=ca B．sinB=bc C．tanB=ab D．tanB=bc
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosB=ac，A选项说法错误；
sinB=bc，B选项说法正确；
tanB=ba，C、D选项说法错误；
故选：B．
【方法总结】
本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
例2（2020秋•太仓市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝23，b=6，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA=13，求b．
【解答】解：（1）∵sinB=bc=623=22，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA=13=ac，
∴a＝4，
∴b=c2-a2=82，
【方法总结】
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
例3（2021•宝山区一模）计算：1-cos245°cot30°+sin60°⋅tan30°．
【解答】解：原式=1-(22)23+32×33
=1-123+12
=12×(3-12)(3+12)(3-12)
=23-111．
【方法总结】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2021•奉贤区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝3，cosA=34，那么AB的长为（ ）
A．94 B．4 C．5 D．254
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=34，
则ACAB=34，即3AB=34，
解得，AB＝4，
故选：B．
2．（2021•宝山区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sinA的值为（ ）
A．35 B．34 C．45 D．43
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
则sinA=BCAB=35，
故选：A．
3．（2020秋•荔城区校级期中）计算：4cos30°+tan245°﹣2tan60°．
【解答】解：4cos30°+tan245°﹣2tan60°
＝4×32+12﹣23
＝23+1﹣23
＝1．
4．（2020秋•皇姑区期末）计算：sin30°×cos45°﹣tan60°+3tan30°．
【解答】解：原式=12×22-3+3×33
=24-3+3
=24．
知识点2 解直角三角形
1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
2.基础知识
在Rt△ABC中，∠A ∠B ∠C所对的边分别是a，b，c.
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2
（2）锐角之间的关系：+==
（3）边角之间的关系：sinA=ac cosA=bc tanA=ab
sinB=bc cosB=ac tanB=ba
（4）面积公式：S=12ab=12ch（为斜边上的高）
3. 解直角三角形的基本类型及其解法
【典例】
例1（2020秋•南漳县校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC=513，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求BFCF的值．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC=513，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD=AB2-AD2=132-52=12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的正切=DEAD=65；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴CDAD=CGFG=35，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴BFCF=5x8x=58．
【方法总结】
本题是考查了解直角三角形的问题，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．
例2（2020春•江岸区校级月考）（1）如图1所示，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB和BC的长．
（2）如图2，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD=34，求sinC的值．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H.
∵∠AHC＝90°，∠C＝45°，
∴AH＝HC=22AC=2，
∵∠B＝30°，∠AHB＝90°，
∴AB＝2AH＝22，
∴BH=3AH=6，
∴BC＝BH+CH=6+2．
（2）在Rt△BAD中，∵tan∠BAD=34，AD＝12，
∴BDAD=34，
∴BD＝9，
∵BC＝14，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴AC=AD2+CD2=122+52=13，
∴sinC=ADAC=1213．
【方法总结】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【随堂练习】
1．（2020秋•肇源县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
【解答】解：在Rt△CDE中，sinC=DECE，
∴CE=DEsin30°=12；
在Rt△ABC中，tanC=ABBC，
∴BC=ABtan30°=83．
∴BE＝BC﹣CE＝83-12，
∴BE的长为83-12．
2．（2020秋•瓜州县期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且AO＝BO＝10，tan∠BOA=34．
（1）求点B坐标；
（2）求cos∠BAO的值．
【解答】解：（1）作BC⊥OA于C，如图，
在Rt△BOC中，tan∠BOC=BCOC=34，
设BC＝3t，OC＝4t，
∴OB=BC2+OC2=5t，
∴5t＝10，解得t＝2，
∴BC＝6，OC＝8，
∴B点坐标为（8，6）；
（2）∵OA＝10，OC＝8，
∴AC＝2，
在Rt△ACB中，∵BC＝6，AC＝2，
∴AB=AC2+BC2=210，
∴cos∠BAC=ACAB=2210=1010，
即cos∠BAO=1010．
知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题
1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母表示．
2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母表示，则i=hl=tanα．
【典例】
例1 （2020•盱眙县校级模拟）我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：2=1.414，3=1.732）
【解答】解：该文化墙PM不需要拆除，
理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：3，
∴tanα=13=33，
∴α＝30°．
