2022-2023学年安徽省黄山市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省黄山市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列关于奥运会的剪纸图形中是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列说法不正确的是(    )

A. “三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件
B. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
C. 某种彩票的中奖率是，说明每买张彩票，一定有张中奖
D. “在同一年出生的人中，至少有两人的生日相同”是必然事件

3.  圆的直径为，如果点到圆心的距离是，则(    )

A. 当 时，点在外 B. 当 时，点在上
C. 当 时，点在内 D. 当 时，点在上

4.  如图，正六边形内接于，点在上，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6.  已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为(    )

A.  B. 且 C. 且 D.

7.  已知：，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从某月份的万元，连续两个月降至万元，设平均降低率为，则可列方程(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，关于的二次函数和一次函数是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧、弧、弧，如果，那么与的大小关系是(    )
 

A.  B.
C.  D. 大小关系不确定

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的抛物线的函数解析式为______．

12.  有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是        ．

13.  如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接若，则          
 

14.  如图，已知是的直径，切于点，点是的中点，则下列结论成立的是        将正确番号填入
．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.  解方程：．

四、解答题（本大题共8小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．
这个无盖纸盒的长为______，宽为______；用含的式子表示
若要制成一个底面积是的无盖长方体纸盒，求的值．

17.  本小题分
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
画出将向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到的；
画出将绕原点顺时针方向旋转得到；
在轴上存在一点，满足点到与点距离之和最小，请直接写出点的坐标．
 

18.  本小题分
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．
 

19.  本小题分
已知二次函数的表达式为．
当时，若，两点在该二次函数图象上，求的值；
已知点，，二次函数的图象与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．

20.  本小题分
如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，，垂足为，交于点，连接．
判断与的位置关系，并证明你的结论；
若是的中点，的半径为，求图中阴影部分的面积．

21.  本小题分
已知是关于的二次函数，其函数图象与直线交于、两点，在、两点之间作轴，与上述抛物线和直线的交点分别为点、．
当时，抛物线与轴交于两点、点在点的左边则
点的坐标为        ，点的坐标为        ；
过两点、且与轴相切的圆的圆心坐标为        ；
设线段的长为，请说明的最大值与的取值无关，并求出这个最大值．

22.  本小题分
如图，点是等边内一点，，将绕点按顺时针方向旋转得，连接．
当时，通过上述旋转可得到三条线段、、之间的等量关系，请写出这个等量关系，并说明理由；
探究：当为多少度时，是等腰三角形？只填出探究结果即可        ．

23.  本小题分
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为米，与湖面的垂直高度为米．下面的表中记录了与的五组数据：

根据上述信息，解决以下问题：
在下面网格图中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示与函数关系的图象；
若水柱最高点距离湖面的高度为米，则______；
现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知游船顶棚宽度为米，顶棚到湖面的高度为米，那么公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由结果保留一位小数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】
解：选项A、、都不能找到这样的一个点，
使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D能找到这样的一个点，
使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件，本选项说法正确，不符合题意；
B、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，本选项说法正确，不符合题意；
C、某种彩票的中奖率是，但每买张彩票，不一定有张中奖，本选项说法不正确，符合题意；
D、“在同一年出生的人中，至少有两人的生日相同”是必然事件，本选项说法正确，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】 

【解析】解：圆的直径为，
圆的半径为，
当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内．
故选A
先得到圆的半径为，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内，然后对各选项进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键．
由正六边形的性质得出，由圆周角定理求出．
【解答】
解：连接，，，
多边形是正六边形，
，
，
同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查利用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键．
根据球的总个数以及摸到黄球的频率，即可得出答案．
【解答】
解：布袋中有球共个，摸到黄球的频率稳定在左右．
布袋中黄球的个数大约为：个，
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
故选：．
根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出的取值范围即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，，
，，
即，，
故选：．
先根据根与系数的关系可得，，而，，那么，，解即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的等量关系的公式．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
根据该企业某月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项错误；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和轴的负半轴相交，故选项错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项正确．
故选：．
可先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，在上取一点使，
则，
，，
在中，，
．
故选：．

