2023届河南省南阳市第一中学校高三上学期第二次月考数学（理）试题含解析

2023届河南省南阳市第一中学校高三上学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二次不等式的解集求得集合，结合对数与根式有意义，求得集合，利用集合交集的运算，即可求解.

【详解】由不等式，即，解得，即；

又，故，解得，即.

所以.

故选：C

2．已知命题p：在中，若，则，命题，.下列复合命题正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】命题可举出反例，得到命题为假命题，构造函数证明出，成立，从而判断出四个选项中的真命题.

【详解】在中，若，此时满足，但，故命题错误；

令，

则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，也是最小值，

，

所以，成立，为真命题；

故为假命题，为假命题，为真命题，为假命题.

故选：C

3．在中，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用同角的三角函数关系和诱导公式分别证明充分性和必要性，进而得出结果.

【详解】若，则，

即，

所以，所以，即，所以，

所以，所以，

所以“”是“”的充分条件．

若，则，则，

即，所以，所以或，

所以“”不是“”的必要条件，

所以“”是“”的充分不必要条件．

故选：A．

4．设正项等比数列的前项和为，若，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】根据第一个等量关系得到关于公比的方程，解方程得到公比的值，代入第二个等量关系得到关于首项的方程，解方程得到首项，从而得到的值.注意正项等比数列的公比大于0.

【详解】设正项等比数列的公比为q（q>0），

则由得，

即，即，

即，

解得（舍去）.

由得，即，

将代入得，

解得，

则.

故选：A.

5．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（    ）

A．2 B． C． D．1

【答案】B

【分析】由为偶函数，结合为奇函数，可得以为周期的函数，从而根据已知的解析式可求出.

【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，

又为偶函数，所以有：，

所以，有，即

所以，故以为周期，

故．

因为当时，，

所以.

故选：B

6．已知函数，则的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】函数“见式识图”第一步确定定义域，第二步函数奇偶性，第三步极限分析法,即可得到答案.

【详解】化简原函数

则函数为奇函数，排除选项A，当，排除选项B，当选项C错误.

故选：D.

7．设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，，借助导数分析函数单调性，结合单调性即可判断

【详解】由题知，

先比较a与b的大小：令，

令，则，当时，，故在上单调递减；

当时，，故在上单调递增，所以，

故，而，故，

再比较b与c的大小：令，，当时，，故在上单调递减，所以，

故，即，故．

综上．

故选：D

8．已知函数f（x）＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ）

A．∪[2，＋∞) B．∪(1，2]

C．∪[2，＋∞) D．∪(1，2]

【答案】C

【分析】根据对数型函数的单调性进行求解即可.

【详解】当0<a<1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递减且u>0恒成立，

所以;

当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，

所以，

综上，a的取值范围为．

故选：C

9．已知是内的一点，且，则的最小值是（    ）

A．8 B．4 C．2 D．1

【答案】A

【分析】根据判断点的位置，进而根据三角形的面积公式可得,所以,进而根据不等式即可求解最小值.

【详解】由得

取边中点为,则,

因此可知：在过且与平行的中位线上，

由得,由于为三角形的内角，因此,

所以,所以,

因此,

设，

故，

当且仅当时，即时，等号成立，

故最小值为8，

故选：A

10．已知的三个内角满足，则下列结论中正确的是（    ）

A．是锐角三角形

B．

C．角的最大值为

D．角的最大值为

【答案】D

【分析】A选项整理得到即可判断三角形形状；

B选项根据大边对大角，小边对小角得到三边的大小关系，从而得到，再利用放缩和正弦定理即可证明；

C选项利用特殊值的思路判断即可；

D选项根据题目中的条件再结合基本不等式求出的最大值即可.

【详解】A选项：因为，得，所以，为钝角三角形，故A错；

B选项：由题意可得是最大的角，所以，，，所以

，故B错；

C选项：由题意知当，时，，，故C错；

D选项：由题可得，

所以，当且仅当时等号成立，

因为，且，所以，故D正确.