作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1：3，
∴tan∠CAD=CDAD=6AD=13，
解得，AD＝63，
∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，
∴BD＝6米，
∴AB＝AD﹣BD＝（3-6）米，
又∵PB＝8米，
∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（3-6）＝14﹣63≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．
【方法总结】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．
例2 （2020•沙坪坝区自主招生）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（ ）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP＝90°，
∵∠A＝90°，∠B＝65°，
∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∵∠DPE＝15°，
∴∠APD＝130°，
∴∠CPF＝50°，
∵F为PD的中点，
∴DF＝PF=12PD＝1，
∴CF＝PF＝1，
∴CP＝2PG＝2×PF•cos50°≈2×1×0.64≈1.28，
∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.28≈1.5（m）．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．
故选：C．
【方法总结】
本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
【随堂练习】
1．（2020•富阳区一模）如图，坡角为27°的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（ ）
A．80cos27°米 B．80cos27°米 C．80tan27°米 D．80sin27°米
【解答】解：如图，作BC⊥AC于C，
由题意得，∠ABC＝27°，
在Rt△ABC中，cos∠ABC=BCAB，
∴BC＝AB•cos∠ABC＝80cos27°（米），
故选：B．
2．（2020•石家庄模拟）如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD＝2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（ ）
A．iAC＝2iAB B．∠ACD＝2∠ABD C．2iAC＝iAB D．2∠ACD＝∠ABD
【解答】解：斜坡AC的坡度iAC=ADCD，斜坡AB的坡度iAB=ADBD，
∵BD＝2CD，
∴iAC＝2iAB，A正确，C错误；
∠ACD≠2∠ABD，B错误；
2∠ACD≠∠ABD，D错误；
故选：A．
知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题
1.仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
【典例】
例1（2021•松江区一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．
（1）求斜坡DE的高EH的长；
（2）求信号塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【解答】解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，
∴设EH＝x，则DH＝2.4x．
在Rt△DEH中，
∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，
解得，x＝25（米）（负值舍去），
∴EH＝25米；
答：斜坡DE的高EH的长为25米；
（2）∵DH＝2.4x＝60（米），
∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，
∴四边形EHCM是矩形，
∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝37°，
∴AM＝EM•tan37°≈120×0.75＝90（米），
∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．
∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．
答：信号塔AB的高度为23米．
【方法总结】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
例2 （2021•徐汇区一模）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；
（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
【解答】解：（1）根据题意，得∠CAB＝37°，CD＝220米，∠DAB＝30°，∠DBA＝45°，
如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，
∵CD∥AB，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE＝DF，CD＝EF，
∵∠DBA＝45°，
∴DF＝BF，
设DF＝BF＝CE＝x米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝x米，
∴AF=3DF=3x（米），
∴AE＝AF﹣EF＝（3x﹣220）米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，
∵CE＝AE•tan37°，
∴x＝（3x﹣220）×0.75，
解得x＝60（33+4）＝（1803+240）米，
∴AE=3x﹣220＝（320+2403）米，
FB＝x＝（1803+240）（米），
∴AB＝AE+EF+FB
＝320+2403+220+1803+240
＝780+4203
≈1507（米），
答：限速道路AB的长约为1507米；
（2）∵1分20秒=145小时，
∴该汽车的速度约为：1507÷145≈67.8km/h＞60km/h，
∴该车超速．
【方法总结】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2021•长宁区一模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．
身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，3≈1.73．）
【解答】解：延长BC交AD于点E，设CE＝x米．
∵tan53°=AECE，tan30°=AEBE，
∴CE=xtan53°≈0.75x，BE=xtan30°≈1.73x，
∴BC＝BE﹣CE＝1.73x﹣0.75x＝0.98．
解得x＝1，
∴CE＝1，
∴AD＝AE+ED＝1+1.6＝2.6（米）．
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．
2．（2021•闵行区一模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度i＝1：23时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
【解答】解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，
