2023年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区中考数学一调试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区中考数学一调试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  苏州是全国最大工业城市之一，年苏州工业总产值大约为万元，数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  苏州的景色非常优美，其中以苏州园林最具代表性苏州园林溯源于春秋，发展于晋唐，繁荣于两宋，全胜于明清，现存五十多处如图是苏州园林中的一种窗格，下面从窗格图案中提取的几何图形，不一定是轴对称图形的是(    )

A. 矩形 B. 正八边形 C. 平行四边形 D. 等腰三角形

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，是的直径，是的弦，过点的切线交的延长线于点若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  “孔子周游列国”是流传很广的故事有一次他和学生到离他们住的驿站里的书院参观，学生步行出发小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点是正五边形的中心，过点作，垂足为，则下列四个选项中正确的为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，，动点从点出发，沿线段以单位长度秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  计算：______．

10.  在辽宁号航母的某次出海训练中，某飞行大队架舰载机的飞行训练次数如下单位：次：，，，，，，，，这组数据的众数是        ．

11.  如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是        ．

12.  因式分解______．

13.  请填写一个常数，使得一元二次方程        没有实数根．

14.  定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”若是“倍角三角形”，，，则的面积为        ．

15.  已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为        ．

16.  如图，在矩形中，，，是上一个动点，过点作，垂足为，连接，取中点，连接，则线段的最小值为        ．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．

19.  本小题分
先化简：，然后从，，中选一个合适的数代入求值．

20.  本小题分
第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”将三张正面分别印有以上个吉祥物图案的卡片卡片的形状、大小、质地都相同背面朝上、洗匀．
若从中任意抽取张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是        ；
若先从中任意抽取张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取张，求两次抽取的卡片图案不同的概率请用树状图或列表的方法求解
 

21.  本小题分
如图，在▱中，为的中点，连接并延长，交的延长线于点．
求证：≌；
若，求的长．

22.  本小题分
阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途经，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气某初级中学为了解学生近两周平均每天在家阅读时长单位：小时的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
在这次抽样调查中，共调查了        名学生；
请补全频数分布直方图，并计算在扇形统计图中类所对应扇形的圆心角的度数；
若该校有学生人，试估计该校学生近两周平均每天在家阅读时长不足个小时的人数．

23.  本小题分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是反比例函数图象上的一动点过点作上轴，垂足为，交直线于点．
求与的值；
若的面积是，求此时点的坐标．

24.  本小题分
为振兴乡村经济，弘扬“四敢”精神，某村拟建，两类展位供当地的农产品展览和销售个类展位的占地面积比个类展位的占地面积多平方米；个类展位和个类展位的占地面积共平方米建类展位每平方米的费用为元，建类展位每平方米的费用为元．
求每个，类展位占地面积各为多少平方米；
该村拟建，两类展位共个，且类展位的数量不大于类展位数量的倍，求建造这个展位的最小费用．

25.  本小题分
如图，已知是的直径，点，点均在上，连接交于点，，．
若，求的长；
若记的面积为，的面积为，求的值．

26.  本小题分
如图，在矩形中，，，是上一点，是上的动点，连接，是上一点且为常数，，分别过点，作，的垂线，交点为设的长为，的长为．
若，，则的值是        ．
若时，求的最大值．
在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，求此时的值．

27.  本小题分
如图，已知抛物线为常数，交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线为常数，下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”．
求该抛物线的表达式；
若时，直线与图象有三个交点，求的值；
若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据概念，的相反数在的前面加，则的相反数是．
故选：．
根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为，采用逐一检验法求解即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、矩形一定是轴对称图形，不符合题意；
B、正八边形一定是轴对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不一定是轴对称图形，符合题意；
D、等腰三角形一定是轴对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
的度数为，
故选：．
连接，由切线的性质得，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案．
此题重点考查切线的性质、直角三角形的两个锐角互余、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键
 

6.【答案】 

【解析】解：学生步行的速度为每小时里，牛车的速度是步行的倍，
牛车的速度是里，
由题意可得：，
故选：．
根据题意可知：步行的时间牛车用的时间，然后即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，
点是正五边形的中心，
，，
于点，
，，
，
，
故选：．
连接，则，，由于点，根据等腰三角形的“三线合一”得，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查正多边形与圆、正多边形的中心角、等腰三角形的“三线合一”、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解是的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，正方形与重合部分的面积为正方形的面积，
，
此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线；
当时，与相交于，与相交于，如图所示：
此时正方形与重合部分的面积为正方形的面积减去三角形的面积，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
二次函数的图象为开口向下的抛物线，
故选：．

分、两种情况，通过画图确定矩形的位置，进而求解．
本题考查的是动点问题的函数图象，解直角三角形和正方形的性质等知识，确定函数表达式是本题解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，直接合并同类项即可．
本题考查合并同类项的知识，要求掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数．
 

10.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数为；
故答案为：．
根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

11.【答案】 

【解析】解：设每块小正方形的边长为，
则总面积为，其中阴影部分面积为，
飞镖击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
根据几何概率的求法：飞镖击中阴影部分的概率是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
 

