河南省商丘市柘城县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

这是一份河南省商丘市柘城县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案），共25页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

河南省商丘市柘城县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列的云纹图案中，是中心对称图形的是（　　　）
A． B． C． D．
2．将y＝x2＋4x＋1化为y＝a(x－h)2＋k的形式，h，k的值分别为(  )
A．2，－3 B．－2，－3 C．2，－5 D．－2，－5
3．如图，是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．如果圈出的9个数中，最小数x与最大数的积为161，那么根据题意可列方程为（    ）

A． B． C． D．
4．如图，是的直径，是的弦，若，则等于（    ）

A． B． C． D．
5．小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，则小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是（   ）
A． B． C． D．
6．在下列四个三角形中，与是位似图形且为位似中心的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④
7．关于x的方程有两个不相等的实数根，则反比例函数的图象在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，在中，，是中点，是上一点，，，则的长为（　　）

A． B． C． D．

二、解答题
9．如图，在等腰中，边在x轴上，将绕原点O逆时针旋转，得到，若，则点A的对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

三、单选题
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在反比例函数图像上，纵坐标分别为1，4，则k的值为（    ）

A． B． C． D．

四、填空题
11．在中，．则________．
12．若函数与的图像的交点坐标为, 则的值是______.
13．在中，、、的对边分别为a、b、c，且三边满足，，则______________．
14．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为_________．

15．如图，在矩形中，，，点E是对角线上一点，于点F，于点G，连接，则的最小值为______________．


五、解答题
16．用适当的方法解方程：
(1)
(2)
17．已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根是，求方程的另一个根；
(2)利用根的判别式判断方程根的情况；
(3)若该一元二次方程的两个根分别为，当时，求m的值．
18．在甲、乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，5，乙口袋中的小球上分别标有数字3，4，5，小明先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为，小张从乙袋中任意摸出一个小球，记下数字为．
（1）从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为0的概率；
（2）若，都是方程的解时，则小明获胜；若，都不是方程的解时，则小张获胜；问他们两人谁获胜的概率大．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点D是点C关于x轴的对称点，求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别是、、，结合平面直角坐标系解答下列问题．

(1)画出绕点O顺时针旋转得到的，并写出点的坐标；
(2)以点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为，且不在同一象限．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．

(1)求证：直线DE是⊙O的切线；
(2)若BC＝6，tanB，求DE的长．
22．某专卖店销售一种葫芦娃挂件，进价为每件10元，并且每件的售价不低于进价，在销售过程中发现，每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)求每日销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数解析式．
(2)物价部门规定，该葫芦挂件的利润不允许高于进价的，当每件的售价定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．在和中，，点F是的中点，连接，将绕点C旋转一周，试判断和的关系．

(1)如图①，当点E在上时，和的数量关系为_____________，直线和直线相交所成的锐角的度数为______________；
(2)如图②，当点E不在上时，（1）中的关系是否仍然成立，如果成立，请证明；如果不成立，请写出新的关系，并说明理由．
(3)若，将绕着点C旋转一周的过程中，当D，E，B三点共线时，直接写出的长．

参考答案：
1．B
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】A、本图形旋转180°以后不能与原图形重合，故不是中心对称图形，本选项错误；
B、本图形旋转180°以后能与原图形重合，故是中心对称图形，本选项正确；
C、本图形旋转180°以后不能与原图形重合，故不是中心对称图形，本选项错误；
D、本图形旋转180°以后不能与原图形重合，故不是中心对称图形，本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题关键．
2．B
【分析】根据配方法把y＝x2＋4x＋1化成顶点式，即可求出h，k的值.
【详解】∵y＝x2＋4x＋1，
=(x+2)2-3，
∴h=-2，k=-3，
给选B.
【点睛】此题考查了二次函数一般式和顶点式的互化，将解析式化为顶点式y=a(x-h)2+k，顶点坐标是(h，k)，对称轴是x=k.
3．B
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为161，列出方程即可．
【详解】解：根据图表可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为，则最大数为，
根据题意得出：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据已知得出最大数与最小数的差为16是解题关键．
4．D
【分析】根据直径所对圆周角是直角得到，由得到，由同弧所对的圆周角相等即可得到答案．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟知直径所对圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
5．B
【分析】设是同一双的袜子的两只袜子分别是A1、A2和B1、B2，列表得到12种等可能结果，穿相同一双袜子的可能占4种，算出穿同一双袜子的概率是．
【详解】设是同一双的袜子的两只袜子分别是A1、A2和B1、B2，设正好穿的是相同的一双袜子的事件为事件A，
列表如下：