∵∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝PQ•tan30°＝9×33=33（米）．
（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．
由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，
设AM＝a米，则BM＝23a米，
∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，
∴四边形AHQM是矩形，
∴AH＝QM＝（33+23a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米，
在Rt△APH中，tan∠PAH=PHAH，
∴33=9-a33+23a，
解得a＝2，
∴AM＝2（米），BM＝43（米），
∴AB=AM2+BM2=22+(43)2=213（米）．
知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题
1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．
目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
2. 方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．
如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
【典例】
例1 （2020春•江夏区校级月考）如图，一艘渔船正以3233海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
【解答】解：（1）作CD⊥AB于点D，如图1所示：
由题意可知：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，
即∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB=3233×6060=3233，
在Rt△CBD中，CD＝CB•sin∠CBD=3233×32=16；
即小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20，
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能，
设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：
则CM＝CN＝20，
∵CD⊥AB，
∴DM＝DN，
在Rt△CMD中，DM=CM2-CD2=202-162=12，
∴MN＝2DM＝24，
∵243233=334，
∴渔船进去危险区，那么经过334分钟可穿过危险区．
【方法总结】
本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识；结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
例2 （2020•永州）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3≈1.73，5≈2.24，7≈2.65）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作AD⊥BC于D，如图：
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD=12AB＝30，AD=3BD＝303≈51.9＞50，
∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
（2）由（1）得：BD＝30，AD＝303，
∵BC＝3×30＝90，
∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，
在Rt△ADC中，AC=AD2+DC2=(303)2+602=307≈79.50（海里）；
答：A，C之间的距离约为79.50海里．
【方法总结】
本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
【随堂练习】
1.（2020•桥西区模拟）如图，一艘快艇从O港出发，向西北方向行驶到M处，然后向正东行驶到N处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M，N之间的距离是（ ）海里
A．752-75 B．7542-754 C．752 D．502
【解答】解：如图所示：
由题意得：∠NOC＝45°，∠MOD＝45°，
∴∠MON＝90°，
∵MN∥x轴，
∴∠MNO＝∠NOC＝45°，∠NMO＝∠MOD＝45°，
∴△MON为等腰直角三角形，
∴OM＝ON=22MN，
∵OM+OM+MN＝50×1.5＝75（海里），
∴22MN+22MN+MN＝75，
解得：MN＝752-75（海里），
即M，N之间的距离是（752-75）海里；
故选：A．
2．（2020•吴江区二模）一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（ ）
A．（153-15）海里、15海里
B．（153-152）海里、5海里
C．（153-152）海里、152海里
D．（153-15）海里、152海里
【解答】解：过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，
∴AS＝DS，
∴∠CDS＝∠CAS＝30°，
∵∠ABS＝15°，
∴∠DSB＝15°，
∴SD＝BD，
设CS＝x，
在Rt△ASC中，∵∠CAS＝30°，
∴AC=3x，AS＝DS＝BD＝2x，
∵AB＝30海里，
∴3x+3x+2x＝30，
解得：x=15(3-1)2，
∴AS＝（153-15）（海里）；
∴BS=CS2+BC2=152（海里），
∴灯塔S离观测点A、B的距离分别是（153-15）海里、152海里，
故选：D．
综合运用
1．（2020秋•武功县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sinB=1213，则AC的长是（ ）
A．25 B．12 C．5 D．13
【解答】解：∵∠C＝90°，sinB=1213，
∴设AC＝12x，AB＝13x，
52+（12x）2＝（13x）2，
解得：x＝1，
∴AC＝12，
故选：B．
2．（2020秋•肇州县期末）计算：
（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；
（2）sin45°cos30°-tan60°+cos45°•sin60°．
【解答】解：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°
＝2×12-3×1×22+4×12
＝1-322+2
＝3-322；
（2）sin45°cos30°-tan60°+cos45°•sin60°
=2232-3+22×32
=2-3+64
=-63+64
=-612．
3．（2020秋•龙沙区期末）如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴DEEC=10.75=43，
设DE＝4x，则EC＝3x，
由勾股定理可得：CD=(4x)2+(3x)2=5x，
又∵CD＝50，
∴5x＝50，
∴x＝10，
∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，
在Rt△ADF中，AF＝tan30°×DF=33×90＝303（m），
∴AB＝AF+FB＝（303+40）m，
