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专题17 直线与圆及相关的最值问题（讲）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考）
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这是一份专题17 直线与圆及相关的最值问题（讲）-备战高考数学二轮复习核心考点精讲精练（新教材·新高考），文件包含专题17直线与圆及相关的最值问题讲解析版docx、专题17直线与圆及相关的最值问题讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
第一篇 热点、难点突破篇
专题17直线与圆及相关的最值问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
2．（2021·北京·统考高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
3．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
（1）直线、圆的方程及位置关系问题，多以选择题或填空题的形式呈现，此类试题难度中等偏下.有时也会出现在压轴题的位置，难度较大.
（2）和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，中低难度.
（3）和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 求直线方程
【核心知识】
1． 直线方程的几种形式：
2． 两直线平行、垂直的条件：
【典例分析】
典例1.（2020·山东·统考高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
典例2.（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
【规律方法】
解决直线方程问题的注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
(4)直线与圆相切时,利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，一般求切线方程时主要选择点斜式．
考向二 求圆的方程
【核心知识】
1. 圆的标准方程：
2. 圆的一般方程：
【典例分析】
典例3.（2023·全国·模拟预测）已知圆：与直线：，写出一个半径为，且与圆及直线都相切的圆的方程：______．
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.
【详解】设圆心为,由已知圆与直线：相切, 圆与圆：相切,
可得,即得或或,
且已知半径为,
所以圆的方程可以为: 或或
故答案为: (答案不唯一)
典例4.（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
典例5.（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
【总结提升】
求圆的方程一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
考向三 直线、圆的距离问题
【核心知识】
点到直线不同时为零)的距离.
【典例分析】
典例6.（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知直线与圆相交于两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求得点的轨迹，结合圆与直线的位置关系求解即可.
【详解】如图所示，设，
直线过定点，
圆的圆心为，半径为2，
因为，是线段的中点，所以，
所以，即，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，原点除外，
所以点到直线距离的最大值，
故选：C
典例7.（2023·四川绵阳·统考二模）已知，点A为直线上的动点，过点作直线与相切于点，若，则最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】设，由切线长公式、两点间距离公式计算，转化为点到和的距离之和，即，利用关于直线的对称点，得最小值为，此时共线．
【详解】设，由已知，圆半径为，
由切线长公式得，
所以，它表示点到和的距离之和，即，
设关于直线的对称点为,
，
易知当三点共线时，取得最小值．
故选：C．
典例8.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
典例9.（2023·重庆·统考一模）已知圆：上恰有3个点到直线：的距离等于2，则的值为_________．
【答案】
【分析】根据圆上个点到直线的距离等于,可得圆心到直线的距离为,
利用点到直线的距离公式解出即可.
【详解】解:因为圆的方程为,
所以圆心为,半径为,
因为圆上恰有个点到直线的距离都等于,
所以只需要圆心到直线的距离为即可,
直线方程为
所以圆心到直线的距离为:, 且
解得,
故答案为:
【规律方法】
（1）求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式.
（2）求两平行线之间的距离时，应先将两直线方程化为一般式且的系数对应相等.
（3）求曲线上任意一点到已知直线的最小距离时，要利用数形结合和转化与化归的思想解题.
考向四 直线与圆、圆与圆位置关系判断
【核心知识】
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
【典例分析】
典例10.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
典例11.【多选题】（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知直线与圆，则（ ）
A．直线必过定点 B．当时，被圆截得的弦长为
C．直线与圆可能相切 D．直线与圆不可能相离
【答案】ABD
【分析】将直线变形为，即可求定点坐标，即可判断A；根据弦长公式求弦长，判断B；根据直线所过定点与圆的关系，再结合直线方程的形式，即可判断CD.
【详解】A.，联立，得，所以直线过点，故A正确；
B.当时，，圆心到直线的距离，弦长，故B正确；
C.直线所过定点在圆上，过点与圆相切的直线是，
但直线，表示斜率存在的直线，表示不了直线，
故不存在直线与圆相切，故C错误；
D. 直线所过定点在圆上，所以直线与圆总有公共点，不可能相离，故D正确.
故选：ABD
典例12.（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
【总结提升】
1. 判断直线与圆的位置关系主要通过比较圆心到直线的距离和半径的大小，两个圆的位置关系的判断依据是两个圆的圆心距与两个圆的半径差的绝对值或和的大小关系.
