人教版中考一轮复习 第13讲动点问题--尖子班

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知识点1 动点问题中的函数图象
本讲例举了以三角形、四边形、圆为背景的因点运动而产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系，能够依据题意，在所给出的函数图象中，找准临界点，数形结合，分段思考问题；如果是选择题，综合给出的所有选项，找到异同点，深入分析，快速找到正确选项。
【典例】
例1（2020秋•中原区校级期中）如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．设P、Q出发ts时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系如图2所示（其中曲线OM为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），当点P在ED上运动时，连接QD，若QD平分∠PQC，则t的值为（ ）
A．14﹣25B．13﹣25C．12﹣25D．11﹣25
【解答】解：由题意可得，
BE＝5，BC＝12，
∵当t＝5时，S＝10，
∴10=5×AB2，得AB＝4，
作EH⊥BC于点H，作EF∥PQ，P1Q2∥EF，作DG⊥P1Q2于点G，
则EH＝AB＝4，BE＝BF＝5，
∵∠EHB＝90°，
∴BH=52-42=3，
∴HF＝2，
∴EF=22+42=25，
∴P1Q2＝25，
设当点P运动到P1时，Q2D平分∠P1Q2C，
则DG＝DC＝4，P1D＝17﹣AE﹣EP1＝12﹣3﹣（t﹣5）＝14﹣t，
∴(14-t)2×4=25×42，
解得：t＝14﹣25，
故选：A．
【方法总结】
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
例2（2020秋•台安县期中）如图，已知OA＝2，OB＝4，∠AOB的平分线交AB于点C，点C坐标为（43，43），一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿y轴向点B做匀速运动，一动点Q同时从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点A做匀速运动，作点P，Q关于直线OC的对称点M、N，设点P运动时间为t（0＜t＜2），△MNC与△OAB重叠部分的面积为S，则S关于t的函数关系图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：如图1，过点C作CF⊥x轴于点F，CE⊥y轴于点E，
由题意P（0，2t）、Q（t，0）．
∵对称轴OC为第一象限的角平分线，
∴对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）．
当0＜t≤1时，如图1所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为S△CMN．
S△CMN＝S四边形CMON﹣S△OMN＝（S△COM+S△CON）﹣S△OMN＝（12•2t×43+12•t×43）-12•2t•t＝﹣t2+2t；
当1＜t＜2时，如图2所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为S△CDN．
设直线MN的解析式为y＝kx+b，将M（2t，0）、N（0，t）代入得2tk+b=0b=t，解得k=-12b=t，
∴y=-12x+t；
同理求得直线AB的解析式为：y＝﹣2x+4．
联立y=-12x+t与y＝﹣2x+4，求得点D的横坐标为8-2t3．
S△CDN＝S△BDN﹣S△BCN=12（4﹣t）•8-2t3-12（4﹣t）×43=13t2﹣2t+83．
综上所述，S=-t2+2t(0＜t≤1)13t2-2t+83(1＜t＜2)．
观察图象，可知当t＝1时，S有最大值，最大值为1，
故选：C．
【方法总结】
本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点．正确地进行分类讨论，是解决本题的关键．
例4（2020秋•沈阳期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx过点A（6，m），过点A作x轴的垂线，垂足为点B，过点A作y轴的垂线，垂足为点C．∠AOB＝60°，CD⊥OA于点D．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发．以每秒3个单位长度的速度向点B运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点A时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t（s），且t＞0．
（1）求m与k的值；
（2）当点P运动到点D时，求t的值；
（3）连接DQ，点E为DQ的中点，连接PE，当PE⊥DQ时，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵AB⊥OB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵A（6，m），
∴OB＝6，AB＝m，
∴OA＝2OB＝12，AB＝63，
∴m＝63，即A（6，63），
∵直线y＝kx过点A（6，63），
∴6k＝63，
∴k=3；
（2）如图1，∵AB∥y轴，
∴∠COD＝∠BAO＝30°，
∵CD⊥OA，
∴∠CDO＝90°，
∵OC＝AB＝63，
∴CD=12OC＝33，OD=3CD＝9，
当点P运动到点D时，OP＝OD＝9，
∴t=92；
（3）如图2，连接PQ，过点P作PF⊥AB于F，
由题意得：OP＝2t，AQ=3t，
Rt△ACD中，∠ACD＝30°，AC＝6，
∴AD＝3，
∴PD＝OA﹣AD﹣OP＝12﹣2t﹣3＝9﹣2t，
∵E是DQ的中点，PE⊥DQ，