A1
A2
B1
B2
A1
———
A1A2
A1B1
A1B2
A2
A2A1
————
A2B1
A2B2
B1
B1A1
B1A2
————
B1B2
B2
B2A1
B2A2
B2B1
————

共12种等可能结果，其中穿相同一双袜子的可能有A1A2，A2A1，B1B2，B2B1共4种，
小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是
．
故选B．
【点睛】本题考查了概率的计算，熟练掌握用列表法（或画树状图法）计算概率是解决本题的关键．
6．B
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，
∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
7．D
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出的范围，进而判断反比例函数的图象，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：，
∴反比例函数的图象在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数图象的性质，得出是解题的关键．
8．C
【分析】证明，推出可得结论．
【详解】解：，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．B
【分析】过B作于，直线交y轴于D，由，可得，再由旋转可得轴，由直角三角形求出、的长即可．
【详解】过B作于，直线交y轴于D，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕原点O逆时针旋转，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴点A的对应点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．C
【分析】过点A作轴，过B点作，交延长线于E，利用矩形性质及角相等来证明，根据A，B两点在反比例函数图像上，设带有k值的两点坐标，利用两边对应成比例求出k的值．
【详解】解：矩形的顶点A，B在反比例函数图像上，A的纵坐标为1，B的纵坐标为4，过点A作轴，过B点作，交延长线于E．
，
，
，，
，
，
，
设，，
则，，，，
，
，
，
解得：，
反比例函数在第二象限，
，
，
故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数图像性质，反比例函数与几何知识相结合的应用，证明，利用两边对应成比例是解答本题的关键．
11．##
【分析】根据题意设，则，勾股定理求得，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵，
设，则
∴,
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余弦的定义，勾股定理，掌握余弦的定义是解题的关键．
12．-2
【分析】求出两函数组成的方程组的解，即可得出a、b的值，再分别代入求出即可.
【详解】解：由题意得：
把①代入②得: ，
整理得: x2+ 2x+1=0，
解得:
∴交点坐标是(-1,-2)，
∴ a= -1，b= -2，
∴= -1 +（-1）= -2.
故答案为：- 2.
【点睛】本题主要考查函数交点坐标求法与运用；求出两函数组成的方程组的解，即为交点坐标是本题的解题关键.
13．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，用c分别表示出a、b，再利用正弦的概念得到，代入计算即可得到答案．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，代数式求值，锐角三角函数，熟练掌握正弦的概念是解题关键．
14．
【分析】对应点连线的中点即时对称中心的坐标，以此来求解即可．
【详解】解：的中点坐标是，
故答案是：．
【点睛】本题考查了中心对称变换，掌握根据对应点找出对称中心的方法是求解的关键．
15．
【分析】连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，过点作，交于点，交于点，先证明四边形是矩形，得到，推出，即当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出，再利用三角形面积公式求出，，然后证明，利用对应边成比例求出，即可得到的最小值．
【详解】解：连接，作点C关于的对称点，连接交于点M，
由对称的性质可知，，，
过点作，交于点，交于点，
四边形是矩形，
，
，，
四边形是矩形，
，
，
即当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即的最小值为．

【点睛】本题考查了垂线段最短，对称的性质，矩形的判定个性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键利是用对称的性质将转化为．
16．(1)，；
(2)，；

【分析】（1）移项，配方，直接开平方即可得到答案；
（2）移项，因式分解，利用因式分解法求解即可得到答案；
【详解】（1）解：移项得，
，
配方得，
，
即，
两边开平方得，
，
∴，；
（2）解：移项得，
，
即，
因式分解得，
，
即：，，
解得，；
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程．
17．(1)
(2)见解析
(3)3

