初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理学案设计

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理学案设计，共15页。学案主要包含了变式延伸，参考答案等内容，欢迎下载使用。

1.了解勾股定理的文化历史背景，体验勾股定理的探索过程．
2.会直接运用勾股定理进行简单的计算．
重点：勾股定理的内容和证明．
难点：探索和验证勾股定理的过程．
预习导入
1.如图1所示是格点图，每个小正方形的边长都为1，三个正方形P，Q，R的顶点都在格点上．
（1）仔细观察图1中三个正方形，可以直接数出S正方形P=_________=AC2，S正方形Q=_________=BC2，S正方形R=_________=AB2，这三个面积之间的关系是S正方形R =________+________．
（2）图1中的△ABC是____________三角形，直角边是AC和______，它的斜边是_______，由（1）知，AC2+BC2=（________）2．
图1
2.根据1的结果猜想: 在Rt△ABC中，∠C=90°，则直角边BC，AC和斜边AB满足关系式___________________．
图2
典例精讲
典例1 如图2，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽炫图”：四个全等的直角三角形围成一个大正方形．记其中一个直角三角形为Rt△ABC，其直角边长为a和b，斜边长为c，如图2所示．根据图2，回答下列问题：
（1）以AB为边的正方形的面积为__________；
（2）Rt△ABC的面积为____________；
（3）内部小正方形的面积为_________；
（4）请根据“四个直角三角形的面积的和+小正方形的面积=以AB为边的大正方形的面积”推导出a，b，c之间的关系．
【变式延伸】
1.如图3，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则Rt△ABC的面积是___________．
图3图4
2. 如图4，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为40，小正方形的面积为5，则（a+b）2的值为（ ）．
A．75B．45C．35D．5
典例2在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则
（1）如果a=6，b=8，那么c=_________；
（2）如果b=4，c=5，那么a=_________．
【变式延伸】
1.直角三角形的两直角边长分别为4，5，则第三边长为（ ）．
A．3B．C．8D．无法确定
2.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，则c=________．
阶梯训练
A组
1.在Rt△ABC中，∠A=90°，则下列各式不成立的是（ ）．
A．BC2=AB2+AC2
B．AB2=AC2=BC2
C．AB2=BC2-AC2
D．AC2=BC2-AB2
2.一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）．
A.斜边长为25 B.三角形周长为25
C.斜边长为5 D.三角形面积为12
3.在Rt△ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（ ）．
A．2B．4C．6D．8
4.如图8，在下列横线上填上合适的值：
图8
m=______；n=________．
5.如图9，三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为__________．
图9
6.在Rt△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的对边分别为a,b,c．若a∶b=3∶4，c=15，求a，b的长．
7.如图10，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，CD⊥AB于点D，求
（1）△ABC的面积；
（2）CD的长。
图10
B组
8.如图11，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是____________．
图11
9.勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学上率创奇迹，下面介绍辛普松证法。作边长是a+b的正方形ABCD，把正方形ABCD划分成如图12①的几个部分，则正方形ABCD的面积可表示为__________________________；把正方形ABCD划分成如图12②的几个部分，则正方形的面积可表示为_________________________。
∵正方形ABCD的面积相等，
∴__________________=_____________________，即a2+b2=c2。
①②
图12
【参考答案】
17.1 勾股定理（1）
预习导入
1.（1）1,1,2，S正方形P+S正方形Q；（2）直角，BC，AB，AB。
2.AC2+BC2=AB2.
典例精讲
【例1】（1）c2；（2）；（3）（b-a）2；（4）c2=a2+b2。
1.9.2.A.
【例2】（1）10；（2）3。
1.B.2.。
阶梯训练
1.B.
2.C.
3.A.
4.10;。
5.169.
6.a=9,b=12.
7.（1）6；（2）。
8.。
9.a2+b2+2ab,2ab+c2; a2+b2+2ab,2ab+c2.
17.1 勾股定理（2）
学习目标
1.用勾股定理解决简单的实际问题．
2.能根据实际情景建立数学模型，树立数形结合的思想．
重点：勾股定理的实际应用．
难点：灵活应用勾股定理解决实际问题．
预习导入
1.根据图1，写出勾股定理的表达式_____________________________．
图1图2
2.求出图2中各直角三角形中未知的边．
典例精讲
典例1 如图3，长13 m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角5 m，则梯子的顶端离地面的距离AB=__________ m．
图3
【变式延伸】
1. 如图4，一个长5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为4m，如果梯子的顶端A沿墙下滑1m，那么梯子底端B外移________m．
图4
7. 如图5，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45°降至30°．已知滑梯AB的长为3m，点D，B，C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是________m．
图5
典例2一个门框的尺寸如图6所示，一块长4m，宽3m的薄木板能否从门框内通过？请说明理由．
图6
【变式延伸】
1. 小东拿着一根长竹竿进一个宽3米、高4米的长方形城门（假设把城门、竹竿置于同一个平面内），他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高0.5米，那么小东能把竹竿拿进城门吗？为什么？
2. 有一根长70cm长的木棒要放在长、宽、高分别是50cm，40cm，30cm的木箱中，能放进去吗？请说明理由．
阶梯训练
A组
1. 小明在平地上以1.5米/秒的速度向东走了80秒，接着以2米/秒的速度向南走了45秒，这时他离开出发点（ ）．
A.180米B.150米C.120米D.100米
2. 如图7，一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树头距离为4米，这棵大树原来的高度为（ ）．
图7
A.7米B.9米C.25米D.8米
3.钓鱼岛和中国台湾属于同一地质构造，按照国际法钓鱼岛属于中国．钓鱼岛周围海域石油资源丰富，地域战略十分重要．如图8，图中A为台湾基隆，B为钓鱼岛，图中网格单位长度为38千米，那么A，B相距（ ）．
图8
A．190千米B．266千米C．101千米D．950千米
4．生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的时，则梯子比较稳定．现有一长度为9m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5m高的墙头吗？________（填“能”或者“不能”）.
