人教版中考一轮复习 第10讲 统计与概率--基础班 试卷

第10讲  统计与概率

知识点1  数据的收集、整理与描述

1. 普查和抽样调查

普查：为一特定目的而对所有考查对象所做的调查叫普查．

好处：调查结果准确；

缺点：花费多，工作量大，全面调查只在样本很少的情况下适合采用；

抽样调查：为一特定目的而对部分考查对象所做的调查叫做抽样调查．

好处：耗费的人力，物力，财力少，工作量小；

缺点：调查结果不如普查精确，受样本容量大小及其代表性影响较大；

2.总体、个体、样本、样本容量

总体：所考察对象的全体；

个体：组成总体的每一个考察对象；

样本：从总体重所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；

样本容量：样本中的个体数目；

3.常见的统计图有：扇形统计图、条形统计图和折线统计图．

扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比；

条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据；

折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势．

扇形统计图中，扇形的圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°．

4.在选择制作统计图时，需要根据了解的情况而定：

若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比，则选择扇形统计图；

若要清楚地反映数据的变化过程和趋势，则选择折线统计图；

若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据，则选择条形统计图．

5.频数：某个对象出现的次数称为该对象的频数，各频数之和为试验的总次数．

6.频率：频数与总次数的比值称为频率．

7.频数分布表

（1）在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．

（2）列频数分布表的步骤：

　　①计算极差，即计算最大值与最小值的差．

　　②决定组距与组数（一般100以内的数据分成5～12组）．

　　③决定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一些．

　④列频数分布表．

组数的决定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，分为5~8组；当50≤n≤100时，则分为8~12组．

分点的决定方法：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是保留小数点后的一位数，则分点数据减去0.05．

8.频数分布直方图

画出频数分布表以后，构造一个坐标系，用横轴表示各组数据，纵轴表示频数，以该组内的频数为高，组距为宽，画一个长方形，每组两端的数据也可以用中位数来代替．各小组的频数之和等于数据总数．

【典例】

例1（2020秋•金塔县期末）下列调查，比较容易用普查方式的是（　　）

A．了解某市居民年人均收入 

B．了解某一天离开贵阳市的人口流量 

C．了解某市中小学生的近视率 

D．了解某市初中生体育中考成绩

例2（2020秋•肃州区期末）某市今年共有7万名考生参加中考，为了了解这7万名考生的数学成绩，从中抽取了1000名考生的数学成绩进行统计分析．以下说法正确的有（　　）个．

①这种调查方式是抽样调查；

②7万名学生是总体；

③每名学生的数学成绩是个体；

④1000名学生的数学成绩是总体的一个样本；

⑤1000名学生是样本容量．

A．1 B．2 C．3 D．4

例3（2020秋•本溪期末）某单位有5名司机，分别用A，B，C，D，E表示，某月各位司机的耗油费用如下表：

根据表中的数据制作统计图，为了更清楚地比较每位司机的耗油费用，应选择（　　）

A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．以上都不对

例4（2020春•江岸区校级月考）一个样本容量为80的样本最大值是123，最小值是50，取10为组距，则可分为　　组．

例5（2020秋•长春期末）“数学运算”是数学学科核心素养之一，长春市某校对八年级学生“数学运算能力”情况进行调研，从该校360名八年级学生中抽取了部分学生进行运算能力测试，并对测试成绩进行分析，成绩分为A、B、C三个层次，绘制了频数分布表（如表），请根据图表信息解答下列问题：

（1）补全频数、频率分布；

（2）如果成绩为A等级的同学属于优秀，请你估计该校八年级约有多少人达到优秀水平？

【随堂练习】

1．（2020秋•铁西区期末）在“生命安全”主题教育活动中为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，制定了如下方案，你认为最合理的是（　　）

A．抽取乙校七年级学生进行调查 

B．在丙校随机抽取600名学生进行调查 

C．在其中两个学校各随机抽取150名老师进行调查 

D．在四个学校各随机抽取150名学生进行调查

2．（2020秋•罗湖区期末）为了直观地表示世界七大洲的面积各占全球陆地面积的百分比，最适合使用的统计图是（　　）

A．扇形图 B．条形图 C．折线图 D．直方图

3．（2020秋•兰州期末）为了了解我县初一4300名学生在疫情期间“数学空课”的学习情况，全县组织了一次数学检测，从中抽取100名考生的成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　）