故选：D.

11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的个数有（    ）

①的图象关于直线对称；②在上是增函数；

③的最大值为；④若，则．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】对于①，通过计算与的关系进行判断，对于②，利用导数判断，对于③，利用导数求其最值，对于④，由题意可知分别为函数的最大值和最小值，再根据函数的周期性可求得结果.

【详解】①因为，

所以的图象不关于直线对称，错误；

②，

当时，，则，

所以在上是增函数，正确；

③因为的周期为，的周期为，所以的周期为，不妨取一个周期上求其最值，

令得或，当或时，，此时，所以在和上递增，当时，，此时，但不恒为零，所以在上递减，又，所以，，所以正确；

④若，不妨取，，

因为，，，

所以，正确．

故选：C．

12．设函数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．0

【答案】D

【分析】先由定义证为奇函数，结合均值不等式可证，得在R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为对恒成立．

令，用导数法求最小值，即有.

【详解】因为，所以，所以为R上的奇函数．

因为，所以在R上单调递增．

不等式可转化为，

所以，即对恒成立．

令，则，

令，则．

当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．

所以，即，

所以，且当时，取最小值0，

故，即实数a的最大值为0．

故选：D.

【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化；

2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.

一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.

当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.

二、填空题

13．__________.

【答案】##

【分析】根据题意，由表示圆面积的，再结合定积分公式即可求解.

【详解】由题意得，

=+ =.

根据定积分的几何意义可知，表示圆满足，的这一部分面积，即圆面积的，故.

因此.

故答案为：.

14．已知数列的前n项和为，且，设函数，则______．

【答案】##

【分析】根据可求，从而可求.易验证，故可采用倒序相加法求题设式子的值．

【详解】∵①，

∴当时，②，

①－②得，∴；

当时，，∴，此时仍然成立，

∴．

∴当n=1时，；

当时，，

当n=1时，上式也成立，故．

由于，

设

则，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题关键是熟练掌握利用前n项和与通项公式的关系求得，观察猜测并发现为定值，从而利用倒序相加法即可求和．

15．已知函数的部分图象如图所示．点F为与x轴的交点，点G、H分别为的图象的最低点和最高点，若，则___．

【答案】##

【分析】设点坐标，利用周期可得G、H的坐标，然后由向量的坐标运算可得.

【详解】由题知，函数的周期，

所以，当设坐标为时，有

则

又

所以，解得或（舍去）

故答案为：

16．在中，，为的外心，且有，，若，，则________．

【答案】

【分析】根据题意，结合正弦定理，可得，根据余弦定理，可求得，，根据数量积的定义及几何意义，可得、，可得关于x，y的方程组，可得x，y的值，即可得答案.

【详解】因为，由正弦定理得，

所以，

又，

所以，

所以，整理得，

由余弦定理得，

所以，又，

所以，解得或（舍），

所以，

所以，

由，得

所以，整理得①，

又

所以，

所以，整理得②，

①②联立可得，

所以

【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦定理、余弦定理、数量积的定义及几何意义等知识，难点在于需根据题意求得、的值，进而可得x，y的关系，再求解，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

三、解答题

17．已知数列的首项，且满足.

(1)证明：数列是等比数列.

(2)若，求正整数的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)1010

【分析】（1）由等比数列的定义证明，

（2）由分组求和法得的前项和，再结合单调性求解

【详解】（1）易知各项均为正，

对两边同时取倒数得，

即，因为，

所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.

（2）由（1）知，即，

所以，

显然单调递增，因为，所以的最大值为1010.

18．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为，且.

(1)求B

(2)若，求的最小值，并判断此时的形状.

【答案】(1)

(2)，是直角三角形

【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦可得，从而可求.

（2）根据面积可得，根据向量关系结合数量积、基本等式可求取得最小值2，此时，从而可求，故可判断三角形形状.

【详解】（1）由条件得：，

由正弦定理，得，

即，所以，

因为，所以，即，

因为为三角形内角，故，所以，因为，所以.

