中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与线段和最值问题（2份打包，教师版+原卷版）

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如图，点P为抛物线y＝eq \f(1,4)x2上一动点．
(1)若抛物线y＝eq \f(1,4)x2是由抛物线y＝eq \f(1,4)(x＋2)2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，﹣1)，过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP＋PF的最小值．
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝eq \f(1,4)(x＋2)2﹣1的顶点为(﹣2，﹣1)，
∴抛物线y＝eq \f(1,4)(x＋2)2﹣1的图象向上平移1个单位，
再向右2个单位得到抛物线y＝eq \f(1,4)x2的图象．
(2)①存在一定点F，使得PM＝PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B，
设点P坐标为(a，eq \f(1,4)a2)，∴PM＝PF＝eq \f(1,4)a2＋1，
∵PB＝|a|，
∴Rt△PBF中，BF＝|eq \f(1,4)a2﹣1|，
∵BF＝|eq \f(1,4)a2﹣1|，OB＝eq \f(1,4)a2，
∴OF＝1，
∴点F坐标为(0，1)．
②如图二中，
由①，PM＝PF，
QP＋PF的最小值为QP＋PM的最小值，
当Q、P、M三点共线时，QP＋PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．
∴QP＋PF的最小值为6．
如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(﹣4，0)，B(1，0)两点，过点B的直线y＝kx＋eq \f(2,3)分别与y轴及抛物线交于点C，D．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM＋MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)把A(﹣4，0)，B(1，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得
，解得：，
∴抛物线解析式为：y＝eq \f(2,3)x2＋2x﹣eq \f(8,3)，
∵过点B的直线y＝kx＋eq \f(2,3)，
∴代入(1，0)，得：k＝﹣eq \f(2,3)，
∴BD解析式为y＝﹣eq \f(2,3)x＋eq \f(2,3)；
(2)由得交点坐标为D(﹣5，4)，
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，
当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，
∴＝，即＝，解得t＝，
当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得＝，即＝，解得：t＝；
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，
∴＝，即＝，解得：t＝，
∴t的值为、、．
(3)由已知直线EF解析式为：y＝﹣x﹣，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM＋MN＝D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为(a，﹣eq \f(2,3)a﹣eq \f(10,3))，
∴＝，即＝，解得：a＝﹣2，
则N点坐标为(﹣2，﹣2)，
求得直线ND′的解析式为y＝eq \f(3,2)x＋1，当x＝﹣eq \f(3,2)时，y＝﹣eq \f(5,4)，
∴M点坐标为(﹣eq \f(3,2)，﹣eq \f(5,4))，
此时，DM＋MN的值最小为＝2．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C(0，3)，抛物线的顶点坐标为D(﹣1，4)．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点(点P不与B、D两点重合)，PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF＋EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案解析】解：(1)由抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A、B两点(A在B的左侧)，且OA＝3，OB＝1，得
A点坐标(﹣3，0)，B点坐标(1，0)；
(2)设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x﹣1)，
把C点坐标代入函数解析式，得
a(0＋3)(0﹣1)＝3，解得a＝﹣1，
抛物线的解析式为y＝﹣(x＋3)(x﹣1)＝﹣x2﹣2x＋3；
(3)EF＋EG＝8(或EF＋EG是定值)，理由如下：
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．
设P(t，﹣t2﹣2t＋3)，
则PQ＝﹣t2﹣2t＋3，AQ＝3＋t，QB＝1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴＝，
∴EF＝＝＝×(﹣t2﹣2t＋3)＝2(1﹣t)；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴＝，