2. 过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
考向五 直线与圆、圆与圆弦长问题
【核心知识】
半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 (其中为弦长，为圆的半径, 为圆心到弦的距离).
【典例分析】
典例13.【多选题】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（ ）
A．的最小值为4
B．当时，
C．四边形面积的最大值为16
D．为定值
【答案】ABD
【分析】当为中点时最小，即可求出，从而判断A；设到，的距离分别为，，则，求出，即可得到，从而求出，即可判断B；根据利用基本不等式求出四边形面积的最大值，即可判断C；分别取，的中点，，根据数量积的运算律求出的值，即可判断D.
【详解】解：当为中点时最小，，，故A正确；
设到，的距离分别为，，，∴，
又，∴，，故B正确；
因为，所以，则，当且仅当时取等号，
所以
，故C错误.
分别取，的中点，，
则
为定值，故D正确.
故选：ABD.
典例14.（2023秋·天津河西·高三校考期末）若过点的直线和圆交于两点，若弦长，则直线的方程为______.
【答案】或
【分析】根据题意结合垂径定理求得，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
若弦长，则，可得，
当直线的斜率不存在时，即直线为，故圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设为，则直线为，即，
故圆心到直线的距离为，解得
此时直线为；
综上所述：直线为或.
故答案为：或.
典例15. （2023·安徽淮南·统考一模）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为______；的面积为______.
【答案】
【分析】两圆相减得到相交弦方程，即直线的方程，求出圆心，得到到直线的距离，利用垂径定理得到，得到三角形面积.
【详解】两圆相减得：，化简得：，故直线的方程为，
圆变形得到，圆心，半径为2，
故圆心到直线的距离为，
由垂径定理得：，
故的面积为.
故答案为：，.
【总结提升】
求解圆的弦长的方法
1.几何法:根据半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 (其中为弦长，为圆的半径, 为圆心到弦的距离).
2.公式法:根据公式求解(其中为 弦长直线与圆相交所得两个交点的横坐标，为直线的斜率).
3.距离法:联立直线与圆的方程，解方程组先求出两交点坐标，再利用两点间的距离公式求解.
考向六 直线、圆与圆锥曲线
【核心知识】
圆锥曲线方程及其几何性质
【典例分析】
典例16.（2023·全国·高三对口高考）设、分别为椭圆的左右焦点，与直线相切的圆交椭圆于点，且是直线与圆相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．
【答案】
【分析】根据题意可得，利用椭圆性质可得，结合，即可求得.
【详解】如图所示，连接，易得，
圆的半径，所以，
而，所以，，
所以，且有，
化简可得，所以，
所以，可得．
故答案为：.
典例17.（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
典例18.（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
考向七 隐圆问题
【核心知识】
1.在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而利用圆的知识来求解，称这类问题为隐圆问题.
2.发现隐圆的方法
（1）利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.
（2）在平面上给定相异的两点，设点与点在 同一平面上，且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个圆我们称为阿波罗尼斯圆.
（3）两定点与动点满足，确定隐圆.
（4）两定点与动点满足是定值，确定隐圆.
【典例分析】
典例19.（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
典例20.（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知，点P满足，直线，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可求出点P的轨迹方程为，数形结合，当时， 此时点P到直线l的距离最大，计算即可求得m的值.
【详解】 ，设，则，
， ，化简得，
即点P的轨迹方程为，圆心为，半径为2，
，化简为，
由 ，解得，即直线恒过定点，
设定点为,如图，当时，此时点P到直线l的距离最大，
， ， ，
，.
故选：C.
典例21.（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________.
【答案】##
【分析】设，由、得到，整理得点在以为圆心，半径为的圆上，且圆心在直线上，过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，求出长度可得答案.
【详解】设，
因为，所以，
因为，所以，
，
整理得，
可得点在以为圆心，半径为的圆上，
，当时，
可得，即
圆心在在直线上，
过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，的长度也最小，
且长度最小值为，此时的最小值为.
故答案为：.
第一篇 热点、难点突破篇
专题17直线与圆及相关的最值问题（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2020·全国·统考高考真题）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
2．（2021·北京·统考高考真题）已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出
【详解】由题可得圆心为，半径为2，
则圆心到直线的距离，
则弦长为，
则当时，弦长取得最小值为，解得.
故选：C.
3．（2020·全国·统考高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
（1）直线、圆的方程及位置关系问题，多以选择题或填空题的形式呈现，此类试题难度中等偏下.有时也会出现在压轴题的位置，难度较大.
