人教版中考一轮复习 第10讲 统计与概率--尖子班

第10讲  统计与概率

知识点1  数据的收集、整理与描述

1. 普查和抽样调查

普查：为一特定目的而对所有考查对象所做的调查叫普查．

好处：调查结果准确；

缺点：花费多，工作量大，全面调查只在样本很少的情况下适合采用；

抽样调查：为一特定目的而对部分考查对象所做的调查叫做抽样调查．

好处：耗费的人力，物力，财力少，工作量小；

缺点：调查结果不如普查精确，受样本容量大小及其代表性影响较大；

2.总体、个体、样本、样本容量

总体：所考察对象的全体；

个体：组成总体的每一个考察对象；

样本：从总体重所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本；

样本容量：样本中的个体数目；

3.常见的统计图有：扇形统计图、条形统计图和折线统计图．

扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比；

条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据；

折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势．

扇形统计图中，扇形的圆心角=该统计项目占总体的百分比×360°．

4.在选择制作统计图时，需要根据了解的情况而定：

若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比，则选择扇形统计图；

若要清楚地反映数据的变化过程和趋势，则选择折线统计图；

若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据，则选择条形统计图．

5.频数：某个对象出现的次数称为该对象的频数，各频数之和为试验的总次数．

6.频率：频数与总次数的比值称为频率．

7.频数分布表

（1）在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．

（2）列频数分布表的步骤：

　　①计算极差，即计算最大值与最小值的差．

　　②决定组距与组数（一般100以内的数据分成5～12组）．

　　③决定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一些．

　④列频数分布表．

组数的决定方法：设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，分为5~8组；当50≤n≤100时，则分为8~12组．

分点的决定方法：若数据为整数，则分点数据减去0.5；若数据是保留小数点后的一位数，则分点数据减去0.05．

8.频数分布直方图

画出频数分布表以后，构造一个坐标系，用横轴表示各组数据，纵轴表示频数，以该组内的频数为高，组距为宽，画一个长方形，每组两端的数据也可以用中位数来代替．各小组的频数之和等于数据总数．

【典例】

例1（2020秋•渝中区校级月考）要反映重庆市这5年来农民每年的年收入所占百分比，应选用（　　）

A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．统计表

例2（2020春•高新区期中）今年某校有2000名学生参加线上学习，为了解这些学生的数学成绩，从中抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　）

A．2000名学生是总体 

B．每位学生的数学成绩是个体 

C．这100名学生是总体的一个样本 

D．100名学生是样本容量

例3（2020秋•铁西区期末）为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（竞赛成绩为百分制，本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：

信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含左端点值，不含右端点值）．

信息二：第三组的成绩（单位：分）为

74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75

根据信息解答下列问题：

（1）第二组的学生人数是　　人；

（2）第三组竞赛成绩的众数是　　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是　　分；

（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的有多少人？

【随堂练习】

1．（2020春•花都区期末）要反映花都区六月上旬每天的最高气温的变化趋势，最宜采用（　　）

A．折线图 B．条形图 C．扇形图 D．直方图

2．（2020秋•沙坪坝区校级月考）为了解上河中学1500名学生的视力情况，随机抽查了500名学生的视力进行统计分析，下列说法正确的是（　　）

A．500名学生的视力是总体的一个样本 

B．500名学生是总体 

C．500名学生是总体的一个个体 

D．样本容量是1500名

3．（2020秋•锦州期末）争创全国文明城市，从我做起．某校在八年级开设了文明礼仪校本课程，为了解学生的学习情况，该校举办了八年级全体学生参加的《创文明城，做文明人》知识竞赛，从中随机抽取了30名学生的成绩（单位：分），整理数据后得到下列不完整的频数分布表和频数直方图：

请根据图表提供的信息回答下列问题：

（1）频数分布表中a＝　　，b＝　　；

（2）补全频数直方图；

（3）若成绩不低于90分为优秀，估计该校八年级600名学生中达到优秀等级的人数．

4．（2020秋•南关区校级月考）为弘扬中华传统文化，某校组织七年级800名学生参加诗词大赛，为了解学生整体的诗词积累情况，随机抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据尚未完成的下列图表，解答问题：

（1）本次抽样中，表中m＝　　，n＝　　，样本成绩的中位数落在第　　组内；

（2）补全频数分布直方图；

（3）若规定成绩超过80分为优秀，请估计该校七年级学生中诗词积累成绩为优秀的人数．

知识点2  数据的分析

1.数据的集中趋势

（1）算术平均数：

把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商.

