湖北省七市（州）2023届高三下学期3月联合统一调研测试+数学+Word版含解析

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2023年湖北省七市（州）高三年级3月联合统一调研测试

数  学

宜昌市教育科学研究院命制

本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则的元素个数为（    ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．若，则（    ）．

A． B． C． D．

3．一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（    ）．

A． B．60 C．120 D．240

4．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为

A． B． C． D．

5．已知，则的值为（    ）．

A． B． C． D．

6．已知，，直线y=-与曲线相切，则的最小值是（    ）．

A．16 B．12 C．8 D．4

7．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（    ）．

A． B． C． D．

8．已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ）．

A．  B．

C．  D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题中正确的是（    ）．

A．若样本数据，，…，的样本方差为3，则数据，，…，的方差为7

B．经验回归方程为时，变量x和y负相关

C．对于随机事件A与B，，，若，则事件A与B相互独立

D．若，则取最大值时

10．已知函数的部分图象如图所示，，则（    ）．

A．函数在上单调递减

B．函数在上的值域为

C．

D．曲线在处的切线斜率为

11．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，点P为线段上的动点，则（    ）．

A．两条异面直线和所成的角为

B．存在点P，使得平面

C．对任意点P，平面平面

D．点到直线的距离为4

12．已知直线交y轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（    ）．

A．若直线l与圆M相切，则

B．当时，四边形的面积为

C．直线经过一定点

D．已知点，则为定值

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．

14．现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为__________．

15．函数，若关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为__________．

16．已知为抛物线上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点，且直线与的倾斜角互补，则__________．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求B；

（2）设，若点M是边上一点，，且，求的面积．

18．（12分）设数列的前n项和为．已知，，．

（1）求证：数列是等差数列；

（2）设数列的前n项和为，且，令，求数列的前n项和．

19．（12分）某市举行招聘考试，共有4000人参加，分为初试和复试，初试通过后参加复试．为了解考生的考试情况，随机抽取了100名考生的初试成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．

（1）根据频率分布直方图，试求样本平均数的估计值；

（2）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，试估计初试成绩不低于88分的人数；

（3）复试共三道题，第一题考生答对得5分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及均值．

附：若随机变量X服从正态分布，则：，，．

20．（12分）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，已知，．

（1）当时，求三棱柱的体积；

（2）设点P为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．

21．（12分）已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于M，N两点，连接，分别交直线于P，Q两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R．

