资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩18页未读，
继续阅读
中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与菱形存在性问题（2份打包，教师版+原卷版）
展开
这是一份中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与菱形存在性问题（2份打包，教师版+原卷版），文件包含中考数学二轮压轴培优专题二次函数与菱形存在性问题教师版doc、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与菱形存在性问题原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(2，2)，抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点为点B．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)将抛物线L1平移到抛物线L2，抛物线L2的顶点记为D，它的对称轴与x轴的交点记为E．已知点C(2，﹣1)，若以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，则请求出抛物线L2的顶点坐标．
【答案解析】解：(1)∵抛物线L1：y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(2，2)，抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋2；
(2)设抛物线L2的顶点记为D(m，n)，则E(m，0)，如图，
∴DE＝|n|，DE∥y轴，
∵A(2，2)，C(2，﹣1)，
∴AC＝2﹣(﹣1)＝3，AC∥y轴，
∴AC∥DE，
又AD＝，AE＝，
∵以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，
∴DE＝AC，即|n|＝3，
∴n＝±3，
①当n＝3时，D(m，3)，E(m，0)，
∵AD＝AC＝3，
∴AD2＝9，即(m﹣2)2＋(3﹣2)2＝9，解得：m＝2＋2eq \r(2)或2﹣2eq \r(2)，
∴D(2＋2eq \r(2)，3)或(2﹣2eq \r(2)，3)；
②当n＝﹣3时，D(m，﹣3)，E(m，0)，
∵AE＝AC＝3，
∴AE2＝9，即(m﹣2)2＋(0﹣2)2＝9，解得：m＝2＋eq \r(5)或2﹣eq \r(5)，
∴D(2＋eq \r(5)，﹣3)或(2﹣eq \r(5)，﹣3)；
综上所述，点D的坐标为(2＋2eq \r(2)，3)或(2﹣2eq \r(2)，3)或(2＋eq \r(5)，﹣3)或(2﹣eq \r(5)，﹣3)．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式及点C坐标；
(2)如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)∵OB＝3OA＝3，
∴B(3，0)，A(﹣1，0)，
将(3，0)，(﹣1，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c得
，解得，
∴y＝﹣x2＋2x＋3，
将x＝0代入y＝﹣x2＋2x＋3得y＝3，
∴点C坐标为(0，3)．
(2)设直线BC解析式为y＝kx＋b，将(3，0)，(0，3)代入y＝kx＋b得
，解得，
∴y＝﹣x＋3，
作PF⊥x轴交BC于点F，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵PE∥x轴，
∴∠PEF＝∠OBC＝45°，
∴PF＝PE，
设点P坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)，则点F坐标为(m，﹣m＋3)．
∴PF＝PE＝﹣m2＋2m＋3﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
∴m＝eq \f(3,2)时，PE的最大值为eq \f(9,4)，此时点P坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))．
(3)①如图，PM＝CM，
设点P坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)，则M(m，﹣m＋3)，由(2)得PM＝﹣m2＋3m，
∵点C坐标为(0，3)，
∴CM＝＝eq \r(2)m，
∴﹣m2＋3m＝eq \r(2)m，解得m＝0(舍)或m＝3﹣eq \r(2)，
∴GC＝CM＝3eq \r(2)﹣2，
∴OG＝OC＋CG＝3＋3eq \r(2)﹣2＝3eq \r(2)＋1，
∴点G坐标为(0，3eq \r(2)＋1)．
②如图，PM＝CG时四边形PCGM为平行四边形，PG⊥CM时四边形PCGM为菱形，
∵PM＝﹣m2＋3m，点C坐标为(0，3)，
∴点G坐标为(0，m2﹣3m＋3)，作GN⊥PM，
∵∠CBO＝45°，
∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°，
∴GN＝PN，即m＝﹣m2＋2m＋3﹣(m2﹣3m＋3)，解得m＝0(舍)或m＝2，
∴点G坐标为(0，1)．
③如图，PM＝CM，
由①可得m2﹣3m＝eq \r(2)m，解得m＝3＋eq \r(2)，
∴PM＝CG＝CM＝3eq \r(2)＋2，
∴点G坐标为(0，1﹣3eq \r(2))．
综上所述，点G坐标为(0，3eq \r(2)＋1)或(0，1)或(0，1﹣3eq \r(2))．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；
(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(﹣1，0)，B(3，0)两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋4x＋6；
(2)由(1)得，点C(0，6)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋c，
∵直线BC经过点B(3，0)，C(0，6)，
∴，解得：
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x＋6，
设点M的坐标为(m，﹣2m＋6)(0＜m＜3)，