公式：

使用：当所给数据，，…，中各个数据的重要程度相同时，一般使用该公式计算平均数.

（2）加权平均数：

若n个数，，…，的权分别是，，…，，则叫做这n个数的加权平均数.

使用：当所给数据，，…，中各个数据的重要程度（权）不同时，一般选用加权平均数计算平均数.

权的意义：权就是权重，即数据的重要程度.

常见的权：1）数值、2）百分数、3）比值、4）频数等。

（3）组中值：

数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据.

（4）中位数：

将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

意义：在一组互不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半.

（5）众数：

一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数.

特点：可以是一个也可以是多个.

用途：当一组数据中有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量.

（6）平均数、中位数、众数的区别：

平均数能充分利用所有数据，但容易受极端值的影响；中位数计算简单，它不易受极端值的影响，但不能充分利用所有数据；当数据中某些数据重复出现时，人们往往关心众数，但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义.

2.数据的波动

（1）极差：

一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差.

（2）方差：

各个数据与平均数之差的平方的平均数，记作.用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，计算公式是：

意义：方差（）越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小.

结论：①当一组数据同时加上一个数a时，其平均数、中位数、众数也增加a,而其方差不变；

②当一组数据扩大k倍时，其平均数、中位数和众数也扩大k倍，其方差扩大倍.

【典例】

例1 （2020春•荔湾区期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是（　　）

A．8 B．6 C．4 D．2

例2（2020秋•乳山市期中）某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分均为100，八年级2班这四项得分依次为80，90，84，70．若按下表所占比例进行折分，则该班四项折分后的综合得分为（　　）

A．81.5 B．82.5 C．84 D．86

例3（2020秋•本溪期末）某中学八（1）班8个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：115，138，126，143，134，126，157，118．这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．126，126 B．126，130 C．130，134 D．118，134

例4（2020春•唐河县期末）为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育刘老师对全班45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：

初二1班体育模拟测试成绩分析表

根据以上信息，解答下列问题：

（1）这个班共有男生　　人，共有女生　　人；

（2）补全初二1班体育模拟测试成绩分析表；

（3）你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些？并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

【随堂练习】

1．（2020秋•金塔县期末）已知一组数据1，7，10，8，x，6，0，3，若5，则x应等于　　．

2．（2020秋•锦州期末）李刚师范大学毕业后参加了某市教育局组织的教师招聘考试，这次考试包括笔试、面试两项，其笔试、面试成绩按3：7的比例确定各人的最终成绩．考试结束后他笔试、面试的成绩分别为90分、96分，那么李刚参加这次招聘考试的最终成绩为　　分．

1．（2020春•海安市期末）某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“安全知识大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下：

八（1）班：93，98，89，93，95，96，93，96，98，99；

八（2）班：93，94，88，91，92，93，100，98，98，93．

整理后得到数据分析表如下：

（1）填空：a＝　　，b＝　　；

（2）求出表中c的值；

（3）你认为哪个班级成绩好？请写出两条你认为该班成绩好的理由．

知识点3  概率的计算

1．随机事件

（1）确定事件

事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
（2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．

2．概率的意义

（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m、n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．
    （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．
    （3）概率取值范围：0≤p≤1．
    （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．
    （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．

3.概率的公式

（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数．
（2）P（必然事件）=1．
（3）P（不可能事件）=0．

4.列举法和树状法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
    （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
    （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
    （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，像树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
    （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．

5.游戏公平性

（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
    （2）概率=所求情况数/总情况数．

6. 利用频率估计概率

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
    （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
    （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．

【典例】

例1（2020秋•吴兴区期末）下列事件中，不可能事件（　　）

A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 

B．任意掷一枚硬币，正面朝上 

C．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 

D．射击运动员射击一次，命中10环

例2（2020秋•西丰县期末）下列四个图形从中任取一个是中心对称图形的概率是（　　）

A． B．1 C． D．

例3（2020春•盐城期末）如图，任意转动转盘1次，当转盘停止运动时，有下列事件：①指针落在标有5的区域内；②指针落在标有10的区域内；③指针落在标有奇数的区域内．请将这些事件的序号按事件发生的可能性从小到大的顺序依次排列为　　．