∴PQ＝PD＝9﹣2t，
Rt△APF中，∠BAO＝30°，
∴PF=12AP=12(12-2t)=6﹣t，
∵AQ=3t，BF=3t，
∴FQ＝AB﹣AQ﹣BF＝63-3t-3t＝63-23t，
Rt△PQF中，由勾股定理得：PQ2＝FQ2+PF2，
∴（9﹣2t）2＝（63-23t）2+（6﹣t）2，
解得：t1＝3（如图3，此时F与Q重合），t2=73，
如图4，过点P作PM⊥x轴于点M，
Rt△OPM中，∠POM＝30°，
∴OM=12OP＝t，PM=3t；
∴P（3，33）或（73，733）．
【方法总结】
本题考查了一次函数和矩形的综合题，考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，几何动点问题，确定两动点的速度和行驶路线是关键，第三问有难度，注意有两种情况，利用数形结合的思想是本题的关键．
【随堂练习】
1．（2020秋•安徽月考）如图，△ABC中，CA＝CB＝5cm，AB＝8cm，直线l经过点A且垂直于AB，现将直线l以1cm/s的速度向右匀速移动，直至经过点B时停止移动，直线l与边AB交于点M，与边AC（或CB）交于点N．若直线l移动的时间是x（s）、△AMN的面积为y（cm2），则y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
在等腰△ABC中，AC＝5，AD=12AB＝4，则CD＝3，
在Rt△ACD中，tanA=CDAD=34=tanB，
（1）当0≤x≤4，如图1，
∵tan∠A=MNAM=34=MNx，即MN=34x，
y=12×AM•MN=12x×34x=38x2，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；
（2）当4＜x≤8时，
同理：y=12x×34（8﹣x）=-38x2+3x，
该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x＝4，
故选：C．
2．（2020•南海区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC＝2，E为BC的中点，连接AE、DE，点P，点Q分别是AE、DE上的点，且PE＝DQ．设△EPQ的面积为y，PE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵BC＝2，E为BC的中点，则BE＝1，
在Rt△ABE中，AE=3，BE＝1，则AE＝2，
同理可得ED＝2＝AE＝AD，
故△ADE为等边三角形，则∠AED＝60°，
∵PE＝QD＝x，则QE＝2﹣x，
在△PQE中，过点P作PH⊥ED于点H，
则PH＝PEsin∠AED＝x•sin60°=32x，
则y=12×PH×EQ=12×32x×（2﹣x）=-34x2+32x，
该函数为开口向下的抛物线，x＝1时，y的最大值为34，
故选：A．
3．（2020秋•城关区校级月考）如图，直线y=-12x+4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y＝x交于点C，在如图线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P，Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q做x轴的垂线，交直线AB、OC于点E，F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．
【解答】解：（1）∵直线y=-12x+4与坐标轴分别交于点A、B，
∴x＝0时，y＝4，y＝0时，x＝8，
∴点A（8，0），点B（0，4），
∴BO＝4，AO＝8，
∴BOAO=12，
当t秒时，QO＝FQ＝t，则EP＝t，
∵EP∥BO，
∴OBAO=EPAP=12，
∴AP＝2t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当PQ＝PE时，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ＝FQ＝t，PA＝2t，
∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，
∴8﹣3t＝t，
解得：t＝2；
如图2，当PQ＝PE时，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ＝t，PA＝2t，
∴OP＝8﹣2t，
∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，
∴t＝3t﹣8，
解得：t＝4，
综上所述：当t＝2或4时，矩形PEFQ为正方形；
（3）如图1，当Q在P点的左边时，
∵OQ＝t，PA＝2t，
∴QP＝8﹣t﹣2t＝8﹣3t，
∴S矩形PEFQ＝QP•QF＝（8﹣3t）•t＝8t﹣3t2，
当t=-82×(-3)=43时，
S矩形PEFQ的最大值=4×(-3)×0-644×(-3)=163，
如图2，当Q在P点的右边时，
∵OQ＝t，PA＝2t，
∴2t＞8﹣t，
∴t＞83，
∴QP＝t﹣（8﹣2t）＝3t﹣8，
∴S矩形PEFQ＝QP•QF＝（3t﹣8）•t＝3t2﹣8t，
∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴83＜t≤4，
∴t＝4时，S矩形PEFQ的最大值＝3×42﹣8×4＝16，
综上所述，当t＝4时，S矩形PEFQ的最大值＝16．
知识点2 动点与存在性问题
在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：
（1）假设结论成立；
（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；
（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解.