（2）和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，中低难度.
（3）和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 求直线方程
【核心知识】
1． 直线方程的几种形式：
2． 两直线平行、垂直的条件：
【典例分析】
典例1.（2020·山东·统考高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，
所以即.
故选：D.
典例2.（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
【规律方法】
解决直线方程问题的注意点
(1)求解两条直线平行的问题时，在利用建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．
(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．
(4)直线与圆相切时,利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，一般求切线方程时主要选择点斜式．
考向二 求圆的方程
【核心知识】
1. 圆的标准方程：
2. 圆的一般方程：
【典例分析】
典例3.（2023·全国·模拟预测）已知圆：与直线：，写出一个半径为，且与圆及直线都相切的圆的方程：______．
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可.
【详解】设圆心为,由已知圆与直线：相切, 圆与圆：相切,
可得,即得或或,
且已知半径为,
所以圆的方程可以为: 或或
故答案为: (答案不唯一)
典例4.（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．
【答案】
【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【详解】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
典例5.（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．
【答案】或或或．
【分析】方法一：设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【详解】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
【总结提升】
求圆的方程一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
考向三 直线、圆的距离问题
【核心知识】
点到直线不同时为零)的距离.
【典例分析】
典例6.（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知直线与圆相交于两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】求得点的轨迹，结合圆与直线的位置关系求解即可.
【详解】如图所示，设，
直线过定点，
圆的圆心为，半径为2，
因为，是线段的中点，所以，
所以，即，整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，原点除外，
所以点到直线距离的最大值，
故选：C
典例7.（2023·四川绵阳·统考二模）已知，点A为直线上的动点，过点作直线与相切于点，若，则最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】设，由切线长公式、两点间距离公式计算，转化为点到和的距离之和，即，利用关于直线的对称点，得最小值为，此时共线．
【详解】设，由已知，圆半径为，
由切线长公式得，
所以，它表示点到和的距离之和，即，
设关于直线的对称点为,
，
易知当三点共线时，取得最小值．
故选：C．
典例8.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知点在圆上，点、，则（ ）
A．点到直线的距离小于
B．点到直线的距离大于
C．当最小时，
D．当最大时，
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆的圆心为，半径为，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；
如下图所示：
当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD选项正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.
典例9.（2023·重庆·统考一模）已知圆：上恰有3个点到直线：的距离等于2，则的值为_________．
【答案】
【分析】根据圆上个点到直线的距离等于,可得圆心到直线的距离为,
利用点到直线的距离公式解出即可.
【详解】解:因为圆的方程为,
所以圆心为,半径为,
因为圆上恰有个点到直线的距离都等于,
所以只需要圆心到直线的距离为即可,
直线方程为
所以圆心到直线的距离为:, 且
解得,
故答案为:
【规律方法】
（1）求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式.
（2）求两平行线之间的距离时，应先将两直线方程化为一般式且的系数对应相等.
（3）求曲线上任意一点到已知直线的最小距离时，要利用数形结合和转化与化归的思想解题.
考向四 直线与圆、圆与圆位置关系判断
【核心知识】
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
【典例分析】
典例10.【多选题】（2021·全国·统考高考真题）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
典例11.【多选题】（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知直线与圆，则（ ）
A．直线必过定点 B．当时，被圆截得的弦长为
C．直线与圆可能相切 D．直线与圆不可能相离
【答案】ABD
【分析】将直线变形为，即可求定点坐标，即可判断A；根据弦长公式求弦长，判断B；根据直线所过定点与圆的关系，再结合直线方程的形式，即可判断CD.
【详解】A.，联立，得，所以直线过点，故A正确；
B.当时，，圆心到直线的距离，弦长，故B正确；
C.直线所过定点在圆上，过点与圆相切的直线是，
但直线，表示斜率存在的直线，表示不了直线，
故不存在直线与圆相切，故C错误；
D. 直线所过定点在圆上，所以直线与圆总有公共点，不可能相离，故D正确.
故选：ABD
典例12.（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
【总结提升】
1. 判断直线与圆的位置关系主要通过比较圆心到直线的距离和半径的大小，两个圆的位置关系的判断依据是两个圆的圆心距与两个圆的半径差的绝对值或和的大小关系.
2. 过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．
考向五 直线与圆、圆与圆弦长问题
【核心知识】
半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 (其中为弦长，为圆的半径, 为圆心到弦的距离).