如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，
则∠MNO＝∠OKH＝90°，
∵OH⊥OM，
∴∠MOH＝90°，
∵∠OMB＝45°，
∴△MOH是等腰直角三角形，
∴OM＝OH．
∵∠MON＋∠KOH＝90°，∠OHK＋∠KOH＝90°，
∴∠MON＝∠OHK，
∴△OMN≌△HOK(AAS)，
∴MN＝OK，ON＝HK．
∴H(﹣2m＋6，﹣m)，
∵点H(﹣2m＋6，﹣m)在直线y＝﹣2x＋6上，
∴﹣2(﹣2m＋6)＝﹣m，解得：m＝eq \f(6,5)，
把m＝eq \f(6,5)代入y＝﹣2x＋6得：y＝eq \f(18,5)，
∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为(eq \f(6,5),eq \f(18,5))；
(3)存在，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋4x＋6＝﹣2(x﹣1)2＋8，顶点为D，
∴点D的坐标为(1，8)，
分两种情况讨论：
①当CD为菱形的边时，如图2，过C作CE⊥DQ于E
∵C(0，6)，D(1，8)，
∴CD＝eq \r(5)，
∴DQ＝CD＝eq \r(5)，
∴Q点的坐标为(1，8﹣eq \r(5))或(1，8＋eq \r(5))；
②当CD为菱形的对角线时，
如图3，设点Q(1，m)，P(0，n)，
∵C(0，6)，D(1，8)，
∴m＋n＝6＋8＝14，
∴n＝14﹣m，
∴P(0，14﹣m)，
∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，
∵CQ＝，PC＝CQ，
∴8﹣m＝，解得：m＝eq \f(27,4)，
∴点Q的坐标为(1，eq \f(27,4))；
综上所述，点Q的坐标为(1，8﹣eq \r(5))或(1，8＋eq \r(5))或(1，eq \f(27,4))．
如图，已知直线y=﹣eq \f(3,2)x+eq \f(9,2)与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝ax2＋3x＋c经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为(0,eq \r(3))．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)在y=﹣eq \f(3,2)x+eq \f(9,2)中，令x＝0得y＝eq \f(9,2)，令y＝0得x＝3，
∴B(3，0)，C(0，eq \f(9,2))，
把B(3，0)，C(0，eq \f(9,2))代入y＝ax2＋3x＋c得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式是y＝﹣eq \f(3,2)x2＋3x＋eq \f(9,2)；
(2)在抛物线上存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵y＝﹣eq \f(3,2)x2＋3x＋eq \f(9,2)＝﹣eq \f(3,2)(x﹣1)2＋6，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
∵E(0，eq \r(3))，F关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴F(2，eq \r(3))，设Q(1，t)，P(m，﹣eq \f(3,2)m2＋3m＋eq \f(9,2))，
①当EF，PQ是对角线时，EF的中点即是PQ的中点，如图：
∴，解得m＝1，
∵E(0，eq \r(3))，F关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴EQ＝FQ，
∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴P(1，6)；
②当EQ，FP为对角线时，EQ，FP的中点重合，如图：
∴，解得，
∴P(﹣1，0)，Q(1，0)，而F(2，eq \r(3))，
∴FQ＝2＝PQ，
∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴P(﹣1，0)；
③当EP，FQ为对角线，EP，FQ的中点重合，如图：
∴，解得，
∴P(3，0)，Q(1，0)，
而F(2，eq \r(3))，∴FP＝QP＝2，
∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴P(3，0)，
综上所述，P的坐标是(1，6)或(﹣1，0)或(3，0)．
如图，直线y＝﹣2x＋8分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B，C两点，其顶点为M，对称轴MN与直线BC交于点N．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q，问：是否存在点P，使四边形MNPQ为菱形？并说明理由；
(3)如图2，点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作EF∥BC，直线EF与抛物线交于点E，F，与直线y＝﹣4x交于点H，若，求点G的坐标．
【答案解析】解：(1)∵直线y＝﹣2x＋8分别交x轴，y轴于点B，C，
∴B(4，0)，C(0，8)，
∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B，C两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋8；
(2)不存在点P，使四边形MNPQ为菱形．理由如下：
设P(t，﹣2t＋8)，
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，即PQ∥y轴，
则Q(t，﹣t2＋2t＋8)，
∴PQ＝﹣t2＋2t＋8﹣(﹣2t＋8)＝﹣t2＋4t，
∵y＝﹣x2＋2x＋8＝﹣(x﹣1)2＋9，
∴抛物线的顶点为M(1，9)，对称轴为直线x＝1，
∴N(1，6)，
∴MN＝9﹣6＝3，MN∥y轴，
∴PQ∥MN，
要使四边形MNPQ为菱形，必须PQ＝MN＝PN，
由﹣t2＋4t＝3，解得：t＝1或t＝3，
当t＝1时，点P与点N重合，点Q与点M重合，舍去；
当t＝3时，P(3，2)，Q(3，5)，
∴PQ＝5﹣2＝3，
∴PQ＝MN，
∵PQ∥MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵PN＝2eq \r(5)，
∴PN≠MN，