【典例】
例1（2020•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求S1S2的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：a-b+3=09a+3b+3=0，
解得a=-1b=2
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∴点C坐标为（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：3k+n=0n=3，
解得k=-1n=3
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（2）①∵PA交直线BC于点D，
∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），
设直线AD的表达式为y＝k1x+b1，
∴-k1+b1=0mk1+b1=-m+3，
解得，k1=-m+3m+1b1=-m+3m+1
∴直线AD的表达式，y=-m+3m+1x+-m+3m+1，
∴-m+3m+1x+-m+3m+1=-x2+2x+3，
整理得，（x-4mm+1）（x+1）＝0
解得x=4mm+1或﹣1（不合题意，舍去），
∴点D的横坐标为m，点P的横坐标为4mm+1，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：
∴DM∥PN，OM＝m，ON=4mm+1，OA＝1，
∴S1S2=S△PDCS△ADC=PDDA=MNAM=4mm+1-mm+1=-m2+3m(m+1)2，
设S1S2=t，则t=-m2+3m(m+1)2
整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，
∵△≥0，
∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，
解得t≤916
∴S1S2有最大值，最大值为916．
②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，
∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴OE＝1，
∵B（3，0），C（0，3）
∴OC＝OB＝3，
又∵∠COB＝90°，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴FG＝GB＝EG＝1，
∴点F的坐标为（2，1），
当EF为边时，
∵四边形EFPQ为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，2），
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．
当EF为对角线时，如图3中，
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，
同理求得：点P的坐标为（2，3），
∴QE＝PF＝3﹣1＝2，
点Q的坐标为（1，﹣2）；
综上，点P的坐标为（2，3）时，点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P（0，3）时，Q（1，4）．
【方法总结】
本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的判定和性质，（3）注意要分EF是对角线与边两种情况讨论．
例2（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，
故C点坐标为（0，﹣3），
又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；
（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x＝3或x＝﹣1，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
设直线BC的解析式为：y＝ax+b，
将C（0，﹣3），B（3，0）代入直线BC的解析式得：-3=b0=3a+b，
解得：a=1b=-3，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，
则S△BCN=S△NQC+S△NQB=12⋅QN⋅(xQ-xC)+12⋅QN⋅(xB-xQ)=12⋅QN⋅(xQ-xC+xB-xQ)=12⋅QN⋅(xB-xC)，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，
故S△BCN=12⋅(-n2+3n)⋅3=-32n2+92n=-32(n-32)2+278，其中0＜n＜3，
当n=32时，S△BCN有最大值为278，
此时点N的坐标为（32，-154），
（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）
分情况讨论：
①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为(xD+xG2，yD+yG2)，即(1+m2，t+m2-2m-32)，
线段BC的中点坐标为(xB+xC2，yB+yC2)，即(3+02，0-32)，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
∴1+m2=32t+m2-2m-32=-32，解得m=2t=0，
经检验，此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；
