专题13 数列的通项与数列的求和（讲）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）

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真题体验 感悟高考
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·统考高考真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1. 等差(等比)数列的定义、通项公式及求和公式是高考的基础考点与高频考点.以小题居多，属于容易题.
2. 数列求和方法中的公式法、错位相减法、裂项相消法及分组求和法是高考的高频考点，以小题或解答题形式出现，难易程度有些起伏，从趋势看，与不等式等相结合，其难度有所增大，总体属于中档题.涉及数列的通项、递推与不等式相结合的客观题有所增加.
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 分组转化法求和
【核心知识】
1．等差数列的求和公式：；
2．等比数列的求和公式：
【典例分析】
典例1.（2023秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考阶段练习）已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前3项．
(1)求；
(2)设，求的前n项和．
典例2.（2022秋·北京·高三统考阶段练习）已知数列满足，.
(1)若，，
①求，，；
②求数列的通项公式；
(2)若，，求数列的通项公式.
典例3. （2022秋·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）已知数列的前n项和为，且满足，，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，求数列的前2n项和．
【规律方法】
分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
考向二 裂项相消法求和
【核心知识】
裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,anan＋1)))或eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,anan＋2)))(其中{an}为等差数列)等形式的数列求和．
【典例分析】
典例4.（2023秋·湖北十堰·高三统考阶段练习）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
典例5. （2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，、、成等差数列，且、、成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，证明：．
典例6. （2022秋·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知数列的各项均为正数，是其前项的和.若，且（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【总结提升】
利用裂项相消法求和的注意事项
1．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；
2．将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则eq \f(1,anan＋1)＝eq \f(1,d)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，eq \f(1,anan＋2)＝eq \f(1,2d)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an＋2))).
3.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：
（1） SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ，特别地当 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ；
（2），特别地当 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，；
（3）
（4）
（5）
考向三 错位相减法求和
【核心知识】
错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
【典例分析】
典例7.（2022·天津·统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
典例8.（2022·浙江杭州·模拟预测）已知数列满足，记，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项.
(1)求数列及的通项公式.
(2)求数列的前项和.
典例9.（2022秋·河北张家口·高三统考期末）已知为数列的前项和,．
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求数列的前项和．
【规律方法】
1．求解此类题需掌握三个技巧：一是巧分拆，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的积，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和．
2．运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列{an}，{bn}一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号.
3．用错位相减法求和时，应注意：
(1)等比数列的公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式．
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．
考向四 数列的综合问题
【核心知识】
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行等式的证明．
【典例分析】
典例10.（2022秋·江苏南通·高三期末）已知数列成等比数列，是其前项的和，若成等差数列.
(1)证明：成等差数列；
(2)比较与的大小；
(3)若，为大于1的奇数，证明：
典例11.（2021·浙江·统考高考真题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
典例12.（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知函数，其中
(1)当时，求；
(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小整数.
典例13.（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列，为等比数列，且满足，，，，，成等比数列.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
典例14. （2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)设，记，证明：当时，．
【总结提升】
1.数列与不等式的综合应用是高考命题的一个重要方向.此类问题的常见类型及求解策略: （1）依据数列的单调性解答数列中的最值问题.求解策略:一是根据数列的结构特征构建对应的函数，利用函数的性质、导数等判断函数的单调性，从而得到数列的单调性；二是通过对数列相邻项的比较( 作差、作商) 得到数列的单调性.
（2）利用“放缩法”证明数列型不等式.求解策略:一是在求和过程中将通项“放缩”为“可求和的数列”；二是求和后再 “放缩”.
2.易错提醒：
(1)公式an＝Sn－Sn－1适用于所有数列，但易忽略n≥2这个前提．
(2)数列和不等式的综合问题，要注意条件n∈N*，求最值要注意等号成立的条件，放缩不等式要适度．
考向五 数列中的奇、偶项问题
【核心知识】
数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列．
【典例分析】
典例15.（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
典例16.（2022秋·广东东莞·高三统考期末）已知数列的前n项和为，且对于任意的都有．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项中的最大值为，最小值为，令，求数列的前20项和．
典例17.（2022秋·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，.
(1)求，的通项公式.
(2)已知，求数列的前2n项和.
(3)求证：.
【规律方法】
1．数列中的奇、偶项问题的常见题型
①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；
②含有(－1)n的类型；
③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；
④已知条件明确的奇偶项问题．
2．对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
考向六 数列中的创新与数学文化问题
【核心知识】
数学文化问题是近年来高考命题的亮点，此类问题把数学史、数学美、数学语言、数学思维及数学方法结合起来，可有效考查学生在新情境中对数学文化的鉴赏、对数学知识的理解、对数学方法的迁移，因此备受命题者青睐.在我国浩瀚的传统文化中，有丰富的与数列有关的数学文化背景知识，故也成为近年高考命题的热点.
【典例分析】
典例18. （2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
典例19. （2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一；次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少？”.记这个人原来持金为斤，设，则（ ）
A．0B．1C．-1D．2
【规律方法】
对于数学文化中所涉及的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再利用数列的有关知识进行解答，最后对实际问题作出解释，必要时要进行检验.