13.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，，设常数为，
，
．
故答案为：答案不唯一．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于常数的范围，即可得出答案．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：是“倍角三角形”，
分四种情况：
当时，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的面积；
当时，同理可得：的面积为；
当时，
，
，
，
，，
，
，，
的面积；
当时，
，
，
，
，，
，
，，
的面积；
综上所述：的面积为或，
故答案为：或．
根据题意可分四种情况：当时；当时；当时；当时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了三角形的面积，分四种情况讨论是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
，
函数有最大值，
在，当时，函数有最小值，
，
解得；
故答案为：．
由题意可知抛物线开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的性质即可得到在中，当时，函数有最小值，得到，解得．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，
取的中点，连接，作于，作于，设，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，
，，
是的中点，
，，
，，
在中，
，
当时，的最小值为，
故答案为：．




取的中点，连接，作于，作于，设，分别表示出，，，，进而表示出和，进而表示出，进一步得出结果．
本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
 

17.【答案】解：原式．
故答案为：． 

【解析】按照实数的运算法则依次计算，注意，，．
本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键．
 

18.【答案】解：，
由得，
；
由得，
，
．
所以，原不等式组的解集是．
在数轴上表示为：
 

【解析】分别求出每个不等式的解，再求不等式的公共部分，即为解集，画出数轴．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
 

19.【答案】解：



，
要使分式有意义，且，
所以不能为和，
取，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出不能为和，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：从中任意抽取张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：；
把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为、、，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有种，
两次抽取的卡片图案相同的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：为的中点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌；

解：≌，，
，
四边形是平行四边形，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定定理证明即可；
根据全等三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，再求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，能求出≌是解此题的关键，平行四边形的对边平行且相等．
 

22.【答案】 

【解析】解：名，
故答案为：；
类的人数为人，类所对应扇形的圆心角的度数为，补全频数分布直方图如下：

人，
答：该校名学生中，近两周平均每天在家阅读时长不足个小时的人数大约有人．
从两个统计图中可知，类的频数为，占调查人数的，根据频率可求出答案；
求出类的人数即可补全条形统计图，根据类所占的调查人数的百分比可计算相应的圆心角的度数；
求出样本中近两周平均每天在家阅读时长不足个小时的人数所占的百分比，进而估计整体中近两周平均每天在家阅读时长不足个小时的人数所占的百分比，由频率即可求出答案．
本题考查频数分布直方图、扇形统计图，掌握频率是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于点，
，，
，
设点的横坐标为，则，
，
，
，
负数舍去，
点的横坐标为，
，
点的坐标为． 

【解析】利用正比例函数的解析式求得，然后利用待定系数法即可求得；
设点的横坐标为，则，即可求得，由，得出，解得，进而求得点的坐标为．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出点的坐标是解题的关键．
 

24.【答案】解：设每个类展位的占地面积为平方米，则每个类展位占地面积为平方米，
依题意得：，
解得，
平方米，
答：每个类展位占地面积为平方米，每个类展位的占地面积为平方米；
设该村拟建造类展位个，建造类展位个，所需费用为元，
则，
类展位的数量不大于类展位数量的倍，
，
解得，
，
随的增大而增大，
为整数，
当时，最小，最小值为，
答：建造这个展位的最小费用为元． 

【解析】设每个类展位的占地面积为平方米，则每个类展位占地面积为平方米，根据个类展位和个类展位的占地面积共平方米列出方程，解方程即可；
设该村拟建造类展位个，建造类展位个，所需费用为元，根据总费用两种展位费用之和列出函数解析式，再根据类展位的数量不大于类展位数量的倍，求出的取值范围，再由函数的性质求最值．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

25.【答案】解：连接，如图，
，
，
，
，
，
在中，，
，
；
过点作于点，如图，则，
在中，，
设，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，，
． 

【解析】连接，如图，先证明，再证明，接着利用正切的定义求出，然后利用勾股定理计算出的长；
过点作于点，如图，根据垂径定理得到，在中利用正切的定义得到，则可设，，所以，利用面积法求出，再利用勾股定理计算出，所以，，从而得到，然后利用三角形面积公式计算的值．
本题考查了圆周角定理和垂径定理：合理构建直角三角形是解决问题的关键．也考查了解直角三角形．
 

26.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：；
当时，，此时与重合，如图，

，，
，
由知：，即，
，
，
有最大值是；
如图，

当在上时，，
，
，
由知：，即，
，
线段上存在唯一的一点，
方程有一个解或两个相等的实根，
，
舍或．
证明∽，列比例式可得结论；
当时，与重合，正确画图，根据中的比例式可得关于的二次函数，利用配方法可得结论；
先用表示的长，利用中的比例式可得关于的方程，根据方程有两个相等的实根列式可解答．
本题是四边形的综合题，主要考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程根的判别式的应用，二次函数的最值等的综合运用，证明∽列比例式是解本题的关键．
 

27.【答案】解：由题意得，解得，
该抛物线的表达式为；
时，由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况：
当直线过点时，与图象有三个交点，此时；
当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时，
，
，
，
，
综上，的值是或；
将该抛物线位于直线为常数，下方的部分沿直线翻折，得到，
令，则，
，
，
由，解得，
若直线与图象有四个交点，的取值范围是． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
利用数形结合找出当经过点或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；当与相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论；
求得直线与的交点，以及当与相切时的值，即可求得的取值范围．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：利用待定系数法求出抛物线的解析式；利用数形结合找出直线与新图象恰好有三个不同的交点的情况；找出直线与新图象恰好有三个不同的交点以及直线与的交点是关键．