②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为(xD+xB2，yD+yB2)，即(1+32，t+02)，
线段GC的中点坐标为(xG+xC2，yG+yC2)，即(m+02，m2-2m-3-32)，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
∴1+32=m+02t+02=m2-2m-3-32，解得m=4t=2，
经检验，此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；
③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为(xD+xC2，yD+yC2)，即(1+02，t-32)，
线段GB的中点坐标为(xG+xB2，yG+yB2)，即(m+32，m2-2m-3+02)，
此时DC的中点与GB的中点为同一个点，
∴1+02=m+32t-32=m2-2m-3+02，解得m=-2t=8，
经检验，此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，5）；
综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）；
（4）连接AC，OP，如图2所示：
设MC的解析式为：y＝kx+m，
将C（0，﹣3），M（1，﹣4）代入MC的解析式得：-3=m-4=k+m，
解得：k=-1m=-3
∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，
∴E点坐标为（﹣3，0），
∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，
∴CE＝CB，
∴∠CBE＝∠E，
设P（x，﹣x﹣3），
又∵P点在线段EC上，
∴﹣3＜x＜0，
则EP=(x+3)2+(-x-3)2=2(x+3)，BC=32+32=32，
由题意知：△PEO相似于△ABC，
分情况讨论：
①△PEO∽△CBA，
∴EOBA=EPBC，
∴34=2(x+3)32，
解得x=-34，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为(-34，-94)；
②△PEO∽△ABC，
∴EOBC=EPBA，
∴332=2(x+3)4，
解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．
综上所述，P点的坐标为(-34，-94)或（﹣1，﹣2）．
【方法总结】
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式、平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题．
【随堂练习】
1．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OB＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0），
把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣6中得：4a-2b-6=016a+4b-6=0，
∴抛物线的解析式为：y=34x2-32x﹣6；
（2）如图1，过D作DG⊥x轴于G，交BC于H，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
设BC的解析式为：y＝kx+n，
则n=-64k+n=0，解得：k=32n=-6，
∴BC的解析式为：y=32x﹣6，
设D（x，34x2-32x﹣6），则H（x，32x﹣6），
∴DH=32x﹣6﹣（34x2-32x﹣6）=-34x2+3x，
∵△BCD的面积是92，
∴12DH⋅OB=92，
∴12×4×(-34x2+3x)=92，
解得：x＝1或3，
∵点D在直线l右侧的抛物线上，
∴D（3，-154），
∴△ABD的面积=12AB⋅DG=12×6×154=454；
（3）分两种情况：
①如图2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形，
∵B（4，0），D（3，-154），且M在x轴上，
∴N的纵坐标为154，
当y=154时，即34x2-32x﹣6=154，
解得：x＝1+14或1-14，
∴N（1-14，154）或（1+14，154）；
②如图3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合，
∴N（﹣1，-154）；
综上，点N的坐标为：（1-14，154）或（1+14，154）或（﹣1，-154）．
2．（2019秋•锡山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2，
得9a-3b+2=0a+b+2=0，
解得，a=-23，b=-43，
∴抛物线解析式为：y=-23x2-43x+2，
在y=-23x2-43x+2中，
当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
由二次函数的图象及性质知，当x＜﹣3或x＞1时，y＜0；
（2）存在，理由如下：
如图1，过点P作平行于y轴的直线交AC于点H，
将点A（﹣3，0）、C（0，2）代入y＝kx+b，
得，-3k+b=0b=2，
解得，k=23，b＝2，
∴直线AC的解析式为y=23x+2，
设P（x，-23x2-43x+2），则H（x，23x+2），