∴EG＝＝＝2(t＋3)，
∴EF＋EG＝2(1﹣t)＋2(t＋3)＝8．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2＋bx＋c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，＋是定值，并求出该定值；
(3)点C(3，m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．
【答案解析】解：(1)∵顶点B关于x轴的对称点坐标为(2，1)，
∴B(2，﹣1)，
∴A(4，0)，
将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2＋bx＋c，
得到，解得，
∴y＝eq \f(1,4)x2﹣x；
(2)①设F(2，m)，G(x，y)，
∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y＋2|，
∴(y＋2)2＝y2＋4y＋4，
∵y＝eq \f(1,4)x2﹣x，
∴(y＋2)2＝y2＋4y＋4＝y2＋x2﹣4x＋4＝y2＋(x﹣2)2，
∴G到直线y＝﹣2的距离与点(2，0)和G点的距离相等，
∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；
∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，
∴(x﹣2)2＋(m﹣eq \f(1,4)x2﹣x＋2)2＝(eq \f(1,4)x2﹣x＋2)2，整理得，m(m﹣eq \f(1,2)x2＋2x)＝0，
∵距离总相等，∴m＝0，
∴F(2，0)；
②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M(xM，yM)，N(xN，yN)，
联立，整理得x2﹣(4＋4k)x＋8k＝0，
∴xM＋xN＝4＋4k，xMxN＝8k，
∴yM＋yN＝4k2，yMyN＝﹣4k2，
∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，
∴＋＝＋＝＝＝1，
∴＋＝1是定值；
(3)作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，
∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，
∴四边形PQBC周长＝BQ＋PQ＋PC＋BC＝B'Q＋PQ＋C'P＋CB＝C'B'＋CB，
∵点C(3，m)是该抛物线上的一点∴C(3，﹣eq \f(3,4))，
∵B(2，﹣1)，∴B'(﹣2，﹣1)，C'(3，eq \f(3,4))，
∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，
∴Q(0，﹣eq \f(3,10))，P(eq \f(6,7)，0)．
如图，抛物线y＝﹣eq \f(1,2)x2＋bx＋c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为(0，4)．
(1)求抛物线表达式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；
(4)点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．
【答案解析】解：(1)∵抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，∴b＝﹣1，
将(0，4)代入y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣x＋c中，
∴c＝4，∴y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣x＋4．
(2)如图1中，作PE⊥x轴于点E．
∵∠ABP＝∠BCO，∠PEB＝∠BOC＝90°，
∴△PEB∽△BOC，
∴ (此处也可以由等角的正切值相等得到)，
设P(m,﹣eq \f(1,2)m2﹣m＋4)，则PE＝|﹣eq \f(1,2)m2﹣m＋4|，BE＝2﹣m，
①当点P在x轴上方时：，解得m1＝﹣3，m2＝2(不符题意，舍)，
②当点P在x轴下方时：，解得m1＝﹣5，m2＝2(不符题意，舍)，
∴P(﹣3,eq \f(5,2))或(﹣5,eq \f(7,2))．
(3)作MF⊥x轴于点F，交BP于点R，作MN⊥BP于点N．
∵y＝﹣eq \f(1,2)x2﹣x＋4=eq \f(1,2)(x＋4)(x﹣2)，
∴A(﹣4，0)，B(2，0)，
设yBP＝kx＋b1，将P(﹣3,eq \f(5,2)),(2,0)代入得解得k＝﹣eq \f(1,2),b1＝1，
∴yBP＝﹣eq \f(1,2)x＋1，
设M(a,﹣eq \f(1,2)a2﹣a＋4)，则R(a,﹣eq \f(1,2)a＋1)，
∴MR=﹣eq \f(1,2)a2﹣eq \f(1,2)a＋3，
∵∠MNR＝∠RFB＝90°，∠NRM＝∠FRB，
∴△MNR∽△BFR，
∴，∵tan∠ABP＝，
在Rt△MNR中NR：MN：MR＝1：2：eq \r(5)，
∴，
∴MN＝﹣eq \f(\r(5),5)(a＋eq \f(1,2))2＋eq \f(5,4)eq \r(5)，当a＝﹣eq \f(1,2)时，MN最大为eq \f(5,4)eq \r(5)．
(4)作Q点关于AC的对称点Q1，作Q关于CB的对称点Q2，连接Q1Q2与AC于G1，与CB交于点H1，连接QQ1交AC于J，连接QQ2交CB于K，此时△QG1H1的周长最小，这个最小值＝Q1Q2．
∵QJ＝JQ1，QK＝KQ2，
