2022-2023年山东省高三下学期高考数学核心卷（含解析）

这是一份2022-2023年山东省高三下学期高考数学核心卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A.B.C.D.
2.若复数z满足，则复数z的虚部为( )
A.B.C.D.
3.已知向量，，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次是、、，已知在系统正常工作的前提下，求只有K和正常工作的概率是( )
A.B.C.D.
5.已知数列为等差数列，首项，若，则使得的n的最大值为( )
A.2007B.2008C.2009D.2010
6.已知函数(，，)的部分图象如图所示，( )
A.B.C.D.
7.若正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( ).
A.或 B.或 C. D.
8.记，设函数，若函数恰
有三个零点，则实数的取值范围的是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A，B，C三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是( )
A.所有不同分派方案共种
B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C.若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种
D.若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
10.已知是的导函数，且，则( )
A.
B.
C.的图象在处的切线的斜率为0
D.在上的最小值为1
11.如图1，在菱形ABCD中，，，将沿AC折起，使点B到达点P的位置，形成三棱锥，如图2.在翻折的过程中，下列结论正确的是( )
A.
B.三棱锥体积的最大值为3
C.存在某个位置，使
D.若平面平面ACD，则直线AD与平面PCD所成角的正弦值为
12.已知点，，，抛物线.过点G的直线l与C交于，两点，直线AP，AQ分别与C交于另一点E，F，则下列说法中正确的是( )
A.
B.直线EF的斜率为
C.若的面积为(O为坐标原点)，则与的夹角为
D.若M为抛物线C上位于x轴上方的一点，，则当t取最大值时，的面积为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，过点作曲线的切线l，则l的方程为________.
14.己知，则________.（用数字作答）
15.已知函数，若对任意的实数x，恒有，则______________.
16.已知四棱锥的底面ABCD是边长为a的正方形，且平面ABCD，，点M为线段PC上的动点(不包含端点)，则当三棱锥的外接球的表面积最小时，CM的长为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求与；
(2)记，求数列的前n项和.
18.（12分）在①，②，③，.这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答.
已知中，内角所对的边分别为，且________.
(1)求的值；
(2)若，求的周长与面积.
19.（12分）由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表.
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.
(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？
(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系；
(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望.
附：，，
20.（12分）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为.
（1）求A到平面的距离；
（2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值.
21.（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率为的直线l与双曲线C交于两点，点在双曲线C上，且.
(1)求的面积；
(2)若 (O为坐标原点)，点，记直线的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（12分）已知函数，.
（1）求函数的极值点；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
山东省2022-2023学年高三下学期高考考向核心卷
参考答案
一、单项选择题
1.答案：D
解析：集合，集合，
.故选D.
2.答案：B
解析：由题意，得，所以，
则复数z的虚部为.故选.
3.答案：A
解析：若，则，所以；
若，则，解得，得不出.
所以“”是“”的充分不必要条件.故选A.
4.答案：C
解析：设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和正常工作，
因为并联元件、能正常工作的概率为，
所以，
又因为，
所以，故选C.
5.答案：B
解析：数列为等差数列，若，则与异号.又首项，则公差，所以，，则，即.由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可得，，所以使得的n的最大值为2008.故选B.
6.答案：B
解析：根据图像可得，，所以，
而，所以，代入点，得到
即，所以，即，
因为，所以，所以，
代入得，故选B.
7.答案：A
解析：因为正实数x、y满足，则，即，
所以
，当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，因为不等式有解，则，即，即，解得或.故选A.
8.答案：B
解析：设，，
则函数在上递增，且，且函数至多有两个零点，
当时，，若函数在上有零点，则在上有零点，不妨设零点为，则，此时，则，与题意矛盾，故函数在上无零点.二次函数图象的对称轴为直线，若，当，解得时，设函数的两个零点为、，则，则，，函数有两个负零点，符合题意；若，且需符合题意时，函数在上有两个零点，所以，解得，综上，．故选B.
二、多项选择题
9.答案：BCD
解析：选项A，所有不同分派方案共种，故A错误；
选项B，若每家企业至少分派1名医生，先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配，则所有不同分派方案共（种）.故B正确；
选项C，若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，
则A企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生，
则所有不同分派方案共（种），故C正确；
选项D，若C企业最多派1名医生，则C企业可以有1名医生和没有医生两种情况，则不同分派方案共（种）.故A正确.
故选BCD.