在弧上取一点使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到，，根据三角形的三边关系定理求出即可．
本题主要考查了圆心角、弦、弧之间的关系以及对三角形的三边关系定理的理解和掌握，能正确作辅助线是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位，则函数解析式变为．
故答案为：．
由平移的规律即可求得答案．
本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，
共有种等可能情况，其中能打开锁的情况有种，
故一次打开锁的概率为．
故答案为：．
随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．
根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，然后根据平行线的性质由得，则，再根据三角形内角和计算出，所以．
【解答】
解：绕点逆时针旋转到的位置，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：为的中点，即，
，，选项正确；
，
为圆的直径，
，即，
，
，选项正确；
为圆的切线，
，即，
，
，选项正确；
点不一定为中点，选项错误，
则结论成立的是，
故答案为：
由为弧中点，利用垂径定理的逆定理得到垂直于，根据等弧对等弦得到，再由为直角，利用圆周角定理得到垂直于，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到与平行，由为圆的切线，利用切线的性质得到与垂直，利用同角的余角相等得到，根据不一定为弧中点，可得出与不一定垂直，即可确定出结论成立的序号．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
 

15.【答案】解：，，，
，
，
，． 

【解析】本题考查了解一元二次方程的方法公式法．
原方程是一元二次方程的一般形式，先由系数求得根的判别式，再利用求根公式求解．
 

16.【答案】   

【解析】解：纸板是长为，宽为的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为的正方形，
无盖纸盒的长为，宽为．
故答案为：；．
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：的值为．
根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽；
根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所求；
如图，即为所求；
如图，点即为所求，点的坐标，
 

【解析】

【分析】
本题考查作图平移变换，旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可；
作点关于轴的对应点，连接交轴于点，点即为所求．
【解答】
解：
见答案；
作关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，
点，
，
设，
，解得：
，
令，则，解得，
点．
故答案为：点．  

18.【答案】解：如图所示，过点作半径于，
，
在中，，
，
答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为． 

【解析】过点作半径于，如图，利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算出的长即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

19.【答案】解：当时，二次函数表达式为，
对称轴为直线，
，两点在该二次函数图象上，
，
．
，
抛物线与轴交点坐标为，，
点在线段上，
不在线段上，或与重合，
或或． 

【解析】将代入二次函数解析式求出对称轴，根据抛物线对称性求解．
由可得抛物线与轴交点坐标为，，分类讨论点不在线段上，或与重合．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的交点式与函数图象的关系．
 

20.【答案】解：与圆相切，理由如下：
为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
则与圆相切；  
                              
连接，交于，
为直径，
，
，
与相切，为切点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，易知，
，
点为的中点，
为的中位线，
，即，
在中，根据勾股定理得：，
则． 

【解析】此题考查了直线与圆的位置关系，角平分线性质，以及阴影面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
只要证明即可解决问题．
只要证明四边形是菱形，，根据即可解决问题．
 

21.【答案】    或 

【解析】解：当时，，
，
则，
解得，，
点的坐标为，点的坐标为；
故答案为：，；
设此圆圆心为，则圆心一定在抛物线的对称轴上，对称轴交轴于点，
圆与轴相切，
圆半径为，连接，则，如图：

，
，
圆心的坐标为；
当圆心在第四象限时，圆心的坐标为；
综上，圆心的坐标为或；
故答案为：或；
证明：由题意设点坐标为，
由轴，则点坐标为，
、两点是关于的抛物线与直线的交点，
解方程，整理得，
解得或，
、两点的横坐标分别为：，，
，
轴，
，
是二次函数，且，
，
当时取最大值，
的最大值为．
的最大值与的取值无关，且这个的最大值是．
由题意得抛物线的解析式为，
解方程，即可求解点、点的坐标；
根据题意得圆心一定在抛物线的对称轴上，利用切线的性质求得半径为，利用勾股定理即可求解；
设点坐标为，则点坐标为，解方程求得、两点的横坐标分别为：，，再求得关于二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握求二次函数的顶点及对称轴的方法，根据自变量取值范围取函数最值．
 

22.【答案】或或 

【解析】解：，理由如下：
将绕点按顺时针方向旋转得，
，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
是直角三角形，
，
．
要使，需，
，，
，解得：；
要使，需，
，
，
；
要使，需，
，，
，
解得，
综上，当的度数为或或时，是等腰三角形．
故答案为：或或．
由旋转的性质可得即，，，进而得到是等边三角形，即，，则，最后根据勾股定理即可解答；
分、、三种情况，然后分别根据等腰三角形的性质和旋转的性质求解即可．
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用等腰三角形的判定与性质成为解答本题的关键．
 

23.【答案】解：以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：

根据题意可知，该抛物线的对称轴为，此时最高，
即，
故答案为：．
根据图象可设二次函数的解析式为：，
将代入，得，
抛物线的解析式为：，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值大于，
，
解得，
水管高度至少向上调节米，
米，
公园应将水管露出湖面的高度喷水头忽略不计至少调节到米才能符合要求． 

【解析】建立坐标系，描点，用平滑的曲线连接即可；
观察图象即可得出结论；
根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
本题属于二次函数的应用，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．