人教版中考一轮复习 第12讲 图形变换--基础班

第12讲 图形变换

知识点1 翻折变换

翻折就是将一个图形或图形的一部分沿着一条直线折叠。

【典例】

例1（2020秋•道外区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，把△ABD沿AD翻折得到△AED，（点E与点B对应），若∠CAE＝38°，则∠ADC的度数为（　　）

A．52° B．62° C．71° D．72°

例2（2020秋•绥棱县期末）将一张长方形纸ABCD沿EF向右上折叠，折叠后图形如图所示，EF为折痕，已知∠1的余角为30°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．60° C．75° D．90°

例3（2020秋•建平县期末）如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为多少？

【随堂练习】

1．（2020秋•朝阳区期末）如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处，若AB＝6，AD＝10，则EC的长为（　　）

A．2 B． C．3 D．

2．（2020秋•吉林期末）如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为18，△ECF的周长为6，四边形纸片ABCD的周长为（　　）

A．20 B．24 C．32 D．48

3．（2020秋•南关区校级期末）如图，长方形纸片ABCD，AD∥BC，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF．

（1）求证：BE＝BF．

（2）若∠ABE＝18°，求∠BFE的度数．

（3）若AB＝4，AD＝8，求AE的长．

4．（2020秋•任城区校级期中）如图，已知△ABC≌△CDA，将△ABC沿AC所在的直线折叠至△AB′C的位置，点B的对应点为B′，连结BB′．

（1）直接填空：B'B与AC的位置关系是　　；

（2）点P、Q分别是线段AC、BC上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知△BB'C的面积为36，BC＝8，求PB+PQ的最小值．

5．（2020秋•海珠区校级期中）如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．求证：AE＝CE．

6．（2020秋•西陵区校级期中）如图的三角形纸板中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD．

（1）求△AED的周长；

（2）若∠C＝100°，∠A＝50°，求∠BDE的度数．

知识点2平移变换

1、平移的定义

平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。 它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。即是说，若是一个已知的向量，是空间中一点，平移。图片平移的方向，不限于是水平。

2、平移的条件：

确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。

3、平移的要点：

（1）原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。

（2）平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）

（3）平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等）

4、平移的性质

经过平移，对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；

平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。

（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。

（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等。

（3）多次连续平移相当于一次平移。

（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。

（5）平移是由方向和距离决定的。

（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等。

【典例】

例1（2020秋•松江区期末）如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF（点E在线段BC上），如果BC＝8cm，EC＝5cm，那么平移距离为（　　）

A．3cm B．5cm C．8cm D．13cm

例2（2020秋•滦南县期末）如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（　　）

A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm

例3（2020春•曲阳县期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，△ABC平移到△DEF的位置．

（1）指出平移的方向和平移的距离；

（2）试说明AD+BC＝BF．

例4 （2020春•公主岭市期中）如图，将三角形ABC沿射线BA方向平移到三角形A′B′C′的位置，连接AC′．

（1）AA′与CC′的位置关系为　　；

（2）求证：∠A′+∠CAC′+∠AC′C＝180°；

（3）设∠AC′B′＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC′与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．

【随堂练习】

1．（2020秋•柘城县期中）如图，将Rt△ABC沿BC方向平移得Rt△DEF，其中AB＝8，BE＝8，DM＝5，则阴影部分的面积是　　．

2．（2020春•泰兴市期末）如图，△ABC中，BC＝4cm．现将△ABC沿着垂直于BC的方向平移5cm，到△DEF的位置，则△ABC的边AC、AB所扫过的面积是　　cm2．

3．（2020春•仙居县期末）如图，三角形ABC和三角形A'B'C′．

（1）若三角形A'B'C′是由三角形ABC平移得到的，则

①线段AA′与线段BB'的数量关系和位置关系是　　；

②求证：∠AA'B′＝∠ABB'．

（2）若BC∥B'C′，∠C＝∠C′，求证：AC∥A'C′．

4．（2020春•崆峒区期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E．

（1）试说明AE∥BC．

（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，如图2，连接DQ．若∠E＝75°，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数．

知识点3 旋转变换

图形的旋转

1．旋转的定义：

把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角称为旋转角.