即此建筑AB的高度为（303+40）m．
声明：试题解析著作权34
未经书面同意，不得复制4．（2020春•思明区校级月考）设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA．
【解答】解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，b＝6，c＝10，
∴a=102-62=8，
∴sinA=ac=810=45；
cosA=bc=610=35；
tanA=ab=86=43．
5．（2020秋•龙凤区校级月考）根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝23，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝23，b＝2，
∴c=a2+b2=4，
∴sinA=ac=32，sinB=bc=12，
∴∠A＝60°，∠B＝30°．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，
∴sinA=ac=32，sinB=bc=12，
∴a＝33，b＝3．
声明：试题解析著作66
6. 6.（2020•海陵区一模）水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（3≈1.73）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：3，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
【解答】解：（1）如图，分别过C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为F、H，
得四边形CDHF是矩形，
∴CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，
在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，
得AH＝DH＝3m，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，CF＝3m，
得BF=3m，
则AB＝AH+HF+FB＝7+1.7≈8.7m；
则坝底AB的长约为8.7m；
（2）由题意得，Rt△EDH中，DH：EH＝1：3，
∴EH＝33m，
则AE＝EH﹣AH＝33-3≈2.2m，
2.2m＜2.5m，
所以没有影响．
7．（2020•安阳县模拟）如图，在某次军事演习时，中国空警机A在北偏东22°方向上发现有不明敌机在钓鱼岛P附近徘徊，并快速报告给东海司令部．此时正在空警机A的正西方向200km处巡逻的中国歼击机B接到任务，迅速赶往北偏东60°方向上的钓鱼岛P处，已知歼击机B的速度是2.2马赫（1马赫大约等于1200km/h）．请根据以上信息，求出歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间．（结果精确到1s．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
【解答】解：过点P作PC⊥BA交BA的延长线于C，
设AC＝xkm，则BC＝（200+x）km，
在Rt△PAC中，tan∠APC=ACPC，
∴PC=ACtan∠APC≈x0.4=2.5x，
在Rt△BCP中，tan∠PBC=PCBC，
∴2.5x200+x≈33，
解得，x≈60，则PC＝2.5x＝150，
在Rt△PBC中，∠PBC＝30°，
∴BP＝2PC＝300，
∴歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间为：3002.2×1200×3600≈410（s），
答：歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间约为410s．
经书面同意，不得复制发布
日期：2021/1/22 18:59:47；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626
第9讲 锐角三角函数
知识点1 锐角三角函数
1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．
2. 特殊角的三角函数值
3.锐角三角函数值的变化规律
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小；
当0°<<90°时，tan随的增大而增大．
【典例】
例1（2020秋•香坊区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则下列式子正确的是（ ）
A．cosB=ca B．sinB=bc C．tanB=ab D．tanB=bc
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，cosB=ac，A选项说法错误；
sinB=bc，B选项说法正确；
tanB=ba，C、D选项说法错误；
故选：B．
【方法总结】
本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切．
例2（2020秋•太仓市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝23，b=6，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA=13，求b．
【解答】解：（1）∵sinB=bc=623=22，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA=13=ac，
∴a＝4，
∴b=c2-a2=82，
【方法总结】
本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
例3（2021•宝山区一模）计算：1-cos245°cot30°+sin60°⋅tan30°．
【解答】解：原式=1-(22)23+32×33
=1-123+12
=12×(3-12)(3+12)(3-12)
=23-111．
【方法总结】
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2021•奉贤区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝3，cosA=34，那么AB的长为（ ）
A．94 B．4 C．5 D．254
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA=34，
则ACAB=34，即3AB=34，
解得，AB＝4，
故选：B．
2．（2021•宝山区一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，那么sinA的值为（ ）
A．35 B．34 C．45 D．43
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
则sinA=BCAB=35，
故选：A．
3．（2020秋•荔城区校级期中）计算：4cos30°+tan245°﹣2tan60°．
【解答】解：4cos30°+tan245°﹣2tan60°
＝4×32+12﹣23
＝23+1﹣23
＝1．
4．（2020秋•皇姑区期末）计算：sin30°×cos45°﹣tan60°+3tan30°．
【解答】解：原式=12×22-3+3×33
=24-3+3
=24．
知识点2 解直角三角形
1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
2.基础知识
在Rt△ABC中，∠A ∠B ∠C所对的边分别是a，b，c.