例4（2020秋•龙华区期末）《深圳市生活垃圾分类管理条例》9月1日起正式实施，小张从深圳市城市管理和综合执法局网站上搜索到生活垃圾（可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾）分类标准的图标，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相网）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“可回收物”的概率是　　；

（2）小张从中随机抽取一张卡片（不放回）．再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片上的图标恰好分别是“厨余垃圾”和“有害垃圾”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）．

例5（2020秋•舞钢市期末）随着信息技术的发展，人们在购物时的支付方式多样且便捷．可以用微信、支付宝、银行卡、现金四种方式．在某商场购物的张老师可以随机的采用这四种方式中的任意一种结账．一天，他在这个商场有两次结账行为．请你用画树状图或列表格的方式，求出张老师两次结账采用不同方式的概率．

【随堂练习】

1．（2020春•常州期中）一只不透明的袋中装有2个白球，1个红球，3个黄球，这些球除颜色不同外其它都相同，搅均后从中任意摸出一个球，则摸到　　球的可能性最小．

2．（2020秋•长垣市期末）已知一个口袋中装有5个只有颜色不同的球，其中2个白球，3个黑球．

（1）从中随机抽取出一个黑球的概率是　　；

（2）随机摸取一个小球不放回，再随机摸出一个小球．请用列表法（或画树状图法），求两次取出的小球颜色相同的概率；

（3）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．

3．（2020秋•韩城市期末）全运会吉祥物以陕西秦岭独有的四个国宝级动物“金丝猴、羚牛、大熊猫、朱鹮”为创意原型，设计了一组幸福快乐、充满活力、精神焕发、积极向上的运动吉祥物形象．现有四张纪念卡片分别绘有吉祥物的图案（如图），纪念卡背面完全相同．

（1）小丽从四张纪念卡任意抽取一张，则小丽抽取到的卡片绘有吉祥物“羚羚”的概率为　　；

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的动物名称，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的动物名称．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是“熊熊”的概率．

综合运用

1．（2020春•营山县期末）要直观介绍空气中各成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　）

A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图

2．（2020秋•肃州区期末）数据5、7、x、9、8的平均数是8，则x＝　　．

3．（2020春•邹平市期末）某公司招聘职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行测试．测试结果如下表（各项满分均为10分）：

如果将学历、经验和工作态度三项得分按1：2：3的比例确定各人的最终得分，并以此为依据录取得分最高者，那么将被录取的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

4．（2020秋•锦州期末）某书店与一所山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500，则这组数据的众数、中位数分别是（　　）

A．300，150 B．300，200 C．300，300 D．600，300

5．（2020秋•滨海新区期末）当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如图：

解答下列问题：

（1）本次抽样调查共抽测了　　名学生；

（2）参加抽测的学生的视力的众数在　　范围内；中位数在　　范围内；

（3）若视力为4.9及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数约为多少？

6．（2020秋•昌图县期末）近年来，人们购物的支付方式发生着巨大变化，随着微信和支付宝这两种手机支付方式的加入，它们与刷银行卡和现金支付已经成为四种最常用的支付方式．在一次购物中，小明和小亮都想从这四种支付方式中选择一种方式进行支付．请用列表或画树状图的方法解决下列问题：

（1）求出两人恰好选择同一种支付方式的概率；

（2）若此次购物，小明不选择现金支付，求出两人恰好都选择手机支付方式的概率．

7．（2020秋•定西期末）在定西这块深沉的土地上，处处彰显着文化的韵味．如石器时代的马家窑文化、齐家文化，青铜时代的辛店文化，寺洼文化．现有四张不透明的卡片，它们的背面完全一样，正面分别写有马家窑文化、齐家文化、辛店文化、寺洼文化，将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上．

（1）从中随机抽取一张，抽到“辛店文化”的概率为　　；

（2）从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．请通过画树状图或列表法，求抽到的两张卡片所写的都属于石器时代文化的概率．