专题08 极值点偏移问题（讲）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇

专题08 极值点偏移问题（讲）

真题体验 感悟高考

1．（2021·全国·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A． B．

C． D．

2.（2022·全国·高考真题（理））已知函数．

(1)若，求a的取值范围；

(2)证明：若有两个零点，则．

总结规律 预测考向

（一）规律与预测

1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.

2.对于某些涉及函数零点的不等式证明问题，有时可以根据极值点的情况，采取特定处理方式，老师们称为“极值点偏移问题”.所谓极值点偏移是指：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．

（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析

考向一  结论x1＋x2>2x0型不等式证明问题

【核心知识】

对称化构造法：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)．

【典例分析】

典例1.【多选题】（2021·江苏·淮阴中学高三阶段练习）已知关于的方程有两个不等的正根，且，则下列说法正确的有（    ）

A． B． C． D．

典例2.（2021·辽宁丹东·高三阶段练习）已知，，

(1)若恒成立，求的最大值

(2)若，是的两个零点，且求证：

典例3.（2021·全国·高三专题练习）已知函数．

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值；

（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：．

典例4.（2022•汕头一模）已知函数有两个相异零点，．

（1）求的取值范围；

（2）求证：．

【规律方法】

对称法解决极值点偏移的基本原理是利用函数的单调性，把要证明的 （ 是极值点）转化为证明 ，再转化为 ，又根据 ，可以转化为证明 ，而  是固定的， 是变量，这样就把一个双变量不等式转化为了单变量不等式，从而以 为未知量来构造函数证明不等式即可.

考向二  结论型不等式证明问题

【核心知识】

对称化构造法：对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式.

【典例分析】

典例5.（2021·全国·高三阶段练习（理））有同学在研究指数函数和幂函数的图像时，发现它们在第一象限有两个交点和．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同学的猜想．

(1)函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点；

(2)设，，且，若，则．其中为自然对数的底，

典例5. （2022·广东深圳·高二期末）设函数，已知直线是曲线的一条切线.

(1)求的值，并讨论函数的单调性；

(2)若，其中，证明：.

典例6.（2021·全国·高三专题练习）已知函数

（1）若时，恒成立，求的取值范围；

（2）求证且；

（3）当时，方程有两个不相等的实数根，求证

考向三  双变量不等式不等式证明问题

【核心知识】

比值代换法：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明．

【典例分析】

典例7.（2021·河南·濮阳一高高三阶段练习（文））已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．

（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；

（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（）的大小；

（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．

典例8.（2022·全国·高二专题练习）已知函数．

（1）若，求的单调区间；

（2）若在上有两个极值点、．

①求实数的取值范围；

②求证：．

典例9. （2021·江苏·高二专题练习）已知函数，.

(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数a的值；

(2)若函数在定义域内有两个不同的极值点，.

（i）求实数a的取值范围；

（ii）当时，证明：.

典例10.（2021·安徽·高三阶段练习（理））已知函数，．

(1)讨论极值点的个数．

(2)若有两个极值点，，且，证明：．

典例11.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.

典例12. 已知函数f(x)＝xe－x.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2.