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2
（2）锐角之间的关系：+==
（3）边角之间的关系：sinA=ac cosA=bc tanA=ab
sinB=bc cosB=ac tanB=ba
（4）面积公式：S=12ab=12ch（为斜边上的高）
3. 解直角三角形的基本类型及其解法
【典例】
例1（2020秋•南漳县校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC=513，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求BFCF的值．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC=513，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD=AB2-AD2=132-52=12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的正切=DEAD=65；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴CDAD=CGFG=35，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴BFCF=5x8x=58．
【方法总结】
本题是考查了解直角三角形的问题，熟练掌握三角函数的定义，在直角三角形中，根据三角函数的定义列式，如果没有直角三角形，或将角转化到直角三角形内，或作垂线构建直角三角形．
例2（2020春•江岸区校级月考）（1）如图1所示，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB和BC的长．
（2）如图2，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD=34，求sinC的值．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H.
∵∠AHC＝90°，∠C＝45°，
∴AH＝HC=22AC=2，
∵∠B＝30°，∠AHB＝90°，
∴AB＝2AH＝22，
∴BH=3AH=6，
∴BC＝BH+CH=6+2．
（2）在Rt△BAD中，∵tan∠BAD=34，AD＝12，
∴BDAD=34，
∴BD＝9，
∵BC＝14，
∴CD＝BC﹣BD＝14﹣9＝5，
∴AC=AD2+CD2=122+52=13，
∴sinC=ADAC=1213．
【方法总结】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【随堂练习】
1．（2020秋•肇源县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
【解答】解：在Rt△CDE中，sinC=DECE，
∴CE=DEsin30°=12；
在Rt△ABC中，tanC=ABBC，
∴BC=ABtan30°=83．
∴BE＝BC﹣CE＝83-12，
∴BE的长为83-12．
2．（2020秋•瓜州县期末）如图，在平面直角坐标系内，点O为原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且AO＝BO＝10，tan∠BOA=34．
（1）求点B坐标；
（2）求cos∠BAO的值．
【解答】解：（1）作BC⊥OA于C，如图，
在Rt△BOC中，tan∠BOC=BCOC=34，
设BC＝3t，OC＝4t，
∴OB=BC2+OC2=5t，
∴5t＝10，解得t＝2，
∴BC＝6，OC＝8，
∴B点坐标为（8，6）；
（2）∵OA＝10，OC＝8，
∴AC＝2，
在Rt△ACB中，∵BC＝6，AC＝2，
∴AB=AC2+BC2=210，
∴cos∠BAC=ACAB=2210=1010，
即cos∠BAO=1010．
知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题
1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母表示．
2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比，用字母表示，则i=hl=tanα．
【典例】
例1 （2020•盱眙县校级模拟）我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3．有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．（参考数据：2=1.414，3=1.732）
【解答】解：该文化墙PM不需要拆除，
理由：设新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：3，
∴tanα=13=33，
∴α＝30°．
作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，
∵新坡面的坡度为1：3，
∴tan∠CAD=CDAD=6AD=13，
解得，AD＝63，
∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，
∴BD＝6米，
∴AB＝AD﹣BD＝（3-6）米，
又∵PB＝8米，
∴PA＝PB﹣AB＝8﹣（3-6）＝14﹣63≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．
【方法总结】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数值和数形结合的思想解答．
例2 （2020•沙坪坝区自主招生）如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2m，CF＝1m，∠DPE＝15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为（ ）
（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP＝90°，
∵∠A＝90°，∠B＝65°，
∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∵∠DPE＝15°，
∴∠APD＝130°，
∴∠CPF＝50°，
∵F为PD的中点，
∴DF＝PF=12PD＝1，
∴CF＝PF＝1，