故四边形MNPQ不能为菱形．
(3)如图(2)，连接MG，过点H、E、F分别作y轴的垂线，垂足依次为K、L、T，
设G(0，m)，
∵EF∥BC，直线BC：y＝﹣2x＋8，
∴直线EF的解析式为y＝﹣2x＋m，
∵直线EF与直线y＝﹣4x交于点H，
∴，解得：，
∴H(﹣eq \f(1,2)m，2m)，∴HK＝﹣eq \f(1,2)m，GK＝﹣m，
在Rt△GHK中，HG＝﹣eq \f(\r(5),2)m，
∵直线EF与抛物线交于点E，F，
∴﹣x2＋2x＋8＝﹣2x＋m，
整理得：x2﹣4x＋m﹣8＝0，
∴xE＋xF＝4，xExF＝m﹣8，
在Rt△BOC中，OB＝4，OC＝8，
∴BC＝4eq \r(5)，
∴sin∠BCO＝eq \f(\r(5),5)，
∵EF∥BC，
∴∠FGT＝∠EGL＝∠BCO，
∴sin∠FGT＝sin∠EGL＝sin∠BCO＝eq \f(\r(5),5)，
∴EG＝﹣eq \r(5)xE，FG＝eq \r(5)xF，
∴﹣＝＝＝，
∵﹣＝，∴＝，解得：m＝﹣8，
∴点G的坐标为(0，﹣8)．
如图，已知直线y＝eq \f(4,3)x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)当x＝0时，y＝4，
∴C (0，4)，
当y＝0时，eq \f(4,3)x＋4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A (﹣3，0)，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B(1，0)，
∴设抛物线的表达式：y＝a(x﹣1)(x＋3)，
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣eq \f(4,3)，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣eq \f(4,3)(x﹣1)(x＋3)＝﹣eq \f(4,3)x2﹣eq \f(8,3)x＋4；
(2)如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D(m，﹣eq \f(4,3)m2﹣eq \f(8,3)m＋4)，E(m，eq \f(4,3)m＋4)，
∴DE＝﹣eq \f(4,3)m2﹣eq \f(8,3)m＋4﹣(eq \f(4,3)m＋4)＝﹣eq \f(4,3)m2﹣4m，
∴S△ADC＝eq \f(1,2)DE•OA＝eq \f(3,2)(﹣eq \f(4,3)m2﹣4m)＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m＋8＝﹣2(m＋eq \f(3,2))2＋12.5，
∴当m＝﹣eq \f(3,2)时，S最大＝12.5，
当m＝﹣eq \f(3,2)时，y＝5，∴D(﹣eq \f(3,2)，5)；
(3)设P(﹣1，n)，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，
∴(﹣1＋3)2＋n2＝1＋(n﹣4)2，
∴n＝，∴P(﹣1，)，
∵xP＋xQ＝xA＋xC，yP＋yQ＝yA＋yC
∴xQ＝﹣3﹣(﹣1)＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q(﹣2，)．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c(a≠0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解(OA＜OB)，点D(2，m)在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式及m的值；
(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝ ；
(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了 个单位；
(4)点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．
【答案解析】解：(1)所给不等式组的解集为2≤x＜4，其整数解为2，3，
∵OA、OB的长是所给不等式组的整数解，且OA＜OB，
∴OA＝2，OB＝3，则A(﹣2，0)，B(3，0)，
∵点A、B在抛物线上，
∴，解得a=1,c=-6，
∴所求的抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6，
∵点D(2，m)在抛物线上，
∴m＝22﹣2﹣6＝﹣4；
(2)如图1所示，连接AD交y轴于点E，则此时AE＋ED最小，
设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵点A(﹣2，0)，D(2，﹣4)在直线AD上，
∴，解得，
∴直线AD的函数解析式为y＝﹣x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
即E(0．﹣2)，
∴OE＝|﹣2|＝2，
故答案为：2；
(3)如图1，
∵AD∥FB，
∴△AEO∽△BFO，
∴＝，
∵OE＝OA＝2，
∴OF＝OB＝3，
∵C(0，﹣6)，
∴OC＝|﹣6|＝6，
∴CF＝CO＋OF＝6＋3＝9，
∴抛物线向上平移9个单位，
故答案为：9；
(4)∵以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，
由∵OA≠OB，
∴AB与MN不能作为一组对角线，
∴分两种情况：
①以AM与BN为对角线时，如图2①和图2②，
如图2①，AB＝OA＋OB＝2＋3＝5，
∵四边形ABMN是菱形，
∴MN∥AB∥x轴，MN＝MB＝AB＝5，
在Rt△MBO中，OM＝4，
∴M(0，4)，
∴N(﹣5，4)，
如图2②，同理可得：N(﹣5，﹣4)，
②以AN与BM为对角线时，如图2③和图2④，
如图2③，菱形的边长仍为5，MN∥x轴，
∵MO＝eq \r(21)，
∴M(0，eq \r(21))，
∴N(5，eq \r(21))，
如图2④，同理可得：N(5，﹣eq \r(21))，
综上所述，①②两种情况，符合条件的点N的坐标为：
N1(﹣5，﹣4)、N2(﹣5，4)、N3(5，eq \r(21))、N4(5，﹣eq \r(21))．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，6)，点E为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