∴Q1Q2＝2JK，
∴当JK最小时，Q1Q2最小，如图2中：
∵∠CJQ＝∠CKQ＝90°，
∴C、J、Q、K四点共圆，线段CQ就是圆的直径，JK是弦，
∵∠JCK是定值，
∴直径CQ最小时，弦JK最小，
∴当点Q与点O重合时，CQ最小，此时JK最小，如图3中：
∵在Rt△COA中，∠COA＝90°，CO＝4，AO＝4，
∴AC＝4eq \r(2)，
∵Rt△COB，∠COB＝90°，CB＝2eq \r(5)，
∵OJ⊥AC，OK⊥CB，
∴eq \f(1,2)BCOK=eq \f(1,2)OCOB，∴OK＝eq \f(4\r(5),5)，∴CK＝eq \f(8\r(5),5)，
∵∠JCO＝∠OCA，∠CJO＝∠COA，
∴△CJO∽△COA，
∴，
∴CO2＝CJCA，同理可得：CO2＝CKCB，
∴CJCA＝CKCB，
∴，
∵∠JCK＝∠BCA，
∴△CJK∽△CBA，
∴＝，
∴JK＝eq \f(6,5)eq \r(10)，
∴△QGH周长的最小值＝Q1Q2＝2JK＝eq \f(12,5)eq \r(10)．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．
①求DF＋HF的最大值；
②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．
【答案解析】解：(1)将点A(﹣1，0)，B(3，0)代入抛物线y＝﹣x2＋bx＋c得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋2x＋3．
(2)①当x＝0时，y＝﹣x2＋2x＋3＝3，
∴点C(0，3)，
又∵B(3，0)，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x＋3，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
作FK⊥y轴于点K，
又∵FH⊥BC，
∴∠KFH＝∠KHF＝45°，
∴FH＝eq \r(2)KF＝eq \r(2)OE，
∴DF＋HF＝DE﹣EF＋eq \r(2)OE＝(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)＋eq \r(2)m＝﹣m2＋(3＋eq \r(2))m，
由题意有0＜m＜3，且0＜eq \f(3,2)＋eq \f(\r(2),2)＜3，﹣1＜0，
∴当m＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(2),2)时，DF＋HF取最大值，
DF＋HF的最大值为：﹣(eq \f(3,2)＋eq \f(\r(2),2))2＋(3＋eq \r(2))×eq \f(3,2)＋eq \f(\r(2),2)＝eq \f(11,4)＋eq \f(3,2)eq \r(2)；
②作GM⊥y轴于点M，记直线FH与x轴交于点N，
∵FK⊥y轴，DE⊥x轴，∠KFH＝45°，
∴∠EFH＝∠ENF＝45°，
∴EF＝EN，
∵∠KHF＝∠ONH＝45°，
∴OH＝ON，
∵y＝﹣x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1，
∴MG＝1，
∵HG＝eq \r(2)MG＝eq \r(2)，
∵∠GEH＝45°，
∴∠GEH＝∠EFH，
又∠EHF＝∠GHE，
∴△EHG∽△FHE，
∴HE：HG＝HF：HE，
∴HE2＝HGHF＝eq \r(2)×eq \r(2)m＝2m，
在Rt△OEH中，
OH＝ON＝|OE﹣EN|＝|OE﹣EF|＝|m﹣(﹣m＋3)|＝|2m﹣3|，
∵OE＝m，
∴HE2＝OE2＋OH2＝m2＋(2m﹣3)2＝5m2﹣12m＋9，
∴5m2﹣12m＋9＝2m，解得：m＝1或eq \f(9,5)．
在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣eq \f(3,4)x2＋bx＋c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为(﹣1，0)，(3，0)，点M为顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；
(3)在(2)的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP＋BP的最小值．
【答案解析】解：(1)将点A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝﹣eq \f(3,4)x2＋bx＋c，
得，解得，
∴抛物线解析式为 y＝﹣eq \f(3,4)x2＋eq \f(3,2)x＋eq \f(9,4)；
(2)M(1，3)．
∵矩形OBDC中，CO＝OB＝3．
∴四边形OBDC是正方形，过点P作PE⊥y轴，垂足为E点，连接PC，如图2，
∵∠PHB＝90°，
∴∠PHE＋∠BHO＝90°，
∵∠OBH＋∠BHO＝90°，
∴∠PHE＝∠OBH，
又HP＝HB，
∴△PEH≌△HOB(AAS)，
∴PE＝OH，EH＝OB，
∵OB＝OC，
∴OC＝EH，
∴EC＝OH，
∴EC＝EP，
∴∠ECP＝45°，
∴∠PCD＝45°；
(3)如图3，由(2)可知，点P在直线PC上运动，作点O关于直线PC的对称点F，连接BF，直线PC交x轴于点Q，连接FQ，
∵CD‖x轴，
∴∠PCD＝∠PQO＝45°，
∴OQ＝OC＝OB＝3，
由作图知，∠FQC＝∠PQO＝45°，FQ＝OQ＝3，
∴∠FQB＝90°，
∴BF＝3eq \r(5)，
∴OP＋BP的最小值为3eq \r(5)．
如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与一直线相交于A(﹣1，0)，C(2，3)两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