∴CP＝2PG＝2×PF•cos50°≈2×1×0.64≈1.28，
∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.28≈1.5（m）．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．
故选：C．
【方法总结】
本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
【随堂练习】
1．（2020•富阳区一模）如图，坡角为27°的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（ ）
A．80cos27°米 B．80cos27°米 C．80tan27°米 D．80sin27°米
【解答】解：如图，作BC⊥AC于C，
由题意得，∠ABC＝27°，
在Rt△ABC中，cos∠ABC=BCAB，
∴BC＝AB•cos∠ABC＝80cos27°（米），
故选：B．
2．（2020•石家庄模拟）如图是某河坝横断面示意图，AC为迎水坡，AB为背水坡，过点A作水平面的垂线AD，BD＝2CD，设斜坡AC的坡度为iAC，坡角为∠ACD，斜坡AB的坡度为iAB，坡角为∠ABD，则下列结论正确的是（ ）
A．iAC＝2iAB B．∠ACD＝2∠ABD C．2iAC＝iAB D．2∠ACD＝∠ABD
【解答】解：斜坡AC的坡度iAC=ADCD，斜坡AB的坡度iAB=ADBD，
∵BD＝2CD，
∴iAC＝2iAB，A正确，C错误；
∠ACD≠2∠ABD，B错误；
2∠ACD≠∠ABD，D错误；
故选：A．
知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题
1.仰角和俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
【典例】
例1（2021•松江区一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A、B、C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A、B、C、D、E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37°，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．
（1）求斜坡DE的高EH的长；
（2）求信号塔AB的高度．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
【解答】解：（1）过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝65米，CD＝60米，
∴设EH＝x，则DH＝2.4x．
在Rt△DEH中，
∵EH2+DH2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝652，
解得，x＝25（米）（负值舍去），
∴EH＝25米；
答：斜坡DE的高EH的长为25米；
（2）∵DH＝2.4x＝60（米），
∴CH＝DH+DC＝60+60＝120（米）．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EH⊥CD，
∴四边形EHCM是矩形，
∴EM＝CH＝120米，CM＝EH＝25米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝37°，
∴AM＝EM•tan37°≈120×0.75＝90（米），
∴AC＝AM+CM＝90+25＝115（米）．
∴AB＝AC﹣BC＝115﹣92＝23（米）．
答：信号塔AB的高度为23米．
【方法总结】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
例2 （2021•徐汇区一模）为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时60千米的道路AB（如图所示），当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行220米到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°（注：即四边形ABDC是梯形）．
（1）求限速道路AB的长（精确到1米）；
（2）如果李师傅在道路AB上行驶的时间是1分20秒，请判断他是否超速？并说明理由．
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
【解答】解：（1）根据题意，得∠CAB＝37°，CD＝220米，∠DAB＝30°，∠DBA＝45°，
如图，过点C和点D作CE和DF垂直于AB于点E和F，
∵CD∥AB，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE＝DF，CD＝EF，
∵∠DBA＝45°，
∴DF＝BF，
设DF＝BF＝CE＝x米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，DF＝x米，
∴AF=3DF=3x（米），
∴AE＝AF﹣EF＝（3x﹣220）米，
在Rt△AEC中，∠CAE＝37°，
∵CE＝AE•tan37°，
∴x＝（3x﹣220）×0.75，
解得x＝60（33+4）＝（1803+240）米，
∴AE=3x﹣220＝（320+2403）米，
FB＝x＝（1803+240）（米），
∴AB＝AE+EF+FB
＝320+2403+220+1803+240
＝780+4203
≈1507（米），
答：限速道路AB的长约为1507米；
（2）∵1分20秒=145小时，
∴该汽车的速度约为：1507÷145≈67.8km/h＞60km/h，
∴该车超速．
【方法总结】
本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．
【随堂练习】
1．（2021•长宁区一模）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示意图．
身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53°．如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头到地面的距离以身高计，sin53°≈0.8，cos53°＝0.6，cot53°≈0.75，3≈1.73．）