(2)若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，当以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A (2，0)，B两点，
∴点B(6，0)，
设抛物线的解析式为：y＝a(x﹣2)(x﹣6)，
∵抛物线图象过点C (0，6)，
∴6＝a(0﹣2)(0﹣6)，
∴a＝eq \f(1,2)，
∴抛物线的解析式为：y＝eq \f(1,2)(x﹣2)(x﹣6)＝eq \f(1,2)x2﹣4x＋6，
∵y＝eq \f(1,2)x2﹣4x＋6＝eq \f(1,2)(x﹣4)2﹣2，
∴顶点E坐标为(4，﹣2)；
(2)∵将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，
∴CM＝C'M，EM＝E'M，
∴四边形CEC'E'是平行四边形，
设点M(m，0)，
∵点C (0，6)，点E(4，﹣2)，CM＝C'M，EM＝E'M，
∴点C'(2m，﹣6)，点E'(2m﹣4，2)，
∵以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形，
∴CE＝C'E，
∴＝，
∴m1＝﹣2，m2＝6，
∴点M(﹣2，0)或(6，0)，
当M(﹣2，0)时，点E'(﹣8，2)，
∴旋转后的抛物线解析式为：y＝﹣eq \f(1,2)(x＋8)2＋2；
当M(6，0)时，点E'(8，2)，
∴旋转后的抛物线解析式为：y＝﹣eq \f(1,2)(x﹣8)2＋2；
综上所述：点M(﹣2，0)或(6，0)，旋转后的抛物线解析式为：
y＝﹣eq \f(1,2)(x＋8)2＋2或y＝﹣eq \f(1,2)(x﹣8)2＋2．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(﹣1，0)，B(4，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；
(3)点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：将A(﹣1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋3，
得，解得，
∴解析式为；
(2)当x＝0时，，
∴C(0，3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(4，0)，C(0，3)分别代入得，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣eq \f(3,4)+3，
过点D作y轴的平行线，交直线BC与点F，交x轴于点H，
过点A作y轴的平行线，交直线BC与点G，
∵A(﹣1，0)，
∴当x＝﹣1时，y＝eq \f(15,4)，
∴G(-1,eq \f(15,4))，AG=eq \f(15,4)，
∵AG∥y轴∥DF，
∴△DEF∽△AEG，
∴，∴＝，∴DF＝3，
设，，
∴，解得：t1＝t2＝2，
∴D(2,eq \f(9,2))，
∴DH=eq \f(9,2)，AH＝1＋2＝3，
在Rt△ADH中，tan∠DAB=eq \f(3,2)；
(3)存在，分三种情况：①如图2，四边形ACPQ是菱形，则PC＝AC，
设P(x，﹣eq \f(3,4)x＋3)，
∵A(﹣1，0)，C(0，3)，
∴得：x＝±eq \f(4,5)eq \r(10)，
当x＝﹣eq \f(4,5)eq \r(10)时，P(﹣eq \f(4,5)eq \r(10)，eq \f(3,5)eq \r(10)+3)，
∴Q(﹣eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，eq \f(3,5)eq \r(10))，
当x＝eq \f(4,5)eq \r(10)时，P(eq \f(4,5)eq \r(10)，﹣eq \f(3,5)eq \r(10)+3)，
∴Q(eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，﹣eq \f(3,5)eq \r(10))；
②如图3，四边形APCQ是菱形，
∵BC＝AB＝5，
∴B在AC的垂直平分线上，
∴P与B重合，
∴Q(﹣5，3)；
③如图4，四边形ACQP是菱形，同理得P(1.6，eq \f(9,5))，
∴Q(2.6，eq \f(24,5))；
综上，点Q的坐标为(﹣eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，eq \f(3,5)eq \r(10))或(eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，﹣eq \f(3,5)eq \r(10))或(﹣5，3)或(2.6，eq \f(24,5))．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；
(3)试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝x2＋bx＋c得：
，解得：，
∴y＝x2＋2x﹣3；
(2)如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，
∵A(﹣3，0)，C(0，﹣3)，
设直线AC的解析式为：y＝kx＋n，
∴，∴，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵P点的横坐标为m，
∴P的坐标是(m，m2＋2m﹣3)，则M的坐标是(m，﹣m﹣3)，
∴PM＝﹣m﹣3﹣(m2＋2m﹣3)＝﹣m2﹣3m，
∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，
∴﹣3＜m＜0，
∴S＝eq \f(1,2)PMOA＝eq \f(3,2)(﹣m2﹣3m)＝﹣eq \f(3,2)m2﹣eq \f(9,2)m(﹣3＜m＜0)；
(3)分两种情况：
①如图2，四边形CDEB是菱形，
设D(t，﹣t﹣3)，则E(t＋1，﹣t)，
∵四边形CDEB是菱形，
∴CD＝BC，
∴(t﹣0)2＋(﹣t﹣3＋3)2＝12＋32，
∴t＝±eq \r(5)，
∵t＜0，
∴t＝﹣eq \r(5)，
∴E(﹣eq \r(5)＋1，eq \r(5))；
②如图3，四边形CBDE是菱形，
设D(t，﹣t﹣3)，则E(t﹣1，﹣t﹣6)，
∵四边形CBDE是菱形，
∴CE＝BC，
∴(t﹣1﹣0)2＋(﹣t﹣6＋3)2＝12＋32，
∴t＝0(舍)或﹣2，
∴E(﹣3，﹣4)；