5. 学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图9所示．可以算出旗杆高度是________米．
图9
6. 如图10，图中小方格边长代表1cm，一只蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了C点，则蚂蚁一共爬行了________cm．
图10
7 .某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达处200m，结果他在水中实际游了520m，你能根据上述情况求出河的宽度吗？说说你的理由.
B组
8. 如图11，如果你在南京路和中山路交叉口，想去动物园（环西路与曙光路交叉口），沿街道走的最近距离是________m．
图11
10. 如图12，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A-C-B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多长的路？（结果精确到0.1km，参考数据：≈1.41）
图12
【参考答案】
17.1 勾股定理（2）
预习导入
1.a2+b2=c2.
①AC=8;②AC=1，BC=;③AB=。
典例精讲
【例1】12.1.1.2.。
【例2】连接AC，则AC与AB，BC构成直角三角形。
根据勾股定理得AC=。
故薄木板不能从门框内通过．
1.能，理由略。2. 能，理由略。
阶梯训练
1.B.
2.D.
3.A.
4.不能。
5.12.
6.。
7.河宽480 m，理由略。
8.
9.340.
10.3.4 km。
17.1 勾股定理（3）
学习目标
1.会利用勾股定理证明直角三角形全等的判定定理——HL，能在数轴上表示出无理数；
2.能运用勾股定理作出长度是无理数的线段，能在数轴上画出表示无理数的点．
3.进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系．
重点：HL定理的证明和在数轴上画出表示无理数的点．
难点：探索在数轴上表示无理数的方法过程．
预习导入
1.如图1，在Rt△ABC和Rt△EDF中，BC=DF=2cm，AC=EF=7cm，则AB=_______cm，ED=________cm．由此可以得出结论：△__________≌△_________，判定的依据是________．
图1
2.2=1+1，即，若以_______和________为直角三角形的两直角边长，则斜边长为；13=9+4，即， 若以_______和________为直角三角形的两直角边长，则斜边长为；同理，以_______________（填正整数）为直角三角形的两直角边长，则斜边长为．
典例精讲
典例1如图2，∠A=∠B=90°，点E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．
求证：△ADE≌△BEC．
图2
【变式延伸】
1. 如图3，AD∥BC，∠A=90°，点E是AB上的一点，且AD=BE，∠1=∠2．
证明：△DEC是等腰直角三角形．
图3
2. 如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
求证：DE=AD+BE．
图4
典例2我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”，请根据图形解答下列问题：
（1）A点表示的数是多少？
（2）请类比上面的作法在数轴上画出表示的点B（请保留作图痕迹）．
图5
【变式延伸】
1.在数轴上作出表示 的对应点（提示：）．
1.在数轴上作出表示 的对应点（提示：，或者先作出的线段）．
阶梯训练
A组
1．如图6，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2,3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）．
图6
A．-4和-3之间B．3和4之间C．-5和-4之间D．4和5之间
2.等边三角形ABC中，AB=1，则AB所对应的高CD的值是（ ）．
A．B．C．1D．
3.下列能使两个直角三角形全等的条件是（ ）．
A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等D．两条边对应相等
4.如图7，数轴上点A表示的数是__________________．
图7
5. 如图8，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过点D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为_____________ cm．
图8
6.如图9，在数轴上画出表示及的点．
图9
7.如图10，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF．
求证：（1）AF=CE；（2）AB∥CD．
图10
B组
8．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于（ ）．
A ． eq \r(,7)B． eq \r(,7)或 eq \r(,41)
C．4 eq \r(,2)D．或 eq \r(,7)
9.如图11，在锐角A BC中，AB=15，AC=13，BC=14， AD⊥BC垂足为D，求DA的长．
图11
【参考答案】
17.1 勾股定理（3）
预习导入
1.，，ABC，EDF，SSS。
2.1,1,3,2,3,2,1,3.
典例精讲
【例1】证明略。1.证明略。2. 证明略。
【例2】（1）；（2）作图略。1.略。2.略。
阶梯训练
1.A.
2.B.
3.D.
4..
5.12.
6.作图略。
7.（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴△ABF与△CDE均为直角三角形。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（HL）．
∴AF=CE．
（2）由（1）知∠ACD=∠CAB，
∴AB∥CD．
8.D.
9.AD=12.