【解答】解：延长BC交AD于点E，设CE＝x米．
∵tan53°=AECE，tan30°=AEBE，
∴CE=xtan53°≈0.75x，BE=xtan30°≈1.73x，
∴BC＝BE﹣CE＝1.73x﹣0.75x＝0.98．
解得x＝1，
∴CE＝1，
∴AD＝AE+ED＝1+1.6＝2.6（米）．
答：测温门顶部A处距地面的高度约为2.6米．
2．（2021•闵行区一模）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．
（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度i＝1：23时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．
【解答】解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，
∵∠PQB＝90°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝PQ•tan30°＝9×33=33（米）．
（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．
由题意，∠PAH＝∠TPA＝30°，
设AM＝a米，则BM＝23a米，
∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，
∴四边形AHQM是矩形，
∴AH＝QM＝（33+23a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米，
在Rt△APH中，tan∠PAH=PHAH，
∴33=9-a33+23a，
解得a＝2，
∴AM＝2（米），BM＝43（米），
∴AB=AM2+BM2=22+(43)2=213（米）．
知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题
1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．
目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
2. 方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．
如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
【典例】
例1 （2020春•江夏区校级月考）如图，一艘渔船正以3233海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看小岛C在船北偏东60°，60分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30°．
（1）求小岛C到航线AB的距离．
（2）已知以小岛C为中心周围20海里内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？若渔船进去危险区，那么经过多少分钟可穿过危险区？
【解答】解：（1）作CD⊥AB于点D，如图1所示：
由题意可知：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝30°，
即∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB=3233×6060=3233，
在Rt△CBD中，CD＝CB•sin∠CBD=3233×32=16；
即小岛C到航线AB的距离为16海里；
（2）∵CD＝16＜20，
∴这艘渔船继续向东追赶鱼群，会有进入危险区的可能，
设M为开始进入危险区的位置，N为离开危险区的位置，如图2所示：
则CM＝CN＝20，
∵CD⊥AB，
∴DM＝DN，
在Rt△CMD中，DM=CM2-CD2=202-162=12，
∴MN＝2DM＝24，
∵243233=334，
∴渔船进去危险区，那么经过334分钟可穿过危险区．
【方法总结】
本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识；结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
例2 （2020•永州）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3≈1.73，5≈2.24，7≈2.65）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作AD⊥BC于D，如图：
则∠ADB＝∠ADC＝90°，
由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴BD=12AB＝30，AD=3BD＝303≈51.9＞50，
∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
（2）由（1）得：BD＝30，AD＝303，
∵BC＝3×30＝90，
∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，
在Rt△ADC中，AC=AD2+DC2=(303)2+602=307≈79.50（海里）；
答：A，C之间的距离约为79.50海里．
【方法总结】
本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
【随堂练习】
1.（2020•桥西区模拟）如图，一艘快艇从O港出发，向西北方向行驶到M处，然后向正东行驶到N处，再向西南方向行驶，共经过1.5小时回到O港，已知快艇的速度是每小时50海里，则M，N之间的距离是（ ）海里
A．752-75 B．7542-754 C．752 D．502
【解答】解：如图所示：
由题意得：∠NOC＝45°，∠MOD＝45°，
∴∠MON＝90°，
∵MN∥x轴，
∴∠MNO＝∠NOC＝45°，∠NMO＝∠MOD＝45°，
∴△MON为等腰直角三角形，
∴OM＝ON=22MN，
∵OM+OM+MN＝50×1.5＝75（海里），
∴22MN+22MN+MN＝75，
解得：MN＝752-75（海里），
即M，N之间的距离是（752-75）海里；
故选：A．
2．（2020•吴江区二模）一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（ ）
A．（153-15）海里、15海里
B．（153-152）海里、5海里