如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.

由于旋转前、后两个图形中，对应点与旋转中心的距离总相等，因此对应点必在以旋转中心为圆心，分别以对应点到旋转中心的距离为半径的一组同心圆上，且对应点与旋转中心的连线所成角相等，都等于旋转角.

注意：在旋转过程中保持不动的点是旋转中心，保持不变的量是对应元素．

2．旋转的三个要素：

旋转中心、旋转的角度和旋转方向.

3．旋转的性质：

（1）图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的连线所成的角度；—整体角度

（2）对应点到旋转中心的距离相等；

（3）对应线段相等，对应角相等；——局部角度

（4）图形的形状和大小都没有发生变化，即旋转不改变图形的形状和大小.—变换结果.

【典例】

例1（2020秋•白云区期末）如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（　　）

A．BDOB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C

例2（2020秋•喀什地区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点A恰好在ED的延长线上，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

例3（2020秋•依兰县期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在边CD上．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置，若DE＝2，求FC的长．

例4（2020秋•同心县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在AB上．

（1）若AC＝4，求DE的值；

（2）确定△ACD的形状，并说明理由．

【随堂练习】

1．（2020秋•定西期末）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°

2．（2020秋•南关区校级期末）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°

3．（2020秋•永吉县期末）如图，点E是正方形ABCD的CD边上一点，连接AE，将△ADE顺时针旋转，使AD与AB重合，点E落在CB的延长线上的F处．

（1）旋转中心是　　，旋转角为　　度；

（2）若CE＝3cm，BF＝2cm，求四边形AFCE的面积．

4．（2020秋•定西期末）如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB'C'D'（点B'与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D'与点D是对应点），点B'恰好落在BC边上，求∠C的度数．

综合运用

1．（2020春•南平期末）如图，在矩形ABCD中，E是DC边上一点，将△ADE沿直线AE翻折，得到△AFE，若点F落在BC边上，且BF＝2FC，则的值是（　　）

A． B． C． D．

2．（2020秋•岫岩县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC中点，直角MDN绕点旋转，DM、DN分别与边AB，AC交于E、F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形； ②AE＝CF； ③△BDE≌△ADF； ④BE+CF＝EF．其中正确的是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④

3．（2020秋•道外区期末）如图，▱ABCD中，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，CE、AD相交于点F．

（1）求证：DE∥AC；

（2）连接BD交AC于点O，连接OE，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．

4．（2020秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，联结CE．

（1）求证：AD∥CE；

（2）求CE的长．

5．（2020春•瑶海区期末）如图，已知两条射线BP∥CQ，动线段AD的两个端点A、D分别在射线BP、CQ上，且∠B＝∠ADC＝110°，F在线段AB上，AC平分∠DCF，CE平分∠BCF．

（1）请判断AD与BC的位置关系，并说明理由；

（2）求∠ACE的度数；

（3）若平行移动AD，使∠BEC∠CAD，求∠CAD的度数．

6．（2020春•惠来县期末）如图，AD∥BC，∠B＝∠D＝50°，点E、F在BC上，且满足∠CAD＝∠CAE，AF平分∠BAE．

（1）∠CAF＝　　°；

（2）若平行移动CD，那么∠ACB与∠AEB度数的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动CD的过程中，是否存在某种情况，使∠AFB＝∠ACD？若存在，求出∠ACD度数；若不存在，说明理由．

7．（2020秋•松山区期末）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．

求：①旋转角的度数　　；

②线段OD的长　　；

③求∠BDC的度数．

（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．

日期：2021/1/22 23:12:10；用户：广饶数学；邮箱：chaoyin5@xyh.com；学号：24896626