综上所述，点E的坐标为(﹣eq \r(5)＋1，)或(﹣3，﹣4)．
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(2，2)，抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点为点B．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)将抛物线L1平移到抛物线L2，抛物线L2的顶点记为D，它的对称轴与x轴的交点记为E．已知点C(2，﹣1)，若以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，则请求出抛物线L2的顶点坐标．
【答案解析】解：(1)∵抛物线L1：y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(2，2)，抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋2；
(2)设抛物线L2的顶点记为D(m，n)，则E(m，0)，如图，
∴DE＝|n|，DE∥y轴，
∵A(2，2)，C(2，﹣1)，
∴AC＝2﹣(﹣1)＝3，AC∥y轴，
∴AC∥DE，
又AD＝，AE＝，
∵以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，
∴DE＝AC，即|n|＝3，
∴n＝±3，
①当n＝3时，D(m，3)，E(m，0)，
∵AD＝AC＝3，
∴AD2＝9，即(m﹣2)2＋(3﹣2)2＝9，解得：m＝2＋2eq \r(2)或2﹣2eq \r(2)，
∴D(2＋2eq \r(2)，3)或(2﹣2eq \r(2)，3)；
②当n＝﹣3时，D(m，﹣3)，E(m，0)，
∵AE＝AC＝3，
∴AE2＝9，即(m﹣2)2＋(0﹣2)2＝9，解得：m＝2＋eq \r(5)或2﹣eq \r(5)，
∴D(2＋eq \r(5)，﹣3)或(2﹣eq \r(5)，﹣3)；
综上所述，点D的坐标为(2＋2eq \r(2)，3)或(2﹣2eq \r(2)，3)或(2＋eq \r(5)，﹣3)或(2﹣eq \r(5)，﹣3)．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式及点C坐标；
(2)如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)∵OB＝3OA＝3，
∴B(3，0)，A(﹣1，0)，
将(3，0)，(﹣1，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c得
，解得，
∴y＝﹣x2＋2x＋3，
将x＝0代入y＝﹣x2＋2x＋3得y＝3，
∴点C坐标为(0，3)．
(2)设直线BC解析式为y＝kx＋b，将(3，0)，(0，3)代入y＝kx＋b得
，解得，
∴y＝﹣x＋3，
作PF⊥x轴交BC于点F，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
∵PE∥x轴，
∴∠PEF＝∠OBC＝45°，
∴PF＝PE，
设点P坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)，则点F坐标为(m，﹣m＋3)．
∴PF＝PE＝﹣m2＋2m＋3﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣eq \f(3,2))2＋eq \f(9,4)，
∴m＝eq \f(3,2)时，PE的最大值为eq \f(9,4)，此时点P坐标为(eq \f(3,2)，eq \f(15,4))．
(3)①如图，PM＝CM，
设点P坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)，则M(m，﹣m＋3)，由(2)得PM＝﹣m2＋3m，
∵点C坐标为(0，3)，
∴CM＝＝eq \r(2)m，
∴﹣m2＋3m＝eq \r(2)m，解得m＝0(舍)或m＝3﹣eq \r(2)，
∴GC＝CM＝3eq \r(2)﹣2，
∴OG＝OC＋CG＝3＋3eq \r(2)﹣2＝3eq \r(2)＋1，
∴点G坐标为(0，3eq \r(2)＋1)．
②如图，PM＝CG时四边形PCGM为平行四边形，PG⊥CM时四边形PCGM为菱形，
∵PM＝﹣m2＋3m，点C坐标为(0，3)，
∴点G坐标为(0，m2﹣3m＋3)，作GN⊥PM，
∵∠CBO＝45°，
∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°，
∴GN＝PN，即m＝﹣m2＋2m＋3﹣(m2﹣3m＋3)，解得m＝0(舍)或m＝2，
∴点G坐标为(0，1)．
③如图，PM＝CM，
由①可得m2﹣3m＝eq \r(2)m，解得m＝3＋eq \r(2)，
∴PM＝CG＝CM＝3eq \r(2)＋2，
∴点G坐标为(0，1﹣3eq \r(2))．
综上所述，点G坐标为(0，3eq \r(2)＋1)或(0，1)或(0，1﹣3eq \r(2))．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；
(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(﹣1，0)，B(3，0)两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋4x＋6；
(2)由(1)得，点C(0，6)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋c，
∵直线BC经过点B(3，0)，C(0，6)，
∴，解得：
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x＋6，
设点M的坐标为(m，﹣2m＋6)(0＜m＜3)，
如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，
则∠MNO＝∠OKH＝90°，
∵OH⊥OM，
∴∠MOH＝90°，
∵∠OMB＝45°，
∴△MOH是等腰直角三角形，
∴OM＝OH．
∵∠MON＋∠KOH＝90°，∠OHK＋∠KOH＝90°，
∴∠MON＝∠OHK，
∴△OMN≌△HOK(AAS)，
∴MN＝OK，ON＝HK．
∴H(﹣2m＋6，﹣m)，
∵点H(﹣2m＋6，﹣m)在直线y＝﹣2x＋6上，
∴﹣2(﹣2m＋6)＝﹣m，解得：m＝eq \f(6,5)，
把m＝eq \f(6,5)代入y＝﹣2x＋6得：y＝eq \f(18,5)，
∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为(eq \f(6,5),eq \f(18,5))；
(3)存在，理由如下：
∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋4x＋6＝﹣2(x﹣1)2＋8，顶点为D，
∴点D的坐标为(1，8)，
分两种情况讨论：
①当CD为菱形的边时，如图2，过C作CE⊥DQ于E
∵C(0，6)，D(1，8)，
∴CD＝eq \r(5)，
∴DQ＝CD＝eq \r(5)，
∴Q点的坐标为(1，8﹣eq \r(5))或(1，8＋eq \r(5))；
②当CD为菱形的对角线时，
如图3，设点Q(1，m)，P(0，n)，
∵C(0，6)，D(1，8)，
∴m＋n＝6＋8＝14，
∴n＝14﹣m，
∴P(0，14﹣m)，
∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，
∵CQ＝，PC＝CQ，
∴8﹣m＝，解得：m＝eq \f(27,4)，
∴点Q的坐标为(1，eq \f(27,4))；
综上所述，点Q的坐标为(1，8﹣eq \r(5))或(1，8＋eq \r(5))或(1，eq \f(27,4))．
如图，已知直线y=﹣eq \f(3,2)x+eq \f(9,2)与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝ax2＋3x＋c经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为(0,eq \r(3))．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)在y=﹣eq \f(3,2)x+eq \f(9,2)中，令x＝0得y＝eq \f(9,2)，令y＝0得x＝3，
∴B(3，0)，C(0，eq \f(9,2))，
把B(3，0)，C(0，eq \f(9,2))代入y＝ax2＋3x＋c得：
，解得，
∴抛物线的函数表达式是y＝﹣eq \f(3,2)x2＋3x＋eq \f(9,2)；
(2)在抛物线上存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵y＝﹣eq \f(3,2)x2＋3x＋eq \f(9,2)＝﹣eq \f(3,2)(x﹣1)2＋6，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
∵E(0，eq \r(3))，F关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴F(2，eq \r(3))，设Q(1，t)，P(m，﹣eq \f(3,2)m2＋3m＋eq \f(9,2))，
①当EF，PQ是对角线时，EF的中点即是PQ的中点，如图：
∴，解得m＝1，
∵E(0，eq \r(3))，F关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，
∴EQ＝FQ，
∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴P(1，6)；
②当EQ，FP为对角线时，EQ，FP的中点重合，如图：
∴，解得，
∴P(﹣1，0)，Q(1，0)，而F(2，eq \r(3))，
∴FQ＝2＝PQ，
∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴P(﹣1，0)；
③当EP，FQ为对角线，EP，FQ的中点重合，如图：
∴，解得，
∴P(3，0)，Q(1，0)，
而F(2，eq \r(3))，∴FP＝QP＝2，
∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴P(3，0)，
综上所述，P的坐标是(1，6)或(﹣1，0)或(3，0)．
如图，直线y＝﹣2x＋8分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B，C两点，其顶点为M，对称轴MN与直线BC交于点N．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q，问：是否存在点P，使四边形MNPQ为菱形？并说明理由；
(3)如图2，点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作EF∥BC，直线EF与抛物线交于点E，F，与直线y＝﹣4x交于点H，若，求点G的坐标．
【答案解析】解：(1)∵直线y＝﹣2x＋8分别交x轴，y轴于点B，C，
∴B(4，0)，C(0，8)，
∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B，C两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋8；
(2)不存在点P，使四边形MNPQ为菱形．理由如下：
设P(t，﹣2t＋8)，
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，即PQ∥y轴，
则Q(t，﹣t2＋2t＋8)，
∴PQ＝﹣t2＋2t＋8﹣(﹣2t＋8)＝﹣t2＋4t，
∵y＝﹣x2＋2x＋8＝﹣(x﹣1)2＋9，
∴抛物线的顶点为M(1，9)，对称轴为直线x＝1，
∴N(1，6)，
∴MN＝9﹣6＝3，MN∥y轴，
∴PQ∥MN，
要使四边形MNPQ为菱形，必须PQ＝MN＝PN，
由﹣t2＋4t＝3，解得：t＝1或t＝3，
当t＝1时，点P与点N重合，点Q与点M重合，舍去；
当t＝3时，P(3，2)，Q(3，5)，
∴PQ＝5﹣2＝3，
∴PQ＝MN，
∵PQ∥MN，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∵PN＝2eq \r(5)，
∴PN≠MN，
故四边形MNPQ不能为菱形．
(3)如图(2)，连接MG，过点H、E、F分别作y轴的垂线，垂足依次为K、L、T，
设G(0，m)，
∵EF∥BC，直线BC：y＝﹣2x＋8，
∴直线EF的解析式为y＝﹣2x＋m，
∵直线EF与直线y＝﹣4x交于点H，
∴，解得：，
∴H(﹣eq \f(1,2)m，2m)，∴HK＝﹣eq \f(1,2)m，GK＝﹣m，
在Rt△GHK中，HG＝﹣eq \f(\r(5),2)m，
∵直线EF与抛物线交于点E，F，
∴﹣x2＋2x＋8＝﹣2x＋m，
整理得：x2﹣4x＋m﹣8＝0，
∴xE＋xF＝4，xExF＝m﹣8，
在Rt△BOC中，OB＝4，OC＝8，
∴BC＝4eq \r(5)，