A．这100名考生是总体的一个样本 

B．4300名考生是总体 

C．每位学生的数学成绩是个体 

D．100名学生是样本容量

4．（2020春•崇川区校级月考）一个容量为100的样本的最大值是120，最小值是48，取组距为10，则可分成　　组．

5．（2020秋•长春期末）某校开展了“放飞梦想”征文比赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛作品的成绩（单位：分）进行统计如下：

请根据上表提供的信息，解答下列问题：

（1）彤彤的成绩为84分，她的成绩属于　　等级；

（2）表中y的值为　　；

（3）若d＝200，则a＝　　．

6．（2020秋•宽城区期末）某校为了解九年级学生休息日时每天学习的时长情况，随机抽取了n名九年级学生进行调查，据调查每名学生休息日时每天学习时长都少于5小时．该校将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：

（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是　　．（填写“全面调查”或“抽样调查”）

（2）求n的值．

（3）若该校九年级共有450名学生，请估计该校休息日时每天学习时长在“3≤t＜4”范围的学生人数．

知识点2  数据的分析

1.数据的集中趋势

（1）算术平均数：

把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商.

公式：

使用：当所给数据，，…，中各个数据的重要程度相同时，一般使用该公式计算平均数.

（2）加权平均数：

若n个数，，…，的权分别是，，…，，则叫做这n个数的加权平均数.

使用：当所给数据，，…，中各个数据的重要程度（权）不同时，一般选用加权平均数计算平均数.

权的意义：权就是权重，即数据的重要程度.

常见的权：1）数值、2）百分数、3）比值、4）频数等。

（3）组中值：

数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据.

（4）中位数：

将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

意义：在一组互不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半.

（5）众数：

一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.

特点：可以是一个也可以是多个.

用途：当一组数据中有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量.

（6）平均数、中位数、众数的区别：

平均数能充分利用所有数据，但容易受极端值的影响；中位数计算简单，它不易受极端值的影响，但不能充分利用所有数据；当数据中某些数据重复出现时，人们往往关心众数，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义.

2.数据的波动

（1）极差：

一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差.

（2）方差：

各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作.用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是：

意义：方差（）越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.

结论：①当一组数据同时加上一个数a时，其平均数、中位数、众数也增加a,而其方差不变；

②当一组数据扩大k倍时，其平均数、中位数和众数也扩大k倍，其方差扩大倍.

【典例】

例1（2020春•长葛市期末）为了增强学生对新型冠状病毒的认识与防控能力，某学校组织了“抗击疫情，我们在行动”学生手抄报比赛活动．其中八年级五个班收集的作品数量（单位：幅）分别为：42，48，45，46，49，则这组数据的平均数是（　　）

A．44幅 B．45幅 C．46幅 D．47幅

例2（2020春•西湖区校级期中）一组数据按从小到大排列为2，4，6，x，14，15，若这组数据的中位数为9，则x是（　　）

A．7 B．9 C．12 D．13

例3（2020春•邹平市期末）学校组织了“我和我的祖国”演讲比赛，甲、乙两队各有10人参加本次比赛，成绩（10分制）如下表所示．

（1）甲队成绩的众数是　　分，乙队成绩的平均数是　　分．

（2）问哪个队的成绩较为整齐？

例4（2020•高新区校级三模）某学校要调查学生关于“新冠肺炎”防治知识的了解情况，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行测试（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：

（成绩得分用x表示，共分成四组：A．80≤x＜85，B．85≤x＜90，C．90≤x＜95，D．95≤x≤100），

七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．

八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．

七、八年级抽取的学生成绩统计表

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；

（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“新冠肺炎”知识较好？请说明理由．

（3）该校七、八年级共1200人参加了此次调查活动，估计参加此次调查活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？

【随堂练习】

1．（2020春•韩城市期末）某校5个环保小队参加植树活动，平均每组植树10棵，已知第一、二、三、五组分别植树9棵、12棵、9棵、8棵，则第四小组植树（　　）

A．7棵 B．9棵 C．10棵 D．12棵

2．（2020秋•法库县期末）学校广播站要招收一名播音员，考查形象、知识面、普通话三个项目．按形象占10%，知识面占40%，普通话占50%，计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．李明和王亮两位同学的各项成绩如下表：