∴△ACP的面积S=12PH•OA=12×3（-23x2-43x+2-23x﹣2）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+32）2+94，
∵﹣1＜0，
∴当x=-32时，S有最大值为94，此时P（-32，52）；
（3）如图2，当AQ∥CM且AQ＝CM时，
∵yC＝2，
∴yM＝2，
在y=-23x2-43x+2中，
当y＝2时，x1＝0，x2＝﹣2，
∴M1（﹣2，0），
∴CM＝2，
∴AQ＝2，
∵A（﹣3，0），
∴Q（﹣5，0）或（﹣1，0）；
当AM∥CQ时，
∵yC﹣yA＝2，
∴yQ﹣yM＝2，
∴yM＝﹣2，
在y=-23x2-43x+2中，
当y＝﹣2时，x1＝﹣1-7，x2＝﹣1+7，
∴M2（﹣1-7，﹣2），M3（﹣1+7，﹣2），
∵xC﹣xA＝3，
∴xQ﹣xM＝3，
∴xQ＝2-7或2+7，
∴Q（2-7，0）或（2+7，0），
综上所述，点Q的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）或(2+7，0)或(2-7，0)．
3．（2020春•临川区校级月考）已知抛物线l：y＝ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．
（1）如图，抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是 y＝﹣2x2﹣3 ，衍生直线的解析式是 y＝﹣x﹣3 ；
（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；
（3）如图，设（1）中的抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2﹣2x﹣3过（0，﹣3），
∴设其衍生抛物线为y＝ax2﹣3，
∵y＝2x2﹣2x﹣3＝2（x-12）2-72，
∴衍生抛物线为y＝ax2﹣3过抛物线y＝2x2﹣2x﹣3的顶点（12，-72），
∴-72=14a﹣3，
解得 a＝﹣2，
∴衍生抛物线为y＝﹣2x2﹣3．
设衍生直线为y＝kx+b，
∵y＝kx+b过（0，﹣3），（1，﹣4），
∴-3=0+b-4=k+b，
∴k=-1b=-3，
∴衍生直线为y＝﹣x﹣3．
故答案是：y＝﹣2x2﹣3；y＝﹣x﹣3；
（2）∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点，
∴将y＝﹣2x2+1和y＝﹣2x+1联立，得y=-2x2+1y=-2x+1，
解得x=0y=1或x=1y=-1，
∵衍生抛物线y＝﹣2x2+1的顶点为（0，1），
∴原抛物线的顶点为（1，﹣1）．
设原抛物线为y＝a（x﹣1）2﹣1，
∵y＝a（x﹣1）2﹣1过（0，1），
∴1＝a（0﹣1）2﹣1，
解得 a＝2，
∴原抛物线为y＝2x2﹣4x+1．
（3）∵N（0，﹣3），
∴MN绕点N旋转到与x轴平行后，解析式为y＝﹣3，
∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y＝﹣2．
设点P坐标为（x，﹣2），
∵O（0，0），M（12，-72），
∴OM2＝（xM﹣xO）2+（yO﹣yM）2=14+494=252，
OP2＝（xP﹣xO）2+（yO﹣yP）2＝x2+4，
MP2＝（xP﹣xM）2+（yP﹣yM）2＝（x﹣1）2+4＝x2﹣x+52．
①当OM2＝OP2+MP2时，有252=x2+4+x2﹣x+52，
解得x＝2或x=-32，即P（2，﹣2）或P（-32，﹣2）．
②当OP2＝OM2+MP2时，有x2+4＝17+x2﹣x+52，
解得 x＝11，即P（11，﹣2）．
③当MP2＝OP2+OM2时，有x2﹣x+52=x2+4+17，
解得 x＝﹣14，即P（﹣14，﹣2）．
综上所述，当P为（2，﹣2）或P（-32，﹣2）或（11，﹣2）或（﹣14，﹣2）时，△POM为直角三角形．

综合运用
1．（2020秋•海淀区期中）如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别在线段BO，AO上，且PQ∥AB．以PQ为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段AC，BD上，设BP＝x，新作菱形的面积为y，则反映y与x之间函数关系的图象大致是
（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：设OB＝a，则OP＝a﹣x，
则OQ＝OPtan∠QPO＝（a﹣x）tan∠QPO，
故y＝4S△POQ＝4×12×（a﹣x）（a﹣x）tan∠QPO＝2tan∠QPO（a﹣x）2，
∵2tan∠QPO为大于0的常数，
故上述函数为开口向上的抛物线，且x＝a时，y取得最小值，
故选：C．
2．（2020•郑州校级模拟）如图1，点A是⊙O上一定点，圆上一点P从圆上一定点B出发，沿逆时针方向运动到点A，运动时间是x（s），线段AP的长度是y（cm）．图2是y随x变化的关系图象，则点P的运动速度是（ ）
A．1cm/sB．2cm/sC．π2cm/sD．3π2cm/s
【解答】解：从图2看，当x＝1时，y＝AP＝2，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为12AP＝1，
当x＝0时，AP＝AB=2=AO2+BO2=2，
故OA⊥OB，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，
此时x＝1，走过的了角度为90°，则走过的弧长为90°360°×2π×r=π2，
故点P的运动速度是π2÷1=π2（cm/s），
故选：C．