10.答案：BC
解析：，，令，则，故B正确；则，，
，故A错误；
的图象在处的切线的斜率为，故C正确；
，当时，，单调递减，当时，，单调递增，在上的最小值为，故D错误.故选BC.
11.答案：ACD
解析：选项A，取AC的中点O，连接OP，OD，由于四边形ABCD为菱形，则，，又，平面POD，平面POD，所以平面POD，又平面POD，所以，故A正确；
选项B，在翻折过程中，当平面平面ACD时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥的体积，故B错误；
选项C，当时，易知，都是边长为2的等边三角形，取的中点，连接，，则，，又平面，平面，且，所以平面，所以，故C正确；
选项D，当平面平面ACD时，因为，所以，所以，所以的面积，设直线AD与平面PCD所成角为，点A到平面PCD的距离为d，则，即，解得，故，故D正确.故选ACD.
12.答案：ACD
解析：A选项：易知，，则直线PQ的方程为，又直线PQ过点，所以，A正确.
B选项：设，，则直线PE的方程为，又直线PE过点，所以，同理可得，所以，故B错误.
选项：，设，则，又，所以，所以与的夹角为，故C正确.
D选项：易知B为抛 物线的焦点，过M作MD垂直抛物线C的准线于点D，由抛物线的定义知，，即，当t取最大值时，取最小值，即直线AM与抛物线C相切.设直线AM的方程为，由，得，则，解得，此时即，所以1，又点M在x轴上方，故，则，故D正确.故选ACD.
三、填空题
13.答案：
解析：由题意可设切点坐标为，因为，所以，所以切线l的斜率，
整理得，，则，所以l的方程为，即.
14.答案：34
解析：令，得；令，得.
二项式的通项公式为，
又，，
所以.
故答案为：34.
15.答案：
解析：因为
，且对任意实数x恒有，所以，则，.
16.答案：
解析：连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，则当三棱锥外接球的表面积最小时，四棱锥外接球的半径最小.设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点.当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，
连接OC，在中，.当O与重合时，，所以当三棱锥的外接球的表面积最小时，O与重合，.设CM的中点为N，连接，易知，则，
所以，解得，所以.
四、解答题
17.解析：(1)由得，
当时，，得；
当时，，
得，·················································································2分
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
所以.···································································4分
(2)由(1)可得，
则，
，·······································6分
两式相减得，
所以
.·················································································10分
18.解析：(1)若选①：由正弦定理得，
故，······························································2分
而在中，，
故，又，
所以，则，·····························································4分
则，
故.·······························································6分
若选②：由，化简得，代入中，整理得，···························2分
即，
因为，所以，所以，·····································4分
则，
故.·······························································6分
若选③：因为，
所以，即，
则.···························································2分
因为，所以，························································4分
则，
故.···························································6分
(2)因为，且，
所以.························································8分
由(1)得，
则，
由正弦定理得，则.·······················10分
故的周长为，
的面积为.······················12分
19.解析：(1)由题意得，解得，
所以应从A地抽取(人)，从B地抽取(人).··············2分
(2)完成表格如下：
··································································································4分
所以的观测值
，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.····························6分
(3)从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，
从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，
，
，
.··································································10分
所以X的分布列为
.··········································12分
20.解析：（1）设点A到平面的距离为h，
因为直三棱柱的体积为4，
所以，···································2分
又的面积为，，
所以，
即点A到平面的距离为.··················································4分
（2）取的中点E，连接AE，则，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
又平面ABC，
所以，因为，所以平面，
所以.········································································6分
以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知，，所以，，
因为的面积为，所以，所以，
所以，，，，，，······8分
则，，
设平面ABD的法向量为，
则即
令，得，································································10分
又平面BDC的一个法向量为，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.············································12分
21.解析：(1)依题意可知，，
则，
，··································2分
又，所以，
解得(舍去)，又，所以，则，所以的面积.····························································4分
(2)由(1)可解得.
所以双曲线C的方程为.········································6分
设，则，则，.
设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立，消去y得，
由，得.········································8分
由一元二次方程根与系数的关系得，
所以.··········10分
则，
故为定值.·········································································12分
22.解析：（1）由已知可得，函数的定义域为，且，
当时，；当时，，························2分
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以是的极大值点，无极小值点.········································4分
（2）设，，
则，
令，，
则对任意恒成立，····································6分
所以在上单调递减.
又，，
所以，使得，即，则，
即.··········································································9分
因此，当时，，即，则单调递增；
当时，，即，则单调递减，
故，解得，
所以当时，恒成立.················································12分
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2
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