中考数学优化探究一轮复习（理数） 第2章 第10节 第1课时　利用导数研究函数的单调性课件PPT

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第二章 函数、导数及其应用第十节　导数的应用第一课时　利用导数研究函数的单调性
知识点一　利用导数研究函数的单调性1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负关系
(1)若_________，则f(x)在这个区间上是增函数；(2)若_________，则f(x)在这个区间上是减函数；(3)若_________，则f(x)在这个区间内是常数．
f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
2．利用导数判断函数单调性的一般步骤
(1)求_________；(2)在定义域内解不等式____________________；(3)根据结果确定f(x)的单调区间．
若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f　′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f　′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间上，等号不恒成立．

2．(易错题)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)
知识点二　利用导数研究函数的极值与最值1．函数的极大值
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都______ x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都______ x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_________，极大值点与极小值点统称为极值点．
(1)函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f(x0)．(2)函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_________f(x0)．
二级结论1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．
必明易错1．极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)．2．极大值与极小值没有必然关系，极小值可能比极大值还大．3．极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．4．f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要而不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
2．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下列判断正确的是(　　)
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数B．在区间(1，3)上f(x)是减函数C．在区间(4，5)上f(x)是增函数D．当x＝2时，f(x)取到极小值
4．(易错题)设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a．因为函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，所以方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，因为当x＞0时，－ex＜－1，所以a＝－ex＜－1．答案：(－∞，－1)
题型一　函数单调性的判断
[例]　已知函数g(x)＝ln x＋ax2－(2a＋1)x，若a＞0，试讨论函数g(x)的单调性．
解析：(1)f′(x)＝cs x(sin xsin 2x)＋sin x(sin xsin 2x)′＝2sin xcs xsin 2x＋2sin2xcs 2x＝2sin xsin 3x．
题型二　利用导数研究函数单调性的应用
函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点．常见的命题角度有：(1)y＝f(x)与y＝f′(x)的图像辨识；(2)已知函数单调性求参数的取值范围．
考法(一)　y＝f(x)与y＝f′(x)的图像辨识[例1]　函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的图像可能是(　　)
[解析]　设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图像易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)＜0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)＞0(其中x1＜0＜x2＜x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合．
函数图像与其导函数图像的关系：导函数f′(x)图像在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图像上升部分对应的区间(递增区间)，导函数f′(x)图像在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图像下降部分对应的区间(递减区间)．
(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围．
[变式探究1]　本例中，若函数h(x)在[1，4]上单调递增，求a的取值范围．
[变式探究2]　本例中，若h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．
解析：h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，则h′(x)＜0在[1，4]上有解，
所以a＞－1，又a≠0，所以a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．
[变式探究3]　本例中，若函数h(x)在[1，4]上不单调，求a的取值范围．解析：∵h(x)在[1，4]上不单调，∴h′(x)＝0在(1，4)上有解，
由函数的单调性求参数的取值范围的四种方法(1)可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．(4)若已知f(x)在D上不单调，则f(x)在D上有极值点，且极值点不是D的端点．
[题组突破]1．已知函数f(x)＝x2＋2cs x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图像大致是(　　)
解析：设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cs x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．
利用导数研究函数单调性中的核心素养
数学运算、逻辑推理——构造函数解决不等式问题此类涉及已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式解决不等式的问题，可通过构造新的函数，创造条件，从而利用单调性求解．
1．x与f(x)的综合函数[例1]　设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－1)∪(0，1)　　B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
又因为f(－1)＝0，所以g(1)＝g(－1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0，故f(x)＞0；当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0，故f(x)＞0．综上，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．
2．ex与f(x)的综合函数[例2]　已知f(x)(x∈R)有导函数，且任意x∈R，f′(x)＞f(x)，n∈N＋，则有(　　)A．enf(－n)＜f(0)，f(n)＞enf(0)B．enf(－n)＜f(0)，f(n)＜enf(0)C．enf(－n)＞f(0)，f(n)＞enf(0)D．enf(－n)＞f(0)，f(n)＜enf(0)
[例3]　设a＞0，b＞0，e是自然对数的底数，则(　　)A．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＞bB．若ea＋2a＝eb＋3b，则a＜bC．若ea－2a＝eb－3b，则a＞bD．若ea－2a＝eb－3b，则a＜b[解析]　因为a＞0，b＞0，所以ea＋2a＝eb＋3b＝eb＋2b＋b＞eb＋2b．对于函数y＝ex＋2x(x＞0)，因为y′＝ex＋2＞0，所以y＝ex＋2x在(0，＋∞)上单调递增，因而a＞b成立．
(1)对于不等式f′(x)＋g′(x)＞0，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)．(2)对于不等式f′(x)－g′(x)＞0，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)．特别地，对于不等式f′(x)＞k，构造函数F(x)＝f(x)－kx.(3)对于不等式f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．
[题组突破]1．(2021·上饶模拟)对任意x∈R，函数y＝f(x)的导数都存在，若f(x)＋f′(x)＞0恒成立，且a＞0，则下列说法正确的是(　　)A．f(a)＜f(0)　　　　　　B．f(a)＞f(0)C．ea·f(a)＜f(0) D．ea·f(a)＞f(0)解析：设g(x)＝ex·f(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]＞0，所以g(x)为R上的单调递增函数，因为a＞0，所以g(a)＞g(0)，即ea·f(a)＞f(0)．
2．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′(x)，g′(x)为其导函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(　　)A．(－3，0)∪(3，＋∞)B．(－3，0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)
解析：令h(x)＝f(x)g(x)，当x＜0时，h′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0，则h(x)在(－∞，0)上单调递增，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h(x)为奇函数，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增．又由g(－3)＝0，可得h(－3)＝－h(3)＝0，所以x＜－3或0＜x＜3时h(x)＜0．