3．（2020•三水区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝3cm，点E是AB的中点，点P沿E﹣A﹣D﹣C以1cm/s的速度运动，连接CE、PE、PC，设△PCE的面积为ycm2，点P运动的时间为t秒，则y与x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵点E是AB的中点，
∴AE＝3cm，
当点P在AE上时，y=12×3×t=32t，
当点P在AD上时，
y=12×（3+6）×3-12×3×（t﹣3）-12×6×（6﹣t）=3t2，
当点P在CD上时，
y=12×（12﹣t）×3＝18-32t，
故选：C．
4．（2020春•崇川区校级期中）如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以恒定的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x．△PAB面积为y，若y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．36B．54C．72D．81
【解答】解：由题意及图②可知：
AB＝6，BC＝18﹣6＝12，
∴矩形ABCD的面积为6×12＝72．
故选：C．
5．（2020春•林州市期中）如图，正方形ABDE的边长为4cm，点F是对角线AD、BE的交点，△BDC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°．动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D时停止．设点P运动x（秒）时，△AFP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵正方形ABDE的边长为4cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线AB→BC→CD运动，
∴动点P到达点B时，x＝4，
∴排除选项B．
∵动点P在AB上运动时，AF边不变，
∴△AFP的面积y（cm2）为x的一次函数，故排除选项C．
∵四边形ABDE为正方形，
∴AB＝BD，AB∥DE，
∵△BDC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°．
∴BD＝DC，C、D、E三点共线，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴当点P在线段BC上运动时，y值不变；
∵点P在CD上运动时，AF边不变，
∴△AFP的面积y（cm2）为x的一次函数，故排除选项D．
故选：A．
6．（2020•金华模拟）如图，点A（﹣1，0），点P是射线AO上一动点（不与O点重合），过点P作直线y＝x的平行线交y轴于C，过点P作x轴的垂线交直线y＝x于B，连结AB，AC，BC．
（1）当点P在线段OA上且AP＝PC时，AB：BC＝ 3：5 ．
（2）当△ABC与△OPC相似时，P点的横坐标为 -13或12 ．
【解答】解：设点P（m，0），则点B（m，m），
直线PC∥OB，则直线PC的倾斜角45°，故OP＝CO，故点C（0，﹣m），而点A（﹣1，0），
则AB2＝（m+1）2+m2＝2m2+2m+1，BC2＝m2+（m+m）2＝5m2，同理AC2＝m2+1，
（1）AP2＝（m+1）2，PC2＝m2+m2＝2m2，
当AP＝PC时，即（m+1）2＝2m2，解得：m＝1-2（不合题意的值已舍去），
AB2＝2m2+2m+1＝（2-2）2+（1-2）2＝9﹣62，
同理BC2＝15﹣102，
则AB2BC2=9-6215-102=35，
故AB：BC=3：5，
故答案为：3：5；
（2）∵△OPC为等腰直角三角形，
∴当△ABC与△OPC相似时，则△ABC也为等腰直角三角形．
①当AC是斜边时，
则AC2＝AB2+BC2，即m2+1＝2m2+2m+1+5m2，
解得：m=-13或0（舍去0），
当m=-13时，
AB2＝2m2+2m+1=59，同理BC2=59，即AB＝BC，
即△ABC为等腰直角三角形，符合题意；
②当AB是斜边时，
同理可得：m=12或0（舍去0），
此时，BC2=54，AC2=54，即BC＝AC，
即△ABC为等腰直角三角形，符合题意；
③当BC是斜边时，
同理：5m2＝2m2+2m+1+m2+1，
解得：m=1±52，
此时，AB≠AC，故m舍去；
综上，m=-13或12，
故答案为：-13或12．
7．（2020秋•渝中区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+62与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（0，22），点D在x轴上，CD＝AB．
（1）点E在CD上，其横坐标为42，点F、G分别是x轴、y轴上的动点，连接EF，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，点P是直线BD上的一个动点，当|PA﹣PC|最大时，求PG+GD′的最小值；
（2）将CD绕点D逆时针旋转90°得直线C′D，点M、N分别是直线C′D与直线AB上的动点，当△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标．
【解答】解：（1）对于y＝3x+62，令x＝0，则y＝62，令y＝3x+62=0，解得x＝﹣22，
故点A、B的坐标分别为（﹣22，0）、（0，62），
∴OC＝OA＝22，
∵CD＝AB，
∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL），
∴OD＝OB＝62，故点D（62，0），
连接AC交BD于点P，则点P为所求点，
理由：|PA﹣PC|＝PA﹣PC＝AC为最大，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝x+22①，
同理可得，直线BD的表达式为y＝﹣x+62②，
联立①②并解得x=22y=42，故点P（22，42），
过点P作y轴的对称点P′（﹣22，42），过点E以DE为半径作圆E，连接P′E交圆E于点D′，交y轴于点G，
则点G为所求点，此时，PG+GD′最小，
理由：PG+GD′＝P′G+GD′＝P′E﹣D′E＝P′D′为最小，
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为y=-13x+22，
当x＝42时，y=-13x+22=223，故点E的坐标为（42，223），
由点P′、E的坐标得：P′E=(42+22)2+(42-223)2=4533，
同理可得DE=453，
则PG+GD′的最小值＝P′E﹣D′E＝P′E﹣DE=453-453；
（2）如图2，∵Rt△AOB≌Rt△COD，
∴∠BAO＝∠OCD，
∵∠CDC′＝90°，
∴∠C′Dx+∠CDO＝90°，
∵∠CDO+∠DCO＝90°，
∴∠C′Dx＝∠ODC＝∠BAO，即C′D∥AB，
故设直线C′D的表达式为y＝3x+t，将点D的坐标代入上式并解得b＝﹣182，
故直线C′D的表达式为y＝3x﹣182，故设点M的坐标为（m，3m﹣182），点N（n，3n+62）．
①当∠MCN为直角时，
当△MCN在CD上方时，
则MC＝NC，
过点N作NG⊥y轴于点G，过点M作x轴的平行线交y轴于点H，
∵∠GNC+∠GCN＝90°，∠GCN+∠MCH＝90°，
∴∠GNC＝∠MCH，
∵MC＝NC，∠CGN＝∠MHC＝90°，
∴△CGN≌△MHC（AAS），
∴GN＝CH，CG＝MH，
即n＝22-（3m﹣182），3n+62-22=m，
解得m=3225，故点M的坐标为（3225，625）；
当△MCN在CD下方时，
同理可得，点M′（2825，-625）；
②当∠MNC为直角时，
当△MCN在CD上方时，
如图3，过点N作x轴的平行线交y轴于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，
同理可得：GM＝NH，GN＝CH，
即n＝3n+62-（3m﹣182），m﹣n＝3n+62-22，
解得m=4425，
故点M的坐标为（4425，4225）；
当△MCN在CD下方时，
同理可得，点M′的坐标为（1625，-4225）；
综上，点M的坐标为（3225，625）或（2825，-625）或（4425，4225）或（1625，-4225）．
8．（2020•烟台模拟）如图，抛物线y＝ax2+43x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD＝BE时，求AD+AE的最小值；
（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），C（0，﹣2），代入y＝ax2+43x+c得，
9a+43×(-3)+c=0c=-2，解得a=23c=-2，
∴抛物线的表达式为y=23x2+43x-2；
（2）令y=23x2+43x-2=0，解得x＝﹣3或1，
∴点B的坐标为（1，0），
当AD＝BE时，AD+AE＝BE+AE，
∴当A、E、B三点共线时，BE+AE最小，最小值为AB的长，
∴当AD＝BE时，AD+AE的最小值为AB＝1﹣（﹣3）＝4；
（3）存在．设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，23n2+43n-2），
①当AC的平行四边形的边时，
若AQ为平行四边形的对角线，则PA＝QC，如图①，
∴﹣3﹣m＝0﹣n，23n2+43n-2=-2，
解得n＝﹣2或0（舍去），
∴m＝﹣5，
∴点P的坐标为（﹣5，0）；
若AP为对角线，则AC＝PQ，如图②所示，
即m﹣n＝3，23n2+43n-2=2，
解得n＝﹣1+7或-1-7，
∴m＝2+7或2-7，
∴点P的坐标为（2+7，0）或（2-7，0）；
②当AC是平行四边形的对角线时，则AQ＝PC，如图③，
即m﹣（﹣3）＝0﹣n，23n2+43n-2=-2，
解得n＝﹣2或0（舍去），
∴m＝﹣1，
∴点P的坐标为（﹣1，0）．
综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（2+7，0）或（2-7，0）或（﹣1，0）．
9．（2020•温州模拟）已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝3，
∵直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，
∴-32+3b+c=0c=3，得b=2c=3，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D，
∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（1，4），
∵△ACM与△ABC的面积相等，点B的坐标为（0，3），
∴点M的纵坐标是3或﹣3，
当点M的纵坐标为3时，3＝﹣x2+2x+3，得x1＝0，x2＝2，
则点M的坐标为（2，3）；
当点M的纵坐标为﹣3时，﹣3＝﹣x2+2x+3，得x3=7+1，x4=-7+1，
则点M的坐标为（7+1，﹣3）或（-7+1，﹣3）；
由上可得，点M的坐标为（2，3）、（7+1，﹣3）或（-7+1，﹣3）．