C．（153-152）海里、152海里
D．（153-15）海里、152海里
【解答】解：过S作SC⊥AB于C，在AB上截取CD＝AC，
∴AS＝DS，
∴∠CDS＝∠CAS＝30°，
∵∠ABS＝15°，
∴∠DSB＝15°，
∴SD＝BD，
设CS＝x，
在Rt△ASC中，∵∠CAS＝30°，
∴AC=3x，AS＝DS＝BD＝2x，
∵AB＝30海里，
∴3x+3x+2x＝30，
解得：x=15(3-1)2，
∴AS＝（153-15）（海里）；
∴BS=CS2+BC2=152（海里），
∴灯塔S离观测点A、B的距离分别是（153-15）海里、152海里，
故选：D．
综合运用
1．（2020秋•武功县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sinB=1213，则AC的长是（ ）
A．25 B．12 C．5 D．13
【解答】解：∵∠C＝90°，sinB=1213，
∴设AC＝12x，AB＝13x，
52+（12x）2＝（13x）2，
解得：x＝1，
∴AC＝12，
故选：B．
2．（2020秋•肇州县期末）计算：
（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；
（2）sin45°cos30°-tan60°+cos45°•sin60°．
【解答】解：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°
＝2×12-3×1×22+4×12
＝1-322+2
＝3-322；
（2）sin45°cos30°-tan60°+cos45°•sin60°
=2232-3+22×32
=2-3+64
=-63+64
=-612．
3．（2020秋•龙沙区期末）如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，
由题意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴DEEC=10.75=43，
设DE＝4x，则EC＝3x，
由勾股定理可得：CD=(4x)2+(3x)2=5x，
又∵CD＝50，
∴5x＝50，
∴x＝10，
∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，
在Rt△ADF中，AF＝tan30°×DF=33×90＝303（m），
∴AB＝AF+FB＝（303+40）m，
即此建筑AB的高度为（303+40）m．
声明：试题解析著作权34
未经书面同意，不得复制4．（2020春•思明区校级月考）设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sinA、cosA和tanA．
【解答】解：如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，b＝6，c＝10，
∴a=102-62=8，
∴sinA=ac=810=45；
cosA=bc=610=35；
tanA=ab=86=43．
5．（2020秋•龙凤区校级月考）根据下列条件，解直角三角形：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝23，b＝2；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝23，b＝2，
∴c=a2+b2=4，
∴sinA=ac=32，sinB=bc=12，
∴∠A＝60°，∠B＝30°．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝30°，
∴sinA=ac=32，sinB=bc=12，
∴a＝33，b＝3．
声明：试题解析著作66
6. 6.（2020•海陵区一模）水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（3≈1.73）求：
（1）坝底AB的长（精确到0.1）；
（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：3，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
【解答】解：（1）如图，分别过C、D作CF⊥AB，DH⊥AB，垂足分别为F、H，
得四边形CDHF是矩形，
∴CD＝HF＝4m，DH＝CF＝3m，
在Rt△ADH中，由坡度i＝1：1，
得AH＝DH＝3m，
在Rt△BCF中，∠B＝60°，CF＝3m，
得BF=3m，
则AB＝AH+HF+FB＝7+1.7≈8.7m；
则坝底AB的长约为8.7m；
（2）由题意得，Rt△EDH中，DH：EH＝1：3，
∴EH＝33m，
则AE＝EH﹣AH＝33-3≈2.2m，
2.2m＜2.5m，
所以没有影响．
7．（2020•安阳县模拟）如图，在某次军事演习时，中国空警机A在北偏东22°方向上发现有不明敌机在钓鱼岛P附近徘徊，并快速报告给东海司令部．此时正在空警机A的正西方向200km处巡逻的中国歼击机B接到任务，迅速赶往北偏东60°方向上的钓鱼岛P处，已知歼击机B的速度是2.2马赫（1马赫大约等于1200km/h）．请根据以上信息，求出歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间．（结果精确到1s．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73）
【解答】解：过点P作PC⊥BA交BA的延长线于C，
设AC＝xkm，则BC＝（200+x）km，
在Rt△PAC中，tan∠APC=ACPC，
∴PC=ACtan∠APC≈x0.4=2.5x，
在Rt△BCP中，tan∠PBC=PCBC，
∴2.5x200+x≈33，
解得，x≈60，则PC＝2.5x＝150，
在Rt△PBC中，∠PBC＝30°，
∴BP＝2PC＝300，
∴歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间为：3002.2×1200×3600≈410（s），
答：歼击机B到达钓鱼岛P所需的时间约为410s．
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日期：2021/1/22 18:59:47；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626
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