【分析】（1）将代入中，得，再解方程即可；
（2）根据进行判断即可；
（3）根据根与系数的关系代入求值即可．
【详解】（1）∵一元二次方程的一个根是
∴将代入中，得，解得
∴解一元二次方程，得或
∴方程的另一个根为
（2）由题意知，
∴，
∵
∴当，即时，方程无实数根；
当，即时，方程有两个相等的实数根，
当，即且时，方程有两个不相等的实数根
（3）∵， ，
∴，可化为  解得或
由（2）可得且时，方程有两个实数根
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
18．（1）；（2）小明获胜的概率大．
【分析】（1）先解方程，根据概率公式即可得出概率；
（2）列出表格，分别计算出小明和小张获胜的概率，比较即可．
【详解】解：（1）当代数式的值为0时，
，
解得，
所以，从甲袋摸出一个小球，则小球上的数字使代数式的值为0的概率为：；
（2）列表如下：
n         m
2
3
4
5
3
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)

总共有12种等可能结果，其中都是该方程的解的可能性有4种，
故小明获胜的概率为：；
都不是该方程的解的可能性有2种，
故小张获胜的概率为，
所以，小明获胜的概率大．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法、一元二次方程的解法以及概率公式；正确列出表格是解题的关键．
19．(1)反比例函数得解析式为，一次函数的解析式为
(2)16
(3)或

【分析】（1）由点，点是的图象与直线的交点，则，解得，得到，，，得到反比例函数解析式，再用待定系数法求出一次函数的解析式即可；
（2）求出点，得到，即可得到答案；
（3）根据图象位置得到解集即可．
【详解】（1）解：∵点，点是的图象与直线的交点，
∴，
解得，
∴，，，
∴反比例函数得解析式为，
将点，代入一次函数中，
得  解得
∴一次函数的解析式为，
（2）对于直线，
令，得，
∴点C的坐标为，
∵点D是点C关于x轴的对称点
∴点，  
∴，
∴；
（3）由题图可知，不等式的解集为或．
【点睛】此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
20．(1)图见解析，点的坐标为；
(2)图见解析；

【分析】（1）利用旋转的性质，分别作出对应点、、，依次连接即可得到和点的坐标；
（2）利用位似变换的性质分别作出对应点，依次连接即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图，点的坐标为；

（2）解：位似三角形如图所示．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换、位似变换，张哦我旋转变换和位似变换的性质是解题关键．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据已知条件得到OD∥AC即可，于是得到结论；
（2）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到CD＝BDBC＝3，∠C＝∠B，设DE＝2x，CE＝3x，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴CD＝BDBC＝3，∠C＝∠B，
∵tanB，
∴tanC，
设DE＝2x，CE＝3x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得，
∴x，
∴DE＝．

【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质与判定，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
22．(1)
(2)当每件的售价定为18元时，每天获得的利润最大，最大利润时880元

【分析】（1）根据图象经过的两点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）设每天获得的利润为w元，根据销量乘以每件的利润得到总利润列出函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设，把代入得：
，
解得，
∴y与x之间得函数解析式为：；
（2）设每天获得的利润为w元，根据题意，得：
，
∵物价部门规定售价不高于成本价的，
∴（元），
∵，
∴当时，w随着x的增大而增大，
∴当时，w最大，最大利润为（元）
答：当每件的售价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
23．(1)，
(2)成立，证明见解析
(3)或

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，再由点F是的中点，可得是等腰直角三角形，点C，D，F三点共线，从而得到，直线和直线相交所成的锐角的度数为，即可求解；
（2）连接，并延长和延长线交于点P，记与交于H，等腰直角三角形的性质可得，，可证明，从而得到，，再证明，可得，即可；
（3）分两种情况讨论：当点D在线段上时，过当C作交于点N；当点E在线段上时，过当C作交的延长线于点N，结合全等三角形的判定和性质和勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：在和中，∵，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵点F是的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，点C，D，F三点共线，
∴，直线和直线相交所成的锐角的度数为；
∴；
故答案为：，
（2）解：成立，证明如下：
如图，连接，并延长和延长线交于点P，记与交于H，

由（1）得：和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
（3）解：如图，当点D在线段上时，过当C作交于点N，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
如图，当点E在线段上时，过当C作交的延长线于点N，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，利用类比思想解答和分类讨论思想解答是解题的关键．