∴sin∠BCO＝eq \f(\r(5),5)，
∵EF∥BC，
∴∠FGT＝∠EGL＝∠BCO，
∴sin∠FGT＝sin∠EGL＝sin∠BCO＝eq \f(\r(5),5)，
∴EG＝﹣eq \r(5)xE，FG＝eq \r(5)xF，
∴﹣＝＝＝，
∵﹣＝，∴＝，解得：m＝﹣8，
∴点G的坐标为(0，﹣8)．
如图，已知直线y＝eq \f(4,3)x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)当x＝0时，y＝4，
∴C (0，4)，
当y＝0时，eq \f(4,3)x＋4＝0，
∴x＝﹣3，
∴A (﹣3，0)，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴B(1，0)，
∴设抛物线的表达式：y＝a(x﹣1)(x＋3)，
∴4＝﹣3a，
∴a＝﹣eq \f(4,3)，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣eq \f(4,3)(x﹣1)(x＋3)＝﹣eq \f(4,3)x2﹣eq \f(8,3)x＋4；
(2)如图1，
作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D(m，﹣eq \f(4,3)m2﹣eq \f(8,3)m＋4)，E(m，eq \f(4,3)m＋4)，
∴DE＝﹣eq \f(4,3)m2﹣eq \f(8,3)m＋4﹣(eq \f(4,3)m＋4)＝﹣eq \f(4,3)m2﹣4m，
∴S△ADC＝eq \f(1,2)DE•OA＝eq \f(3,2)(﹣eq \f(4,3)m2﹣4m)＝﹣2m2﹣6m，
∵S△ABC＝8，
∴S＝﹣2m2﹣6m＋8＝﹣2(m＋eq \f(3,2))2＋12.5，
∴当m＝﹣eq \f(3,2)时，S最大＝12.5，
当m＝﹣eq \f(3,2)时，y＝5，∴D(﹣eq \f(3,2)，5)；
(3)设P(﹣1，n)，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，
∴(﹣1＋3)2＋n2＝1＋(n﹣4)2，
∴n＝，∴P(﹣1，)，
∵xP＋xQ＝xA＋xC，yP＋yQ＝yA＋yC
∴xQ＝﹣3﹣(﹣1)＝﹣2，yQ＝4﹣＝，
∴Q(﹣2，)．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c(a≠0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解(OA＜OB)，点D(2，m)在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式及m的值；
(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝ ；
(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了 个单位；
(4)点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．
【答案解析】解：(1)所给不等式组的解集为2≤x＜4，其整数解为2，3，
∵OA、OB的长是所给不等式组的整数解，且OA＜OB，
∴OA＝2，OB＝3，则A(﹣2，0)，B(3，0)，
∵点A、B在抛物线上，
∴，解得a=1,c=-6，
∴所求的抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6，
∵点D(2，m)在抛物线上，
∴m＝22﹣2﹣6＝﹣4；
(2)如图1所示，连接AD交y轴于点E，则此时AE＋ED最小，
设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵点A(﹣2，0)，D(2，﹣4)在直线AD上，
∴，解得，
∴直线AD的函数解析式为y＝﹣x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
即E(0．﹣2)，
∴OE＝|﹣2|＝2，
故答案为：2；
(3)如图1，
∵AD∥FB，
∴△AEO∽△BFO，
∴＝，
∵OE＝OA＝2，
∴OF＝OB＝3，
∵C(0，﹣6)，
∴OC＝|﹣6|＝6，
∴CF＝CO＋OF＝6＋3＝9，
∴抛物线向上平移9个单位，
故答案为：9；
(4)∵以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，
由∵OA≠OB，
∴AB与MN不能作为一组对角线，
∴分两种情况：
①以AM与BN为对角线时，如图2①和图2②，
如图2①，AB＝OA＋OB＝2＋3＝5，
∵四边形ABMN是菱形，
∴MN∥AB∥x轴，MN＝MB＝AB＝5，
在Rt△MBO中，OM＝4，
∴M(0，4)，
∴N(﹣5，4)，
如图2②，同理可得：N(﹣5，﹣4)，
②以AN与BM为对角线时，如图2③和图2④，
如图2③，菱形的边长仍为5，MN∥x轴，
∵MO＝eq \r(21)，
∴M(0，eq \r(21))，
∴N(5，eq \r(21))，
如图2④，同理可得：N(5，﹣eq \r(21))，
综上所述，①②两种情况，符合条件的点N的坐标为：
N1(﹣5，﹣4)、N2(﹣5，4)、N3(5，eq \r(21))、N4(5，﹣eq \r(21))．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，6)，点E为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
(2)若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，当以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A (2，0)，B两点，
∴点B(6，0)，
设抛物线的解析式为：y＝a(x﹣2)(x﹣6)，
∵抛物线图象过点C (0，6)，
∴6＝a(0﹣2)(0﹣6)，
∴a＝eq \f(1,2)，
∴抛物线的解析式为：y＝eq \f(1,2)(x﹣2)(x﹣6)＝eq \f(1,2)x2﹣4x＋6，
∵y＝eq \f(1,2)x2﹣4x＋6＝eq \f(1,2)(x﹣4)2﹣2，
∴顶点E坐标为(4，﹣2)；
(2)∵将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，
∴CM＝C'M，EM＝E'M，
∴四边形CEC'E'是平行四边形，
设点M(m，0)，
∵点C (0，6)，点E(4，﹣2)，CM＝C'M，EM＝E'M，