（1）计算李明同学的总成绩；

（2）若王亮同学要在总成绩上超过李明同学，则王亮同学的普通话成绩x应在多少分以上？

3．（2020春•上蔡县期末）在学校举办的一次文艺汇演比赛中，八（1）班和八（2）班参加表演比赛的女生身高（单位：cm）分别是：

八（1）班：163  164  165  165  165  165  166  167

八（2）班：162  164  164  165  166  166  166  167

（1）把表格补充完整

（2）从数据来看，哪个班女生的身高更整齐？请你从方差的角度说明理由．

知识点3  概率的计算

1．随机事件

（1）确定事件

事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．

2．概率的意义

（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m、n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
    （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
    （3）概率取值范围：0≤p≤1．
    （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
    （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．

3.概率的公式

（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．

4.列举法和树状法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
    （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
    （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
    （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
    （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

5.游戏公平性

（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
    （2）概率=所求情况数/总情况数．

6. 利用频率估计概率

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
    （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
    （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．

【典例】

例1（2020秋•延边州期末）下列说法正确的是（　　）

A．通常加热到100℃时，水沸腾是随机事件 

B．掷一次骰子，向上一面的点数是6是不可能事件 

C．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件 

D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件

例2（2020秋•会宁县期末）在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的若干个红球和白球，其中红球5个，且从中摸出红球的概率为，则袋中白球的个数为（　　）

A．10 B．15 C．5 D．2

例3（2020春•秦淮区期末）转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字　　的区域的可能性最小．

例4（2020秋•红桥区期末）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．

（1）请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；

（2）求两次取出的小球标号相同的概率；

（3）求两次取出的小球标号的和等于4的概率．

【随堂练习】

1．（2020秋•郧西县期末）下列事件是必然事件的是（　　）

A．任意一个五边形的外角和等于540° 

B．投掷一个均匀的硬币100次，正面朝上的次数是50次 

C．367个同学参加一个聚会，他们中至少有两名同学的生日是同月同日 

D．正月十五雪打灯

2．（2020秋•道里区期末）袋子中装有4个黑球、2个白球，这些球的形状、大小、质地完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，是白球的概率是（　　）

A． B． C． D．

3．（2020春•龙泉驿区期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向　　颜色的可能性最小．

4．（2020秋•兰州期末）ETC（ElectronicTollCollection）不停车收费系统是目前世界上最先进的路桥收费方式．安装有ETC的车辆通过路桥收费站无需停车就能交纳费用．某高速路口收费站有A，B，C，D四个ETC通道，车辆可任意选择一个ETC通道通过，且通过每个ETC通道的可能性相同，一天，小李和小赵分别驾驶安装有ETC的汽车经过此收费站．

（1）求小李通过A通道的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法表示出两人通过此收费站的所有可能结果，并求出小李和小赵经过相同通道的概率．

综合运用

1．（2020春•营山县期末）要直观介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　）

A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图

2．（2020秋•肃州区期末）数据5、7、x、9、8的平均数是8，则x＝　　．

3．（2020春•邹平市期末）某公司招聘职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行测试．测试结果如下表（各项满分均为10分）：

如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：2：3的比例确定各人的最终得分，并以此为依据录取得分最高者，那么将被录取的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

4．（2020秋•锦州期末）某书店与一所山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500，则这组数据的众数、中位数分别是（　　）

A．300，150 B．300，200 C．300，300 D．600，300

5．（2020秋•滨海新区期末）当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如图：

解答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽测了　　名学生；

（2）参加抽测的学生的视力的众数在　　范围内；中位数在　　范围内；

（3）若视力为4.9及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数约为多少？

6．（2020秋•昌图县期末）近年来，人们购物的支付方式发生着巨大变化，随着微信和支付宝这两种手机支付方式的加入，它们与刷银行卡和现金支付已经成为四种最常用的支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从这四种支付方式中选择一种方式进行支付．请用列表或画树状图的方法解决下列问题：

（1）求出两人恰好选择同一种支付方式的概率；

（2）若此次购物，小明不选择现金支付，求出两人恰好都选择手机支付方式的概率．

7．（2020秋•定西期末）在定西这块深沉的土地上，处处彰显着文化的韵味．如石器时代的马家窑文化、齐家文化，青铜时代的辛店文化，寺洼文化．现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上．

（1）从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为　　；

（2）从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率．