（1）求证：点R为线段的中点；

（2）记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若有3个零点，，，其中．

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）求证：．

2023年湖北省七市（州）高三年级3月联合统一调研测试

数学参考答案及评分标准

1．B

【解析】因为，，

所以，所以的子集个数为4．故选B．

2．A

【解析】由，得，

所以．故选A．

3．B

【解析】因为％，所以．

所以展开式的通项为，

令得，所以展开式的常数项为．故选B．

4．C

【解析】截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四面体体积，

所以．故选C．

5．A

【解析】．

故选A．

6．D

【解析】对求导得，

由得，则，即．

所以，

当且仅当时取等号．故选D．

7．A

【解析】因为，所以∽，

设，则，设，则，．

因为平分，由角分线定理可知，，

所以，所以，

由双曲线定义知，即，，①

又由得，

所以，即是等边三角形，

所以．

在中，由余弦定理知，

即，化简得，

把①代入上式得，所以离心率为．故选A．

8．C

【解析】因为为偶函数，且在单调递增，

所以

，

所以关于直线对称，且在单调递增．

所以，

两边平方，化简得，解得．故选C．

9．BC

【解析】对于A，数据，，…，的方差为，所以A错误；

对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；

对于C，由，得，

故事件A与事件B独立，所以C正确；

对于D，由，解得或，所以D错误．

故选BC．

10．AC

【解析】由，即，

而，所以，

由，得（五点法），

所以，则．

对于A，当时，，此时函数单调递减，所以A正确；

对于B，当时，，所以，

所以函数在上的值域为，所以B错误；

对于C，令得，由三角函数图象的对称性得，

所以

，所以C正确；

对于D，，则，所以D错误．故选AC．

11．BCD

【解析】对于A，两条异面直线和所成的角即为，所以A错误；

对于B，当点P与点重合时，，则平面，所以B正确；

对于C，因为，，所以平面，

所以对任意点P，平面平面，所以C正确；

对于D，因为，

所以，

所以点到直线的距离，所以D正确．故选BCD．

12．ACD

【解析】对于A，若直线l与圆M相切，则，解得，所以A正确；

对于B，当时，，则，所以B错误；

对于C，，则直线，所以直线经过定点，所以C正确；

对于D，因为，所以点C的轨迹是以为直径的圆，

即，圆心，所以为定值，所以D正确．故选ACD．

13．

【解析】在方向上的投影为．故应填．

14．

【解析】记事件，分别表示第一次、第二次取到i号球，，2，3，

依题意，，两两互斥，其和为，

并且，，，

所以，，，

应用全概率公式，有

．故应填．

15．

【解析】由题意知，当时，；

当时，；当时，．

当时，，

结合图象知；当时，，当时，显然成立；

当时，，

令，则，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，所以．

综上，实数a的取值范围为．故应填．

16．2

【解析】由点在抛物线上得：，即．

所以抛物线C的方程为：．

设直线的方程为，，．

由直线与的倾斜角互补得，

即，所以．

联立，得，所以，．

所以，即，所以．

．

17．【解析】（1）由及正弦定理得，

即，

所以．（2分）

因为，所以，所以，

又，所以．（4分）

（2）因为，所以，．

又，所以．

在中，由余弦定理得，

即．①（6分）

又，所以，

两边平方得，

即，所以．②（8分）

②－①得，所以，代入①得，

在中，，

所以是以为直角的三角形，

所以的面积为．（10分）

18．【解析】（1）①，

当时时，②，

①－②得：

即，（4分）

所以，且，

所以是以1为公差的等差数列．（5分）

（2）由（1）得，．（6分）

当时，；当时，；

又满足上式，所以．（7分）

所以，记数列的前n项和为．

方法一：（两次错位相减）

，①

，②

①－②得，③（9分）

则，④

③－④得

，（11分）

所以．（12分）

方法二：（裂项）

因为，（9分）

所以

．（12分）

19．【解析】（1）样本平均数的估计值为．（2分）

（2）因为学生初试成绩X服从正态分布，其中，，

则，

所以，

所以估计初试成绩不低于88分的人数为人．（5分）

（3）Y的取值分别为0，5，10，15，20，25，

则，

，

，

，

，

，（10分）

故Y的分布列为：

所以数学期望为．（12分）

20．【解析】（1）如图，取的中点为O，

由于和为正三角形，则，

，且．（1分）

，所以，所以．

又，

所以三棱柱的体积．（4分）

在中，，，

由余弦定理可得，

所以．

（2）由（1），，

又，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

所以在平面内作，则平面．

以，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则，，，，

，．（7分）

设是平面的一个法向量，

，，

则，即，（9分）

取得．设，

则

，

设直线与平面所成角为，

则，（11分）

令，则在单调递增，

所以，

故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．（12分）

21．【解析】（1），，

设，，，

联立，得，则，

，（2分）直线，

令得，所以，

同理，．（4分）

所以

．

直线，令得，所以，

则，点R为线段的中点．（6分）

（2）由（1）知，，

又，

所以．（8分）

而

，（10分）

所以．

故存在使得．（12分）

22．【解析】（1）当时，，，（1分）

则在恒成立，所以在单调递增，

故的单调递增区区间为，无单调递减区间．（2分）

（2）（ⅰ），

，，则除1外还有两个零点，（3分）

，令，

当时，在恒成立，则，

所以在单调递减，不满足，舍去；

当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，

所以存在两个零点，所以，解得，（5分）

当时，设的两个零点为，

则，，所以．

当时，，，则单调递增；

当时，，，则单调递减；

当时，，，则单调递增；

又，所以，，

而，且，

，且，所以存在，，

使得，

即有3个零点，，．

综上，实数a的取值范围为．（7分）

（ⅱ）因为，

所以若，则，所以．

当时，先证明不等式恒成立，

设，

则，

所以函数在上单调递增，于是，

即当时，不等式恒成立．（10分）

由，可得，

因为，所以，

即，两边同除以，

得，

所以．（12分）