(1)抛物线及直线AC的函数关系式；
(2)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
(4)设点M的坐标为(3，m)，直接写出使MN＋MD的和最小时m的值．
【答案解析】解：(1)由抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A(﹣1，0)及C(2，3)得，
，解得，
∴抛物线为y＝﹣x2＋2x＋3；
又设直线为y＝kx＋n过点A(﹣1，0)及C(2，3)，
得，解得，
∴直线AC为y＝x＋1；
(2)以B，D，E，F为顶点的四边形可以为平行四边形
∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4，
∴D(1，4)，
当x＝1时，y＝x＋1＝2，
∴B(1，2)，
∴BD＝2，
∵点E在直线AC上，设E(x，x＋1)，
⸪EF∥BD，
⸫当EF＝BD＝2时，以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F(x，x＋3)，
∵F在抛物线上，
∴x＋3＝﹣x2＋2x＋3，解得，x＝0或x＝1(舍去)，
∴E(0，1)；
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时，点F在点E下方，则F(x，x﹣1)，
∵F在抛物线上，
∴x﹣1＝﹣x2＋2x＋3，解得x＝eq \f(1,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)或x＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)，
∴E(eq \f(1,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))或(eq \f(1,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))，
综上，满足条件的点E的坐标为(0，1)或E(eq \f(1,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17)，eq \f(3,2)﹣eq \f(1,2)eq \r(17))或(eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17)，eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)eq \r(17))；
(3)如图2，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q(x，x＋1)，则P(x，﹣x2＋2x＋3)，
∴PQ＝(﹣x2＋2x＋3)﹣(x＋1)＝﹣x2＋x＋2
又∵S△APC＝S△APQ＋S△CPQ＝eq \f(1,2)PQAG＝eq \f(1,2)(﹣x2＋x＋2)×3＝﹣eq \f(3,2)(x﹣eq \f(1,2))2＋eq \f(27,8)，
∴△APC面积的最大值为eq \f(27,8)；
(4)作直线x＝3，作点D关于直线x＝3的对称点D′，得D′坐标为(5，4)，
连结ND′交直线x＝3于点M，此时N、M、D′三点共线时，NM＋MD′最小，即NM＋MD最小，
设直线ND′的关系式为：y＝mx＋n，
把点N(0，3)和D′(5，4)代入，
，
得m＝eq \f(1,5)，n＝3，
∴直线NM的函数关系式为：y＝eq \f(1,5)x＋3，
当x＝3时，y＝eq \f(18,5)，m＝eq \f(18,5)．
已知点A(﹣2，0)，B(3，0)，抛物线y＝ax2＋bx＋4过A，B两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AC上一动点(不与C点重合)，作PQ⊥BC交抛物线于点Q，PH⊥x轴于点H．
①连结CQ，BQ，PB，当四边形PCQB的面积为eq \f(25,4)时，求P点的坐标；
②直接写出PH＋PQ的取值范围．
【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4过A(﹣2，0)，B(3，0)两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(2,3)x＋4；
(2)①由(1)知：y＝﹣eq \f(2,3)x2＋eq \f(2,3)x＋4，
当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)，
在Rt△BOC中，BC＝5，
∵PQ⊥BC，S四边形PCQB＝eq \f(25,4)，
∴eq \f(1,2)×5PQ＝eq \f(25,4)，∴PQ＝eq \f(5,2)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋d，
则，解得：，
∴直线AC的解析式为y＝2x＋4，
如图1，设P(t，2t＋4)，Q(s，﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s＋4)，
过点P作PK∥x轴，过点Q作QK∥y轴，设PK交y轴于点T，PQ交y轴于点F，交BC于点G，则QK＝﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s＋4﹣(2t＋4)＝﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s﹣2t，PK＝s﹣t，
∵PQ⊥BC，PK⊥y轴，
∴∠CGF＝∠PTF＝90°，
∵∠CFG＝∠PET，
∴∠BCO＝∠QPK，