∴点C'(2m，﹣6)，点E'(2m﹣4，2)，
∵以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形，
∴CE＝C'E，
∴＝，
∴m1＝﹣2，m2＝6，
∴点M(﹣2，0)或(6，0)，
当M(﹣2，0)时，点E'(﹣8，2)，
∴旋转后的抛物线解析式为：y＝﹣eq \f(1,2)(x＋8)2＋2；
当M(6，0)时，点E'(8，2)，
∴旋转后的抛物线解析式为：y＝﹣eq \f(1,2)(x﹣8)2＋2；
综上所述：点M(﹣2，0)或(6，0)，旋转后的抛物线解析式为：
y＝﹣eq \f(1,2)(x＋8)2＋2或y＝﹣eq \f(1,2)(x﹣8)2＋2．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(﹣1，0)，B(4，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；
(3)点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：将A(﹣1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋3，
得，解得，
∴解析式为；
(2)当x＝0时，，
∴C(0，3)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将B(4，0)，C(0，3)分别代入得，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣eq \f(3,4)+3，
过点D作y轴的平行线，交直线BC与点F，交x轴于点H，
过点A作y轴的平行线，交直线BC与点G，
∵A(﹣1，0)，
∴当x＝﹣1时，y＝eq \f(15,4)，
∴G(-1,eq \f(15,4))，AG=eq \f(15,4)，
∵AG∥y轴∥DF，
∴△DEF∽△AEG，
∴，∴＝，∴DF＝3，
设，，
∴，解得：t1＝t2＝2，
∴D(2,eq \f(9,2))，
∴DH=eq \f(9,2)，AH＝1＋2＝3，
在Rt△ADH中，tan∠DAB=eq \f(3,2)；
(3)存在，分三种情况：①如图2，四边形ACPQ是菱形，则PC＝AC，
设P(x，﹣eq \f(3,4)x＋3)，
∵A(﹣1，0)，C(0，3)，
∴得：x＝±eq \f(4,5)eq \r(10)，
当x＝﹣eq \f(4,5)eq \r(10)时，P(﹣eq \f(4,5)eq \r(10)，eq \f(3,5)eq \r(10)+3)，
∴Q(﹣eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，eq \f(3,5)eq \r(10))，
当x＝eq \f(4,5)eq \r(10)时，P(eq \f(4,5)eq \r(10)，﹣eq \f(3,5)eq \r(10)+3)，
∴Q(eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，﹣eq \f(3,5)eq \r(10))；
②如图3，四边形APCQ是菱形，
∵BC＝AB＝5，
∴B在AC的垂直平分线上，
∴P与B重合，
∴Q(﹣5，3)；
③如图4，四边形ACQP是菱形，同理得P(1.6，eq \f(9,5))，
∴Q(2.6，eq \f(24,5))；
综上，点Q的坐标为(﹣eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，eq \f(3,5)eq \r(10))或(eq \f(4,5)eq \r(10)﹣1，﹣eq \f(3,5)eq \r(10))或(﹣5，3)或(2.6，eq \f(24,5))．
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；
(3)试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝x2＋bx＋c得：
，解得：，
∴y＝x2＋2x﹣3；
(2)如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，
∵A(﹣3，0)，C(0，﹣3)，
设直线AC的解析式为：y＝kx＋n，
∴，∴，
∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵P点的横坐标为m，
∴P的坐标是(m，m2＋2m﹣3)，则M的坐标是(m，﹣m﹣3)，
∴PM＝﹣m﹣3﹣(m2＋2m﹣3)＝﹣m2﹣3m，
∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，
∴﹣3＜m＜0，
∴S＝eq \f(1,2)PMOA＝eq \f(3,2)(﹣m2﹣3m)＝﹣eq \f(3,2)m2﹣eq \f(9,2)m(﹣3＜m＜0)；
(3)分两种情况：
①如图2，四边形CDEB是菱形，
设D(t，﹣t﹣3)，则E(t＋1，﹣t)，
∵四边形CDEB是菱形，
∴CD＝BC，
∴(t﹣0)2＋(﹣t﹣3＋3)2＝12＋32，
∴t＝±eq \r(5)，
∵t＜0，
∴t＝﹣eq \r(5)，
∴E(﹣eq \r(5)＋1，eq \r(5))；
②如图3，四边形CBDE是菱形，
设D(t，﹣t﹣3)，则E(t﹣1，﹣t﹣6)，
∵四边形CBDE是菱形，
∴CE＝BC，
∴(t﹣1﹣0)2＋(﹣t﹣6＋3)2＝12＋32，
∴t＝0(舍)或﹣2，
∴E(﹣3，﹣4)；
综上所述，点E的坐标为(﹣eq \r(5)＋1，)或(﹣3，﹣4)．
相关试卷
中考数学二轮复习压轴题培优专题16 二次函数的存在性问题（教师版）： 这是一份中考数学二轮复习压轴题培优专题16 二次函数的存在性问题（教师版），共86页。
2023年中考数学二轮复习压轴题培优练习专题7二次函数与菱形存在性问题（教师版）： 这是一份2023年中考数学二轮复习压轴题培优练习专题7二次函数与菱形存在性问题（教师版），共97页。
中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与圆存在性问题（2份打包，教师版+原卷版）： 这是一份中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与圆存在性问题（2份打包，教师版+原卷版），文件包含中考数学二轮压轴培优专题二次函数与圆存在性问题教师版doc、中考数学二轮压轴培优专题二次函数与圆存在性问题原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