（2）由（1）得，解得，

因为，

所以

，

当且仅当即时，取得最小值2，此时，

又因为，所以，整理得，

因为，所以，所以，所以是直角三角形.

19．已知函数的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式.

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.

(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式即可化简；

（2）利用三角函数的图像变换，可求出，由三角函数的性质求解在的值域；

（3）由方程，即，设，即，结合正弦函数的图象，，求出的范围，代入即可得出答案.

【详解】（1）由题意，函数

，

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，

故函数.

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，

再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，

当时，，

当时，函数取得最小值，最小值为，

当时，函数取得最大值，最大值为，

故函数的值域.

（3）由方程，即，即，

因为，可得，

设，其中，即，

结合正弦函数的图象，如图所示：

可得方程在区间有5个解时，即，

其中，

即，，

解得，

所以.

从而

20．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)当时，若为的两极值点，且，求正数的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）分、讨论，利用导数判断单调性可得答案；

（2）时可得两极值点为，可得，设，求出，令，则由导数可得

是上的增函数，即恒成立， 转化为恒成立，利用单调性可得，设，再分、 讨论利用导数可得答案.

【详解】（1）由得，

当时，的解集为的解集为，

当时，的解集为的解集为，或，所以，当时，是上的增函数，是上的减函数；

当时，是上的增函数，是上的减函数.

（2），

当，或时，；当时，，

两极值点为，

，

设，则，

令则，

当时，是上的增函数，

当时，.

是上的增函数.

由条件得恒成立，

恒成立，即恒成立.

，

，

，

设，若，则单调递增；

若，则，单调递减，，

所以，正数的取值范围是.

【点睛】本题解题的关键点是构造函数，求解原函数的单调性，利用得出的函数大小关系构造新函数；对新函数进行求导，利用其单调性以及函数取值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.

21．设m为实数，函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；

(3)若方程有两个实数根，，证明：．

【答案】(1)当时， 在上单调递增；

当时， 在上单调递增，在上单调递减．

(2).

(3)证明见解析.

【分析】(1)先对求导，根据m≥0和m＜0进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的单调性；

(2)利用求切线斜率，得到切线方程，可得的表达式，命成新函数，利用导数研究单调性，求出最小值.

 (3).方程化简，命成新函数，通过导数研究单调性判断两根的范围，利用两根的关系引入新变量表示两根，要证明的不等式用新变量表示，再通过命成新函数借助导数研究单调性找出极值得到不等式成立的充分条件.

【详解】（1），函数定义域为，

，

当时，在上恒成立，函数在上单调递增；

当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．

（2）当时，，

设切点为，，则切线斜率，

切线方程为，，

，，，

令，函数定义域为，，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，即的最小值为

（3）证明：，即，则，

令，函数定义域为，，

，；，

∴在上单调递增，在上单调递减，，

，不妨设，，

令，，所以，，，

要证，只要证，只要证，

令，，

，

，；，

在上单调递减，在上单调递增，

，，（1），则存在，使得，

在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，

，，

在上恒成立，

得证．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点

1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．

2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.

3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.

4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.

22．如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．

(1)当时，求B，C两点的极坐标；

(2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．

【答案】(1)点B的极坐标为，点C的极坐标为

(2)

【分析】（1）连接，可得到，通过数据可得到，即可得到点B的极坐标，再算出，即可得到点C的极坐标；

（2）设，，通过题意可得到，通过求出曲线M的极坐标方程即可得到点B的极坐标方程，将上式关系代入即可得到答案

【详解】（1）连接，因为是直径，所以，

在中，，，

∴，∴点B的极坐标为，

在正方形OBCD中，，，

∴点C的极坐标为；

（2）设，，且①，

由题意可得的直角坐标为，所以曲线M的普通方程为即

将代入曲线M的普通方程得极坐标方程为，

当时，O，B两点重合，不合题意，

∴点B的极坐标方程为，

将①式代入得点D的极坐标方程为