∵∠BOC＝∠QKP＝90°，
∴△BCO∽△QPK，
∴＝＝，即＝＝，
∴PK＝2，QK＝eq \f(3,2)，
∴，解得：，，
∵点P是线段AC上一动点(不与C点重合)，
∴﹣2≤t＜0，
t＝﹣3＋eq \f(1,2)eq \r(19)，2t＋4＝2×(﹣3＋eq \f(1,2)eq \r(19))＋4＝eq \r(19)﹣2
∴P(﹣3＋eq \f(1,2)eq \r(19)，eq \r(19)﹣2)；
②由①得：P(t，2t＋4)，Q(s，﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s＋4)，QK＝﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s﹣2t，
PK＝s﹣t，△BCO∽△QPK，
∴＝＝，即＝＝，
∴PQ＝eq \f(5,3)QK＝eq \f(5,3)(﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s﹣2t)＝﹣s2＋s﹣eq \f(10,3)t，
∵4QK＝3PK，即4(﹣eq \f(2,3)s2＋eq \f(2,3)s﹣2t)＝3(s﹣t)，
∴t＝﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s，
∴PQ＋PH＝﹣s2＋s﹣eq \f(10,3)t＋2t＋4
＝﹣s2＋s﹣eq \f(4,3)(﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s)＋4＝﹣eq \f(2,5)(s﹣eq \f(3,2))2＋4.9，
∵﹣2≤t＜0，
∴﹣2≤﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s＜0，
令﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s＝2，解得：s＝﹣2或eq \f(15,8)，
令﹣eq \f(8,15)s2﹣eq \f(1,15)s＝0，解得：s＝0或﹣eq \f(1,8)，
∵点Q在第一象限，即0＜s＜3，
∴0＜s≤eq \f(15,8)，
∵﹣eq \f(2,5)＜0，
∴当s＝eq \f(3,2)，即t＝﹣1.3时，PQ＋PH取得最大值4.9，
当x＝0时，PQ＋PH取得最小值，∴4＜PQ＋PH≤4.9．
如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、C的抛物线C：y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E．
(1)求抛物线C的对称轴．
(2)将直线l向右平移得到直线l1．
①如图①，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB＋PC的值最小，求直线l1的解析式．
②如图 ②，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案解析】解：(1)在y＝﹣3x﹣6中，令y＝0，
即﹣3x﹣6＝0，x＝﹣2，得A(﹣2，0)．
令x＝0，得y＝﹣6，得C(0，﹣6)，
将点A、C的坐标代入抛物线C的表达式，
得：，解得，
∴抛物线C的解析式为y＝eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6，其对称轴为x＝2；
(2)①如图，连接BC交DE于点P′，
则PB＋PC≥BC．当点P到达点P时，
PB＋PC＝QP′B＋P′C＝BC的值最小，
令y＝0，即0＝eq \f(1,2)x2﹣2x﹣6，解得 x1＝﹣2，x2＝6．
∴点B坐标为(6，0)．
设直线BC的表达式为 y＝kx＋h，
则：，解得．
∴y＝x﹣6，
当x＝2时，y＝2﹣6＝﹣4．
∴点P′即点P的坐标为(2，﹣4)，
∵将直线l：y＝﹣3x﹣6向右平移得到直线l1，
∴设直线l1的解析式为y＝﹣3x＋h1．则﹣4＝﹣3×2＋h1，
∴h1＝2．
∴直线l1的解析式为y＝﹣3x＋2；
②存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形．
由点F在直线BC：y＝x﹣6上，可设点F(m，m﹣6)．
Ⅰ当AM为边时，如图，过点A作AM∥CB交l1于点M．
∵FM∥CA，
∴当FM＝CA时，以点A、C、F、M为顶点的四边形ACFM是平行四边形．
当CA＝CF时，▱ACFM是菱形．
过点F作FH⊥CO于H，则CH＝|(m﹣6)﹣(﹣6)|＝|m|．CF2＝CH2＋FH2＝m2＋m2＝2m2，
∵CA2＝22＋62＝40，
∴2m2＝40，∴m1=2eq \r(5),m2=﹣2eq \r(5)(舍去)，
∴F(2eq \r(5)，2eq \r(5)﹣6)．
∵FM∥CA且FM＝CA，
∴可将CA先向右平移2eq \r(5)单位、再向上平移2eq \r(5)单位得到FM，
即可将点A(﹣2，0)先向右平移2eq \r(5)单位、再向上平移2eq \r(5)单位得到点M．
故点M的坐标为(2eq \r(5)﹣2，2eq \r(5))；
Ⅱ当AM为对角线时，连接AF，过点C作CM∥AF交l1于点M．
∵FM∥AC，
∴当FM＝AC时，以点A、C、F、M为顶点的四边形ACFM是平行四边形．
当AC＝AF时，▱ACMF是菱形．
∵AF2＝(m＋2)2＋(m﹣6)2，CA2＝40，
∴(m＋2)2＋(m﹣6)2＝40，
∴m1＝4，m2＝0(舍去)，
∴点F的坐标为(4，﹣2)．
∵FM∥AC且FM＝AC，
∴可将AC先向右平移6个单位、再向下平移2个单位得到FM，
即可将点C(0，﹣6)先向右平移6单位、再向下平移2单位得到点M．
∴点M的坐标为(6，﹣8)．
综上，点M的坐标为(2eq \r(5)﹣2，2eq \r(5))或(6，﹣8)．