【典例分析】
典例13.【多选题】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）过圆：内一点作两条互相垂直的弦，，得到四边形，则（ ）
A．的最小值为4
B．当时，
C．四边形面积的最大值为16
D．为定值
【答案】ABD
【分析】当为中点时最小，即可求出，从而判断A；设到，的距离分别为，，则，求出，即可得到，从而求出，即可判断B；根据利用基本不等式求出四边形面积的最大值，即可判断C；分别取，的中点，，根据数量积的运算律求出的值，即可判断D.
【详解】解：当为中点时最小，，，故A正确；
设到，的距离分别为，，，∴，
又，∴，，故B正确；
因为，所以，则，当且仅当时取等号，
所以
，故C错误.
分别取，的中点，，
则
为定值，故D正确.
故选：ABD.
典例14.（2023秋·天津河西·高三校考期末）若过点的直线和圆交于两点，若弦长，则直线的方程为______.
【答案】或
【分析】根据题意结合垂径定理求得，再利用点到直线的距离公式运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.
【详解】由题意可知：圆的圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
若弦长，则，可得，
当直线的斜率不存在时，即直线为，故圆心到直线的距离为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设为，则直线为，即，
故圆心到直线的距离为，解得
此时直线为；
综上所述：直线为或.
故答案为：或.
典例15. （2023·安徽淮南·统考一模）已知圆与圆交于A，B两点，则直线的方程为______；的面积为______.
【答案】
【分析】两圆相减得到相交弦方程，即直线的方程，求出圆心，得到到直线的距离，利用垂径定理得到，得到三角形面积.
【详解】两圆相减得：，化简得：，故直线的方程为，
圆变形得到，圆心，半径为2，
故圆心到直线的距离为，
由垂径定理得：，
故的面积为.
故答案为：，.
【总结提升】
求解圆的弦长的方法
1.几何法:根据半径、弦心距、弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系 (其中为弦长，为圆的半径, 为圆心到弦的距离).
2.公式法:根据公式求解(其中为 弦长直线与圆相交所得两个交点的横坐标，为直线的斜率).
3.距离法:联立直线与圆的方程，解方程组先求出两交点坐标，再利用两点间的距离公式求解.
考向六 直线、圆与圆锥曲线
【核心知识】
圆锥曲线方程及其几何性质
【典例分析】
典例16.（2023·全国·高三对口高考）设、分别为椭圆的左右焦点，与直线相切的圆交椭圆于点，且是直线与圆相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．
【答案】
【分析】根据题意可得，利用椭圆性质可得，结合，即可求得.
【详解】如图所示，连接，易得，
圆的半径，所以，
而，所以，，
所以，且有，
化简可得，所以，
所以，可得．
故答案为：.
典例17.（2022·全国·统考高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
典例18.（2021·全国·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路
考向七 隐圆问题
【核心知识】
1.在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目中的，要通过分析、转化发现圆(或圆的方程)，从而利用圆的知识来求解，称这类问题为隐圆问题.
2.发现隐圆的方法
（1）利用圆的定义或圆的几何性质确定隐圆.
（2）在平面上给定相异的两点，设点与点在 同一平面上，且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个圆我们称为阿波罗尼斯圆.
（3）两定点与动点满足，确定隐圆.
（4）两定点与动点满足是定值，确定隐圆.
【典例分析】
典例19.（2020·全国·统考高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
典例20.（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知，点P满足，直线，当点P到直线l的距离最大时，此时m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可求出点P的轨迹方程为，数形结合，当时， 此时点P到直线l的距离最大，计算即可求得m的值.
【详解】 ，设，则，
， ，化简得，
即点P的轨迹方程为，圆心为，半径为2，
，化简为，
由 ，解得，即直线恒过定点，
设定点为,如图，当时，此时点P到直线l的距离最大，
， ， ，
，.
故选：C.
典例21.（2023秋·河北石家庄·高三统考期末）已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为__________.
【答案】##
【分析】设，由、得到，整理得点在以为圆心，半径为的圆上，且圆心在直线上，过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，求出长度可得答案.
【详解】设，
因为，所以，
因为，所以，
，
整理得，
可得点在以为圆心，半径为的圆上，
，当时，
可得，即
圆心在在直线上，
过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，的长度也最小，
且长度最小值为，此时的最小值为.
故答案为：.
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